北师大版七年级数学上册从重点到压轴专题5.2行程问题(压轴题专项讲练)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学上册从重点到压轴专题5.2行程问题(压轴题专项讲练)(原卷版+解析)，共40页。
专题5.2 行程问题【典例1】甲、乙两地相距72km，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以v1km/h、v2km/h的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2h，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地．（1）v1=______，v2=______；（2）求出发多长时间后，两车相遇？（3）求出发多长时间后，两车相距30km？【思路点拨】（1）根据路程除以时间即可求得速度；（2）根据两车的路程和为甲、乙两地距离的2倍建立一元一次方程，解方程求解即可；（3）设出发t小时后两车相距30km，分情况讨论：①在工程车还未到达乙地,即当0＜t＜2时, ②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，③在工程车返回甲地的途中，即当4＜t≤6时，分相遇前后相距30km，根据题意建立一元一次方程，解方程求解即可．【解题过程】解：（1）由题意得：v1=72×212−6−2=36km/hv2=7212−6=12km/h故答案为：36,12；（2）设出发x小时后两车相遇，根据题意得：36(x－2)＋12x＝72×2,解得x=92答：出发92小时后两车相遇；（3）设出发t小时后两车相距30km，①在工程车还未到达乙地，即当0＜t＜2时，36t-12t=30,解得t=54，②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，12t＋30＝72,解得t＝72，③在工程车返回甲地的途中,即当4＜t≤6时，相遇前，36(t-2)＋12t+30=72×2，解得t=318（舍）相遇后，36(t-2)＋12t-30=72×2，解得t=418答：出发54，72，418小时，两车相距30km.1．（2022·全国·七年级）桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．2．（2022·全国·七年级专题练习）数学课上，小明和小颖对一道应用题进行了合作探究：一列火车匀速行驶，经过一条长为1000米的隧道需要50秒，整列火车完全在隧道里的时间是30秒，求火车的长度．（1）请补全小明的探究过程：设火车的长度为x米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为（1000+x）米，所以这段时间内火车的平均速度为1000+x50米/秒；由题意，火车的平均速度还可以表示为　 　米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程　 　，解方程后可得火车的长度为　 　米．（2）小颖认为：也可以通过设火车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请按小颖的思路完成探究过程．3．（2022·全国·七年级专题练习）在一条河中有甲、乙两船，现同时从A顺流而下，乙船到B地时接到通知要立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流而行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千米/小时，水流速度是2.5千米/小时，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A经B再到C共用4小时，问乙船从B到C时，甲船驶离B地多远？4．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）A、B两地相距360km，一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从A地出发驶往B地，已知货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发，小轿车到达B地后在原地等货车．（1）求小轿车出发多长时间追上货车？（2）当两车相距50km时，求小轿车行驶的时间？5．（2022·河北·平山县教育局教研室七年级期末）某中学学生步行到郊外旅行．七年级（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．（1）后队追上前队需要多长时间？（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？（3）两队何时相距2千米？6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）某学校组织学生去香炉山春游，某班学生分别乘大、小两辆车去看炉山，早晨6点钟从学校出发，计划2小时到达．(1)若大车速度为80km/h，正好可以在规定时间到达，而小车速度为100km/h，如果两车同时到达，那么小车可以晚出发多少分钟？(2)若小车每小时能比大车多行30千米，且大车在规定时间到达，小车要提前30分钟到达，求大小车速度．(3)若小车与大车同时以相同速度出发，但走了20分钟以后，发现有物品遗忘，小车准备提速返回取物品并按此速度直到到达，若小车仍想与大车同时在规定时间到达，应提速到原来的多少倍？7．（2022·山东省枣庄市第四十一中学七年级阶段练习）数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数学工具，它让数变得形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足4b+12+a−5=0．(1)直接写出a、b的值；(2)P从B出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动5秒，求此时P点表示的数及P点与A点之间的距离；(3)应用：小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校的西面距学校300米．①以学校为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示100米，小华家为A点，小明家为B点，在数轴上表示出小华家和小明家的位置；②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，问__________分钟后两人相距100米？此时小明在数轴上的位置对应的数为____________．8．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，AO∥BC得到一条“折线数轴”，图中点A表示－20，点B表示20，点C表示36，动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点N从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动从点B运动到点O期间的速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．(1)填空：点A和点C在数轴上相距 个单位长度；(2)当t为何值时，点M与点N相遇？(3)当t为何值时，M、O两点在数轴上相距的长度与N、B两点在数轴上相距的长度相等．9．（2022·广东·江门市第二中学七年级开学考试）如图，城乡公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C三个站点，已知相邻两站之间的距离分别为AB=8千米，BC=4千米，且每个站点的停靠时间为4分钟．已知甲、乙两车于上午8：00分别从A站，C站出发相向而行，两车的速度均为30千米/小时，设两车出发t小时后，问：（1）甲、乙两车到达B站分别用时多少？（2）求两车相遇的时刻．（3）当两车相距4千米时，求t的值．10．（2022·全国·七年级专题练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是5，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍．(1)a＝ ，b＝ ；(2)动点M、N分别从点A、B的位置同时出发，在数轴上做无折返的运动．已知动点M的运动速度是2个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．①若点M和点N相向而行，经过几秒，点M与点N相遇？②若点M和点N都向左运动，经过几秒，点N追上点M？③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒，点M、N相距15个单位长度？11．（2022·陕西咸阳·七年级期末）列方程解应用题，已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米.甲比乙早出发3小时，乙出发1小时后刚好追上甲.（1）求甲的速度；（2）问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米；（3）若丙骑自行车与甲同时出发，沿着这条笔直的公路由B地匀速行驶到A地.经过185小时与乙相遇，求此时甲、丙两人之间距离.12．（2022·安徽·合肥寿春中学七年级期末）已知：甲、乙两辆车在一条公路上匀速行驶．为了确定汽车的位置，我们用OX表示这条公路，原点O为零千米路标．并作如下约定：位置为正，表示汽车位于零千米的右侧；位置为负，表示汽车位于零千米的左侧；位置为零，表示汽车位于零千米处．下表给出了部分时刻以及甲、乙两车在该时刻的对应位置：(1)根据题意．补全表格：(2)甲、乙两车能否相遇．如果相遇．求相遇时的时刻及在公路上的位置；如果不能相遇．请说明理由(3)若忽略车的形状和大小．可将其看做一点．则是否存在这样的 t．使得甲、乙、原点O三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点如果存在．请求出t的值；如果不存在．请说明理由．13．（2022·全国·七年级专题练习）小明有一套火车玩具，有两列火车、一副轨道、一个隧道模型及一个站牌．特别之处：隧道模型也可以像火车一样移动，当火车头进入隧道一瞬间会响起音乐，当火车完全穿过隧道的一瞬间音乐会结束．已知甲火车长20厘米，甲乙两列火车的速度均为5厘米/秒，轨道长3米．（1）将轨道围成一个圆圈，将甲、乙两列火车紧挨站牌放置，车头方向相反，同时启动，到两车相撞用时24秒，求乙火车的长度？（2）在（1）的条件下，乙火车穿过静止的隧道音乐响起了14秒，求隧道的长度；（3）在（1）（2）的条件下，轨道铺成一条直线，把隧道模型、甲火车依次放在站牌的右侧，站牌静止不动，甲火车头与隧道相距10cm(即AD=10cm)．当甲火车向左运动，隧道模型以不变的速度运动，音乐却响了25秒；当音乐结束的一瞬间，甲火车头A与站牌相距乙火车车身的长度，请同学们思考一下，以站牌所在地为原点建立数轴，你能确定甲火车、隧道在运动前的位置吗？如果可以，请画出数轴并标出A，B，C，D运动前的位置．14．（2022·全国·七年级专题练习）(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动．设点P运动时间为x秒．①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请求出t的值．15．（2022·湖北武汉·七年级期末）在武汉市乘坐出租车的收费标准是：路程不超过3千米计费10元；路程超过3千米但不超过10千米时，超出3千米部分按每千米1.5元计费加上10元；路程超过10千米时，超出10千米部分按每千米1元计费，3千米到10千米部分按每千米1.5元计费，再加上10元乘坐滴滴专车的收费标准是：基本费用4元加每千米1.2元．(1)李老师从家到学校的距离是15千米，如果乘坐出租车，费用是______元；如果乘坐滴滴专车，费用是______元；(2)周末外出李老师乘坐出租车和滴滴滴专车各一次，且每次乘车路程大于3千米．①如果李老师两次乘车路程共计50千米，付费71.3元，那么他乘坐出租车和滴滴专车的路程各是多少千米？②如果李老师乘坐出租车的路程超过10千米，他两次乘车的费用共36.1元，且两次乘车的路程都是整数千米，那么李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是多少千米？16．（2022·广东茂名·七年级期末）如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千米/小时，甲、乙两人同时出发．（1）求甲从A到B地所需要的时间．（2）求两人出发后经过多少时间相遇？（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？17．（2022·全国·七年级专题练习）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒．(1)设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米；(2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？(3)若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙追上甲？(4)小明在探索中发现一个非常有趣的结论：在（3）的条件下，甲乙继续跑步，以后遇的地点每次相遇的地点都和第一次遇的地点一样，请同学们试以第n次相遇为例帮小明同学进行简单的论证，并写出每次相遇时点P的位置．18．（2022·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）已知，a，b满足3a−b+(a−3)2=0，分别对应着数轴上的A，B两点．(1)a=________，b=________；(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍；(3)数轴上还有一点C的坐标为28，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数．19．（2022·江苏·七年级期中）已知多项式4x6y2﹣3x2y﹣x﹣7，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．（1）a＝ ，b＝ ；（2）若小蚂蚁甲从点A处以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时小蚂蚁乙从点B处以1.8个单位长度/秒的速度向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，甲在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，乙在碰到饭粒后立即停止运动．设运动的时间为t秒，则t＝ 时，甲、乙两只小蚂蚁的距离为8个单位长度．（3）若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t（s）时的速度为v（mm/s），v与t之间的关系如下图．（其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米）①当2＜t≤5时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？（用含有t的代数式表示）；②当t为 时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm．（请直接写出答案）20．（2022·浙江·七年级单元测试）小王和小李每天从A地到B地上班，小王坐公交车以40km/h的速度匀速行驶，小李开汽车以50km/h的速度匀速行驶．(1)若他们同时从A地出发，15分钟后，两人相距______km；(2)假设途中设有9个站点P1，P2，…，P9公交车在每个站点都停靠0.5分钟．①若两车同时从A地出发，则汽车比公交车早10.5分钟到达．求A，B两地的距离．②若每相邻两个站点间（包含起点站和终点站）的距离相等，小王4：30坐公交车从A地前往B地，8分钟后小李开汽车也从A地前往B地，求小李追上小王的时刻．时间（时）035t甲车位置（km）150①-150②乙车位置（km）③70150④t（s）0＜t≤22＜t≤55＜t≤16v（mm/s）10168专题5.2 行程问题【典例1】甲、乙两地相距72km，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以v1km/h、v2km/h的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2h，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地．（1）v1=______，v2=______；（2）求出发多长时间后，两车相遇？（3）求出发多长时间后，两车相距30km？【思路点拨】（1）根据路程除以时间即可求得速度；（2）根据两车的路程和为甲、乙两地距离的2倍建立一元一次方程，解方程求解即可；（3）设出发t小时后两车相距30km，分情况讨论：①在工程车还未到达乙地,即当0＜t＜2时, ②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，③在工程车返回甲地的途中，即当4＜t≤6时，分相遇前后相距30km，根据题意建立一元一次方程，解方程求解即可．【解题过程】解：（1）由题意得：v1=72×212−6−2=36km/hv2=7212−6=12km/h故答案为：36,12；（2）设出发x小时后两车相遇，根据题意得：36(x－2)＋12x＝72×2,解得x=92答：出发92小时后两车相遇；（3）设出发t小时后两车相距30km，①在工程车还未到达乙地，即当0＜t＜2时，36t-12t=30,解得t=54，②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，12t＋30＝72,解得t＝72，③在工程车返回甲地的途中,即当4＜t≤6时，相遇前，36(t-2)＋12t+30=72×2，解得t=318（舍）相遇后，36(t-2)＋12t-30=72×2，解得t=418答：出发54，72，418小时，两车相距30km.1．（2022·全国·七年级）桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．【思路点拨】设火车车身长为xm，根据题意，列出方程，即可求解．【解题过程】解：设火车车身长为xm，根据题意，得：1200+x50=1200−x30，解得：x＝300， 所以1200+x50=1200+30050=30．答：火车的长度是300m，车速是30m/s．2．（2022·全国·七年级专题练习）数学课上，小明和小颖对一道应用题进行了合作探究：一列火车匀速行驶，经过一条长为1000米的隧道需要50秒，整列火车完全在隧道里的时间是30秒，求火车的长度．（1）请补全小明的探究过程：设火车的长度为x米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为（1000+x）米，所以这段时间内火车的平均速度为1000+x50米/秒；由题意，火车的平均速度还可以表示为　 　米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程　 　，解方程后可得火车的长度为　 　米．（2）小颖认为：也可以通过设火车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请按小颖的思路完成探究过程．【思路点拨】（1）根据速度＝路程÷时间，火车穿过隧道，走过的路程＝隧道长度+火车长度建立方程即可求解；（2）设火车的平均速度为v米/秒，根据隧道的长度不变列出方程．【解题过程】解：（1）由题意，得：火车的平均速度＝1000−x30．由题意，得：1000+x50＝1000−x30解得x＝250．故答案是：1000−x30；1000+x50＝1000−x30；250；（2）根据题意列方程得：50v﹣1000＝1000﹣3v解得：v＝25．火车长度：50v﹣1000＝250（米）答：火车的长度为250米．3．（2022·全国·七年级专题练习）在一条河中有甲、乙两船，现同时从A顺流而下，乙船到B地时接到通知要立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流而行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千米/小时，水流速度是2.5千米/小时，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A经B再到C共用4小时，问乙船从B到C时，甲船驶离B地多远？【思路点拨】由题意可分①当C地在BA的延长线上时，则设AB=x千米，则有x7.5+2.5+x+107.5−2.5=4；②当C地在A、B两地之间时，则设BC=x千米，则有x+107.5+2.5+x7.5−2.5=4，然后问题分别求解即可．【解题过程】解：当C地在BA的延长线上时，则设AB=x千米，由题意得：x7.5+2.5+x+107.5−2.5=4，解得：x=203，∴此时甲驶离B地203+107.5−2.5×(7.5+2.5)=1003千米；当C地在A、B两地之间时，则设BC=x千米，由题意得：x+107.5+2.5+x7.5−2.5=4，解得：x=10，∴此时甲驶离B地：107.5−2.5×(7.5+2.5)=20千米；答：甲驶离B地1003千米或20千米．4．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）A、B两地相距360km，一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从A地出发驶往B地，已知货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发，小轿车到达B地后在原地等货车．（1）求小轿车出发多长时间追上货车？（2）当两车相距50km时，求小轿车行驶的时间？【思路点拨】（1）乙车追上甲车则两车的路程相等，设时间为未知数列方程求解即可；（2）乙车出发后与甲车相距50km，在整个运动过程中存在三种情况：乙车在追上甲车之前；乙车超过甲车且未到B地之前；乙车到达B地而甲车未到B地．根据三种情况利用两车路程之间的关系列方程即可求得．【解题过程】解：（1）设小轿车出发x小时追上货车．根据题意得：60+60x=90x解得：x=2答：小轿车出发2小时追上货车． （2）设小轿车出发y小时与货车相距50km．①当小轿车出发后在追上货车之前，两车相距50km．则有：60+60y=90y+50解得：y=13②当小轿车超过货车且未到B地之前，两车相距50km．则有：60+60y+50=90y解得：y=113③当小轿车到达B地而货车未到B地，两车相距50km．则有：60+60y+50=360解得：y=256．综上得：当小轿车出发13小时、113小时或256小时两车相距50km．5．（2022·河北·平山县教育局教研室七年级期末）某中学学生步行到郊外旅行．七年级（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．（1）后队追上前队需要多长时间？（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？（3）两队何时相距2千米？【思路点拨】（1）设后队追上前队需要x小时，根据后队比前队快的速度×时间=前队比后队先走的路程可列出方程，解出即可得出时间；（2）先计算出联络员所走的时间，再由路程=速度×时间即可得出联络员走的路程．（3）要分三种情况讨论：①当（1）班出发半小时后，相距2千米；②当（2）班还没有超过（1）班时，相距2千米；③当（2）班超过（1）班后，（1）班与（2）班再次相距2千米，分别列出方程，求解即可．【解题过程】解：（1）设后队追上前队需要x小时，由题意得：（6﹣4）x=4×1，解得：x=2．故后队追上前队需要2小时；（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程就是在这2小时内所走的路，所以10×2=20（千米）．答：后队追上前队时间内，联络员走的路程是20千米；（3）要分三种情况讨论：①当七年级（1）班出发半小时后，两队相距4×12=2（千米）②当七年级（2）班还没有超过（1）班时，相距2千米，设七年级（2）班需y小时与七年级（1）相距2千米，由题意得：（6﹣4）y=2，解得：y=1；所以当七年级（2）班出发1小时后两队相距2千米；③当七年级（2）班超过七年级（1）班后，七年级（1）班与七年级（2）班再次相距2千米时（6﹣4）y=4+2，解得：y=3．答：当七年级（1）班出发0.5小时或当七年级（2）班出发1小时后或3小时后，两队相距2千米．6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）某学校组织学生去香炉山春游，某班学生分别乘大、小两辆车去看炉山，早晨6点钟从学校出发，计划2小时到达．(1)若大车速度为80km/h，正好可以在规定时间到达，而小车速度为100km/h，如果两车同时到达，那么小车可以晚出发多少分钟？(2)若小车每小时能比大车多行30千米，且大车在规定时间到达，小车要提前30分钟到达，求大小车速度．(3)若小车与大车同时以相同速度出发，但走了20分钟以后，发现有物品遗忘，小车准备提速返回取物品并按此速度直到到达，若小车仍想与大车同时在规定时间到达，应提速到原来的多少倍？【思路点拨】（1）设小车可以晚x分钟到达，根据等量关系：大车的速度×2=小车的速度×（2−x60），即可求解；（2）设大车速度为xkm/h，则小车速度为（x+30）km/h；根据等量关系：大车的速度×2=小车的速度×（2−3060），即可求解；（3）设应提速到原来的a倍，令小车原来速度为m，根据等量关系：原来的速度×2+原来的速度×2060=提速后的速度×（2−2060），即可求解．【解题过程】（1）解：设小车可以晚x分钟到达；80×2=100×（2−x60）解得：x=24答：小车可以晚24分钟出发．（2）解：设大车速度为xkm/h，则小车速度为（x+30）km/h；x×2=（x+30）×（2−3060）解得：x=90 ∴x+30=120，答：设大车速度为90km/h，则小车速度为120km/h；（3）解：设应提速到原来的a倍，令小车原来速度为m，m×2+m×2060=am×（2−2060）解得：a=1.4答：应提速到原来的1.4倍．7．（2022·山东省枣庄市第四十一中学七年级阶段练习）数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数学工具，它让数变得形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足4b+12+a−5=0．(1)直接写出a、b的值；(2)P从B出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动5秒，求此时P点表示的数及P点与A点之间的距离；(3)应用：小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校的西面距学校300米．①以学校为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示100米，小华家为A点，小明家为B点，在数轴上表示出小华家和小明家的位置；②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，问__________分钟后两人相距100米？此时小明在数轴上的位置对应的数为____________．【思路点拨】(1)根据绝对值的非负性质即可求解；(2)首先根据B点对应的数字及P点运动时间可得P点表示的数，再根据A点对应的数字即可得P点与A点之间的距离；(3)①利用数轴结合实际意义可得答案；②设x分钟后两人相遇100米，根据题意分两种情况，利用等量关系列出方程，再解即可．【解题过程】（1）解：∵4b+12+a−5=0，∴4b+12=0，a-5=0，解得a=5，b=-3；（2）解：由(1)知：点A表示的数为5，点B表示的数为-3，根据题意得：P点表示的数为：-3+3×5=12，P点与A点之间的距离为：12-5=7，答：此时P点表示的数为12，P点与A点之间的距离为7；（3）解：①在数轴上表示如下：②设x分钟后两人相遇100米，由题意得：相遇前：50x+50x=300+500−100，解得：x=7，相遇后：50x+50x=300+500+100，解得：x=9，∴7或9分钟后两人相距100米；此时小明在数轴上的位置对应的数为：−3+0.5×7=0.5或−3+0.5×9=1.5，故答案为：7或9；0.5或1.5．8．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，AO∥BC得到一条“折线数轴”，图中点A表示－20，点B表示20，点C表示36，动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点N从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动从点B运动到点O期间的速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．(1)填空：点A和点C在数轴上相距 个单位长度；(2)当t为何值时，点M与点N相遇？(3)当t为何值时，M、O两点在数轴上相距的长度与N、B两点在数轴上相距的长度相等．【思路点拨】（1）由点A表示－20，点C表示36，即可求出点A和点C在数轴上相距56个单位长度；（2）首先根据题意计算出点N从C到B用时16s，M从A到O用时10秒，进而判断出点M、N在OB段相遇，然后列方程求解即可；（3）根据题意分4种情况讨论，分别列出方程求解即可．【解题过程】解：（1）∵点A表示－20，点C表示36，∴36-(-20)=56，故答案为：56；（2）由题意可得N从C到B用时16s，M从A到O用时10秒，即M、N在OB段相遇．∴20+t−10+16+2t−16=56∴t=2023（秒）∴当t为2023秒时，点M与点N相遇（3）根据题意，有4种情况：①当点M在AO上，点N在CB上时，OM=20−2t，BN=16−t∵OM=BN．∴20−2t=16−t，解得t=4；②当点M在OB上时，点N在CB上时，OM=t−10，BN=16−t，∵OM=BN，∴t−10=16−t，解得t=13；③当点M在OB上时，点N在OB上时，OM=t−10，BN=2t−16∵OM=BN，∴t−10=2t−16解得t=22；④当点M在BC上时，点N在OA上时，得：20+2t−30=20+t−26，解得t=34；综上所述：t的值为4，13，22，34．9．（2022·广东·江门市第二中学七年级开学考试）如图，城乡公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C三个站点，已知相邻两站之间的距离分别为AB=8千米，BC=4千米，且每个站点的停靠时间为4分钟．已知甲、乙两车于上午8：00分别从A站，C站出发相向而行，两车的速度均为30千米/小时，设两车出发t小时后，问：（1）甲、乙两车到达B站分别用时多少？（2）求两车相遇的时刻．（3）当两车相距4千米时，求t的值．【思路点拨】（1）根据时间=路程÷速度列式即可求值；（2）根据题意列出方程30t+30(t−460)=8+4，进行求值即可 ；（3）分三种情况：①两车相遇前，乙车刚到B站时，两车相距4千米，②两车相遇后，乙车经过B站，甲车还没有到B站时，③两车相遇后，甲乙两车都经过B站时，分别列出式子表示即可；【解题过程】解：（1）甲车到B站用时830=415（小时）=16（分钟）．乙车到B站用时430=215（小时）=8（分钟）．（2）由题意可列方程30t+30(t−460)=8+4解得：t=1460小时=14分钟．所以两车在8：14两车相遇．（3）分三种情况：①两车相遇前，乙车刚到B站时，两车相距4千米，此时t=215（小时）②两车相遇后，乙车经过B站，甲车还没有到B站时，30t+30(t−460)=12+4，解得：t=310>415，此时甲车已经过B站，与假设矛盾（舍去）．③两车相遇后，甲乙两车都经过B站时，30(t−460)+30(t−460)=12+4，解得：t=13（小时）综上所述：当t=215小时或13小时时，两车相距4千米．10．（2022·全国·七年级专题练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是5，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍．(1)a＝ ，b＝ ；(2)动点M、N分别从点A、B的位置同时出发，在数轴上做无折返的运动．已知动点M的运动速度是2个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．①若点M和点N相向而行，经过几秒，点M与点N相遇？②若点M和点N都向左运动，经过几秒，点N追上点M？③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒，点M、N相距15个单位长度？【思路点拨】（1）根据题意确定A点坐标，再确定B点坐标；（2）先求出AB的长度，①若M，N相向而行，设x秒相遇，根据题意列出一元一次方程即可求解；②当点M，N都向左运动，设y秒点N追上点M，根据题意列出一元一次方程即可求解；③设经过t秒点M，N相距15个单位长度，此时需分类讨论，注意N点速度大于M点速度，第一种情况：当点M，N相向运动，且M在N左边时；第二种情况：当点M，N相向运动，且M在N右边时；第三种情况：当M，N都向左运动，且M在N左边时；第四种情况：当M，N都向左运动，且M在N右边时．四种情况均利用一元一次方程即可求解．【解题过程】解：（1）∵点A在原点的左侧且到原点的距离是5，∴点A表示的数是﹣5．∵点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍，∴点B表示的数是5×6＝30．故答案为：﹣5，30；（2）AB＝b﹣a＝30﹣（﹣5）＝35．①若M，N相向而行，设x秒相遇，则2x＋3x＝35，解得x＝7．答：经过7秒，点M与N相遇．②当点M，N都向左运动，设y秒点N追上点M，则3y＝35＋2y，解得y＝35．答：经过35秒，点N追上点M．③设经过t秒点M，N相距15个单位长度．当点M，N相向运动，且M在N左边时，35﹣2t﹣3t＝15，解得t＝4；当点M，N相向运动，且M在N右边时，2t＋3t﹣35＝15，解得t＝10．当M，N都向左运动，且M在N左边时，则3t﹣2t＝35﹣15，解得t＝20．当M，N都向左运动，且M在N右边时，3t﹣2t＝35＋15，解得t＝50．综上所述，经过4，10，20或50秒，点M、N相距15个单位长度．11．（2022·陕西咸阳·七年级期末）列方程解应用题，已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米.甲比乙早出发3小时，乙出发1小时后刚好追上甲.（1）求甲的速度；（2）问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米；（3）若丙骑自行车与甲同时出发，沿着这条笔直的公路由B地匀速行驶到A地.经过185小时与乙相遇，求此时甲、丙两人之间距离.【思路点拨】（1）设甲的速度为x，根据甲行驶的路程与乙行驶的路程相等，列出方程求解即可；（2）根据甲行驶的路程与乙行驶的路程相差6千米(分追上前和追上后两种情况讨论)，列出方程求解即可；（3）根据题意，乙行驶的时间为(185−3)小时，根据甲行驶的路程+丙行驶的路程＝60，求得丙的速度，再用60-甲、丙两人的路程和，就可求得甲、丙两人之间距离.【解题过程】解：（1）设甲的速度为x，依题意得 ：1+3x=x+30解得：x=10∴甲的速度为每小时10千米；（2）设乙出发之后t小时，甲乙两人相距6千米，由（1）的结论：甲的速度为每小时10千米，乙的速度为每小时40千米；未追上前：依题意得 ：10t+3−40t=6解得：t=0.8追上并超过后：依题意得 ：40t−10t+3=6解得：t=1.2此时：1.2×40=48