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备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题11二次根式(原卷版+解析)
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这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题11二次根式(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了 二次根式， 最简二次根式，同类二次根式，分母有理化，二次根式的运算等内容，欢迎下载使用。
二次根式知识点是中考数学的主要考查内容之一，常常以客观题的形式进行考查，重点要求熟练掌握二次根式的定义、性质、同类二次根式、最简二次根式和二次根式的运算，二次根式的运算另一种考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点。
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
2. 最简二次根式
①被开方数是整数或整式；
②被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
3.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
二次根式的性质
1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，
5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若他们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.
常用二次根式的有理化因式：
①与互为有理化因式；
②a＋与a-互为有理化因式；
③＋与-互为有理化因式。
一、单选题
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
3．下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列式子中二次根式有（ ）
①；②；③﹣；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7．下面说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．与是同类二次根式
C．形如的式子是二次根式D．
8．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）．
A．B．C．D．无法确定
二、填空题
9．当m___________时，二次根式有意义．
10．若，则_________．
11．函数的定义域为________．
12．已知函数，若，则________．
13．成立的条件是_________．
14．若，化简___________．
15．已知，化简二次根式的结果是______．
16．计算：________．
6.二次根式的运算
①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方， 那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面， 反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
③乘除法：
乘除法法则：
要点：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式
一、单选题
1．下列各式的计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．估算：的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
3．下列等式：①，②，③，④，⑤．正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．二次根式的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式中，是的有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列结论正确的是（ ）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最简二次根式
7．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．互为有理化因式
8．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确D．只有乙正确
二、填空题
9．计算：___________．
10．计算：（1）______；（2）______．
（3）______；（4）______．
11．不等式的解集是________.
12．将（，）化为最简二次根式：_____．
13．若最简二次根式与是同类二次根式，则______．
14．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为________．
15．已知，则______．
16．海伦－秦九韶公式；海伦公式又译作希伦公式，海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆，而公式里的p为半周长（周长的一半）即：；已知三角形最短边是3，最长边是10，第三边是奇数，则该三角形的面积是________．
三、解答题
17．计算：
18．计算：．
19．计算：
(1)
(2)
20．计算：
21．已知，求的值．
22．先化简再求值：，其中， ．
一、单选题
1． (2023·上海徐汇·统考二模）如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·上海奉贤·统考三模）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·上海青浦·统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·上海·统考二模）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·上海徐汇·统考二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
7．（2018·上海·校联考模拟预测）下列计算错误的是（ ）
A．=±2B．=2C．D．
8．（2018·上海杨浦·统考三模）下列式子中，与互为有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2018·上海·校联考模拟预测）比较大小：-3________-2
10．（2018·上海杨浦·统考一模）化简：①=_____；②=_____；③=_____．
11．（2018·上海·校联考模拟预测）计算：____________．
12．（2017·上海长宁·统考二模）已知函数，那么_____．
13． (2023·上海宝山·统考二模）方程的解为______.
14．（2012·上海黄浦·统考二模）分母有理化：________
15． (2023·上海金山·统考二模）化简：的结果是____．
16．（2017·上海宝山·统考二模）计算：=______．
三、解答题
17． (2023·上海浦东新·统考二模）计算：．
18． (2023·上海金山·二模）计算：．
19．（2014·上海浦东新·统考二模）计算：
20． (2023·上海·上海市实验学校校考二模）先化简，再求值：其中
21． (2023·上海徐汇·统考二模）先化简再求值：（）•，其中a＝2+，b＝2﹣．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
专题11 二次根式
二次根式知识点是中考数学的主要考查内容之一，常常以客观题的形式进行考查，重点要求熟练掌握二次根式的定义、性质、同类二次根式、最简二次根式和二次根式的运算，二次根式的运算另一种考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点。
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
2. 最简二次根式
①被开方数是整数或整式；
②被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
3.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
二次根式的性质
1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，
5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若他们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.
常用二次根式的有理化因式：
①与互为有理化因式；
②a＋与a-互为有理化因式；
③＋与-互为有理化因式。
一、单选题
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；
B、，，故一定是二次根式，符合题意；
C、，若时，无意义，不合题意；
D、是三次根式，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
2．代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组解不等式组即可．
【详解】解：代数式有意义，
，
解得且，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组．
3．下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将各个选项中的二次根式进行化简，然后再进行判断即可．
【详解】解：A．，故该选项符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；
D．，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握化成最简二次根式的方法，是解题的关键．
4．下列式子中二次根式有（ ）
①；②；③﹣；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】根据形如的式子叫做二次根式判断即可．
【详解】解：二次根式有：①；③﹣；⑤；⑥；⑦共5个，
无意义，不是二次根式；
的根指数为3，不是二次根式；
∵，
∴，
∴不是二次根式；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行判定即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式；
B．与不是同类二次根式；
C．与不是同类二次根式；
D．与是同类二次根式．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、同类二次根式等知识点，根据二次根式的定义化简二次根式是解题的关键．
6．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可．
【详解】A．的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的因数，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B．，因此不是最简二次根式，所以选项B不符合题意；
C．，因此不是最简二次根式，所以选项C不符合题意；
D．不是二次根式，所以选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
7．下面说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．与是同类二次根式
C．形如的式子是二次根式D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可判断A；根据二次根式的性质即可判断B、D；根据二次根式的定义即可判断C．
【详解】解：A、是最简二次根式，说法正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，说法错误，不符合题意；
C、当时，形如的式子不是二次根式，说法错误，不符合题意；
D、，说法错误，不符合题意；
故选A
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，最简二次根式的定义，二次根式的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）．
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据点在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．
【详解】解：∵由图可知：，
∴，，
∴原式，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
二、填空题
9．当m___________时，二次根式有意义．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求出m的范围．
【详解】解：根据题意，得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
10．若，则_________．
【答案】3
【分析】首先根据二次根式的性质，可求得，，再把，代入，即可求得其值．
【详解】解：，
解得，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值问题，求得x、y的值是解决本题的关键．
11．函数的定义域为________．
【答案】且
【分析】根据二次根式的被开方数非负，分母不为零即可确定函数的定义域．
【详解】由题意得：且，
且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，注意二次根式被开方数非负，分母不为零是求函数自变量取值范围时常常要考虑的．
12．已知函数，若，则________．
【答案】
【分析】根据已知函数的形式代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查求函数的自变量的值，理解新定义的函数形式是解题的关键．
13．成立的条件是_________．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则和二次根式的性质（的条件是且）得出且，求出组成的不等式组的解集即可．
【详解】解：根据二次根式的除法法则得出，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的除法法则的应用，能熟记二次根式的除法法则的内容是解此题的关键．
14．若，化简___________．
【答案】
【分析】首先利用二次根式的性质得出，进而化简求出即可．
【详解】解：∵ ，有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
15．已知，化简二次根式的结果是______．
【答案】
【分析】二次根式有意义，，结合已知条件得，化简即可得出最简形式．
【详解】解：根据题意，，
得和同号，
又中，
，
，，
则原式，
故答案为：．
【点睛】主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数．
16．计算：________．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
6.二次根式的运算
①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方， 那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面， 反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
③乘除法：
乘除法法则：
要点：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式
一、单选题
1．下列各式的计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可．
【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不符合题意；
B. ，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. ，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2．估算：的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【答案】C
【分析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，再估算出的范围，得出答案即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴估算的值应在2到3之间，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算和估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
3．下列等式：①，②，③，④，⑤．正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项．
【详解】解：①，原计算错误，②，原计算正确；③，原计算错误；④，原计算正确；⑤，原计算错误；
∴正确的有2个；
故选C．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键．
4．二次根式的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是．
【详解】解：，
故一个有理化因式是，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式．
5．下列各式中，是的有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可。
【详解】的有理化因式是，
故选：D．
【点睛】本题考查分母有理化，如果两个根式的积不含有根号，那么这两个根式叫互为有理化因式，解题的关键是熟知其定义．
6．下列结论正确的是（ ）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最简二次根式
【答案】D
【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：A、有理化因式可以是，故A不符合题意．
B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．
C、∵（2﹣）x＞1，
∴x＜，
∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最简二次根式，本题属于基础题型．
7．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．互为有理化因式
【答案】A
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
【详解】解：∵a＝＝+2，b＝2+，
∴a＝b，
故选：A．
【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．
8．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确D．只有乙正确
【答案】D
【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得．
【详解】解：甲：当时，
，
当a=b时，无意义，
乙：，
∴甲错误，乙正确，
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法正确，符合题意;
故选D．
【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，解题的关键是要全面考虑a与b之间的数量关系．
二、填空题
9．计算：___________．
【答案】##
【分析】根据二次根式除法法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式除法法则是解题的关键．
10．计算：（1）______；（2）______．
（3）______；（4）______．
【答案】 2 4 5
【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；
（2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；
（3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；
（4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．
【详解】解：（1）
故答案为：2；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：4；
（4）
故答案为：5．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
11．不等式的解集是________.
【答案】##
【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
即
∵，
∴
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键．
12．将（，）化为最简二次根式：_____．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键．
13．若最简二次根式与是同类二次根式，则______．
【答案】2或0
【分析】根据二次根式和同类二次根式的定义列方程求出x、y的值，再计算．
【详解】由题意得，，，
解得，，
∴当时，；
当时，；
故答案为2或0．
【点睛】本题考查二次根式和同类二次根式的定义，二次根式省略的根指数为2，化成最简二次根式之后，若被开方数相同，称为同类二次根式，掌握基本概念是关键．
14．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为________．
【答案】1
【分析】根据题意得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵的整数部分为，小数部分为，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，求得是解题的关键．
15．已知，则______．
【答案】7
【分析】对已知等式两边平方，展开计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，分式的运算，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
16．海伦－秦九韶公式；海伦公式又译作希伦公式，海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆，而公式里的p为半周长（周长的一半）即：；已知三角形最短边是3，最长边是10，第三边是奇数，则该三角形的面积是________．
【答案】或
【分析】先根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而确定第三边的长度，再根据海伦－秦九韶公式求得该三角形的面积．
【详解】解：设第三边长是c，则，
即，
又∵第三边的长是奇数，
∴或11，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
故答案为：或．
【点睛】此题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，关键是根据三角形的面积公式解答．
三、解答题
17．计算：
【答案】0
【分析】根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．计算：．
【答案】
【分析】把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可．
【详解】解：原式
【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加减乘除运算求解即可；
（2）由题意可得：，根据二次根式的性质以及运算，求解即可．
【详解】（1）
（2）由题意可得：，
【点睛】此题考查了二次根式的四则运算，涉及了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的有关运算．
20．计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和加减法运算法则分别计算、化简即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和计算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．
21．已知，求的值．
【答案】
【分析】先根据分式混合运算的法则和二次根式的性质把原式进行化简，再把a的值代入代数式进行计算即可．
【详解】解：
∵，
∴，
∴原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的性质，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．先化简再求值：，其中， ．
【答案】
【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
【详解】解：原式
＝
，
当，
时：
原式．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
一、单选题
1． (2023·上海徐汇·统考二模）如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零,进行分析即可．
【详解】解：A、当m＜0时，无意义，故此选项不符合题意；
B、当m＜﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；
C、当m＝﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；
D、m是任意实数，都有意义，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二式有意义的基本条件是解题的关键．
2． (2023·上海奉贤·统考三模）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．
【详解】解：A、a与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、=|a|与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、=|a|与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、=a2与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、=|a|，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，是最简二次根式，故此选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式概念，最简二次根式满足的条件是：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母．
4． (2023·上海青浦·统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质及因式分解可进行求解．
【详解】解：A、的被开方数的因式指数为1，故符合题意；
B、的被开方数的因式分别为5，，其中x的指数为2，故不符合题意；
C、的被开方数的因式有3，，其中4是2的平方，故不符合题意；
D、的被开方数的因式为，指数是2，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的概念及因式分解，熟练掌握二次根式的概念及因式分解是解题的关键．
5． (2023·上海·统考二模）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式及有理化因式的定义逐个判断即可．
【详解】解：
的有理化因式是，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6． (2023·上海徐汇·统考二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式
A：满足条件，正确；
B：，错误；
C：，错误；
D：，错误．
故答案选：A
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需要满足的条件是解题关键．
7．（2018·上海·校联考模拟预测）下列计算错误的是（ ）
A．=±2B．=2C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质直接排除选项即可．
【详解】解：A、，故原题计算错误；
B、，故原题计算正确；
C、，故原题计算正确；
D、，故原题计算正确：
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．（2018·上海杨浦·统考三模）下列式子中，与互为有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用有理化因式的定义分析得出答案．
【详解】∵（）（，）
=12﹣2，
=10，
∴与互为有理化因式的是：，
故选B．
【点睛】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式. 单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定.
二、填空题
9．（2018·上海·校联考模拟预测）比较大小：-3________-2
【答案】
【分析】根据二次根式的大小比较进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解题的关键．
10．（2018·上海杨浦·统考一模）化简：①=_____；②=_____；③=_____．
【答案】 4 5 5
【分析】根据二次根式的性质和乘法法则逐个化简计算即可．
【详解】解：①原式=4；②原式==5；③原式==5．
故填：①4；②5；③5．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质和乘法法则，灵活运用二次根式的性质进行化简与计算成为解答本题的关键．
11．（2018·上海·校联考模拟预测）计算：____________．
【答案】
【分析】先判断的正负，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，，， （a≥0，b>0）．
12．（2017·上海长宁·统考二模）已知函数，那么_____．
【答案】
【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.
【详解】因为函数，
所以当时， ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.
13． (2023·上海宝山·统考二模）方程的解为______.
【答案】
【分析】先移项，再两边同时平方即可.
【详解】，移项得，两边同时平方2x-1=1,可得x=1,
故答案为x=1.
【点睛】本题考查的是二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
14．（2012·上海黄浦·统考二模）分母有理化：________
【答案】
【分析】分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式．
【详解】由题意得，
15． (2023·上海金山·统考二模）化简：的结果是____．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质即可化简.
【详解】∵，∴a＞0
∴=
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质.
16．（2017·上海宝山·统考二模）计算：=______．
【答案】
【详解】原式= .
三、解答题
17． (2023·上海浦东新·统考二模）计算：．
【答案】-1
【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝2+﹣﹣（+1）﹣
＝2+﹣﹣﹣1﹣
＝﹣1．
【点睛】此题主要考查实数与二次根式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则．
18． (2023·上海金山·二模）计算：．
【答案】．
【分析】第一项用平方差公式解答，第二项用分母有理化化简，第三项用负指数幂解答，第四项用绝对值性质解答即可．
【详解】解：原式＝3﹣2+
＝3﹣2+﹣1﹣﹣+1
＝．
【点睛】本题考查了平方差公式，分母有理化，负指数幂，绝对值等知识，掌握这些知识点是解题的关键．
19．（2014·上海浦东新·统考二模）计算：
【答案】.
【详解】试题分析：根据二次根式的运算进行计算即可.
试题解析：
原式
考点：二次根式的计算.
20． (2023·上海·上海市实验学校校考二模）先化简，再求值：其中
【答案】，．
【分析】先运用分式除法、同分母分式加减法法则进行计算，再将代入求值即可得出结论．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算的相关运算法则是解题的关键．
21． (2023·上海徐汇·统考二模）先化简再求值：（）•，其中a＝2+，b＝2﹣．
【答案】
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（）•，
＝[]•，
＝（）•，
＝，
＝，
当a＝2+，b＝2﹣时，原式＝＝＝＝．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的运算，解题关键是熟练运用分式的运算法则和二次根式运算法则进行计算．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
二次根式知识点是中考数学的主要考查内容之一，常常以客观题的形式进行考查，重点要求熟练掌握二次根式的定义、性质、同类二次根式、最简二次根式和二次根式的运算，二次根式的运算另一种考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点。
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
2. 最简二次根式
①被开方数是整数或整式；
②被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
3.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
二次根式的性质
1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，
5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若他们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.
常用二次根式的有理化因式：
①与互为有理化因式；
②a＋与a-互为有理化因式；
③＋与-互为有理化因式。
一、单选题
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
3．下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列式子中二次根式有（ ）
①；②；③﹣；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7．下面说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．与是同类二次根式
C．形如的式子是二次根式D．
8．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）．
A．B．C．D．无法确定
二、填空题
9．当m___________时，二次根式有意义．
10．若，则_________．
11．函数的定义域为________．
12．已知函数，若，则________．
13．成立的条件是_________．
14．若，化简___________．
15．已知，化简二次根式的结果是______．
16．计算：________．
6.二次根式的运算
①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方， 那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面， 反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
③乘除法：
乘除法法则：
要点：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式
一、单选题
1．下列各式的计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．估算：的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
3．下列等式：①，②，③，④，⑤．正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．二次根式的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式中，是的有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列结论正确的是（ ）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最简二次根式
7．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．互为有理化因式
8．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确D．只有乙正确
二、填空题
9．计算：___________．
10．计算：（1）______；（2）______．
（3）______；（4）______．
11．不等式的解集是________.
12．将（，）化为最简二次根式：_____．
13．若最简二次根式与是同类二次根式，则______．
14．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为________．
15．已知，则______．
16．海伦－秦九韶公式；海伦公式又译作希伦公式，海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆，而公式里的p为半周长（周长的一半）即：；已知三角形最短边是3，最长边是10，第三边是奇数，则该三角形的面积是________．
三、解答题
17．计算：
18．计算：．
19．计算：
(1)
(2)
20．计算：
21．已知，求的值．
22．先化简再求值：，其中， ．
一、单选题
1． (2023·上海徐汇·统考二模）如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·上海奉贤·统考三模）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·上海青浦·统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·上海·统考二模）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·上海徐汇·统考二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
7．（2018·上海·校联考模拟预测）下列计算错误的是（ ）
A．=±2B．=2C．D．
8．（2018·上海杨浦·统考三模）下列式子中，与互为有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2018·上海·校联考模拟预测）比较大小：-3________-2
10．（2018·上海杨浦·统考一模）化简：①=_____；②=_____；③=_____．
11．（2018·上海·校联考模拟预测）计算：____________．
12．（2017·上海长宁·统考二模）已知函数，那么_____．
13． (2023·上海宝山·统考二模）方程的解为______.
14．（2012·上海黄浦·统考二模）分母有理化：________
15． (2023·上海金山·统考二模）化简：的结果是____．
16．（2017·上海宝山·统考二模）计算：=______．
三、解答题
17． (2023·上海浦东新·统考二模）计算：．
18． (2023·上海金山·二模）计算：．
19．（2014·上海浦东新·统考二模）计算：
20． (2023·上海·上海市实验学校校考二模）先化简，再求值：其中
21． (2023·上海徐汇·统考二模）先化简再求值：（）•，其中a＝2+，b＝2﹣．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
专题11 二次根式
二次根式知识点是中考数学的主要考查内容之一，常常以客观题的形式进行考查，重点要求熟练掌握二次根式的定义、性质、同类二次根式、最简二次根式和二次根式的运算，二次根式的运算另一种考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点。
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
2. 最简二次根式
①被开方数是整数或整式；
②被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
3.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
二次根式的性质
1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，
5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若他们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.
常用二次根式的有理化因式：
①与互为有理化因式；
②a＋与a-互为有理化因式；
③＋与-互为有理化因式。
一、单选题
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；
B、，，故一定是二次根式，符合题意；
C、，若时，无意义，不合题意；
D、是三次根式，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
2．代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组解不等式组即可．
【详解】解：代数式有意义，
，
解得且，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组．
3．下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将各个选项中的二次根式进行化简，然后再进行判断即可．
【详解】解：A．，故该选项符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；
D．，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握化成最简二次根式的方法，是解题的关键．
4．下列式子中二次根式有（ ）
①；②；③﹣；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】根据形如的式子叫做二次根式判断即可．
【详解】解：二次根式有：①；③﹣；⑤；⑥；⑦共5个，
无意义，不是二次根式；
的根指数为3，不是二次根式；
∵，
∴，
∴不是二次根式；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行判定即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式；
B．与不是同类二次根式；
C．与不是同类二次根式；
D．与是同类二次根式．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、同类二次根式等知识点，根据二次根式的定义化简二次根式是解题的关键．
6．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可．
【详解】A．的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的因数，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B．，因此不是最简二次根式，所以选项B不符合题意；
C．，因此不是最简二次根式，所以选项C不符合题意；
D．不是二次根式，所以选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
7．下面说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．与是同类二次根式
C．形如的式子是二次根式D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可判断A；根据二次根式的性质即可判断B、D；根据二次根式的定义即可判断C．
【详解】解：A、是最简二次根式，说法正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，说法错误，不符合题意；
C、当时，形如的式子不是二次根式，说法错误，不符合题意；
D、，说法错误，不符合题意；
故选A
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，最简二次根式的定义，二次根式的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）．
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据点在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．
【详解】解：∵由图可知：，
∴，，
∴原式，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
二、填空题
9．当m___________时，二次根式有意义．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求出m的范围．
【详解】解：根据题意，得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
10．若，则_________．
【答案】3
【分析】首先根据二次根式的性质，可求得，，再把，代入，即可求得其值．
【详解】解：，
解得，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值问题，求得x、y的值是解决本题的关键．
11．函数的定义域为________．
【答案】且
【分析】根据二次根式的被开方数非负，分母不为零即可确定函数的定义域．
【详解】由题意得：且，
且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，注意二次根式被开方数非负，分母不为零是求函数自变量取值范围时常常要考虑的．
12．已知函数，若，则________．
【答案】
【分析】根据已知函数的形式代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查求函数的自变量的值，理解新定义的函数形式是解题的关键．
13．成立的条件是_________．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则和二次根式的性质（的条件是且）得出且，求出组成的不等式组的解集即可．
【详解】解：根据二次根式的除法法则得出，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的除法法则的应用，能熟记二次根式的除法法则的内容是解此题的关键．
14．若，化简___________．
【答案】
【分析】首先利用二次根式的性质得出，进而化简求出即可．
【详解】解：∵ ，有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
15．已知，化简二次根式的结果是______．
【答案】
【分析】二次根式有意义，，结合已知条件得，化简即可得出最简形式．
【详解】解：根据题意，，
得和同号，
又中，
，
，，
则原式，
故答案为：．
【点睛】主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数．
16．计算：________．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
6.二次根式的运算
①因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方， 那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面， 反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
②二次根式的加减法：将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
③乘除法：
乘除法法则：
要点：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
④有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式
一、单选题
1．下列各式的计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可．
【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不符合题意；
B. ，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. ，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2．估算：的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【答案】C
【分析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，再估算出的范围，得出答案即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴估算的值应在2到3之间，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算和估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
3．下列等式：①，②，③，④，⑤．正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项．
【详解】解：①，原计算错误，②，原计算正确；③，原计算错误；④，原计算正确；⑤，原计算错误；
∴正确的有2个；
故选C．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键．
4．二次根式的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是．
【详解】解：，
故一个有理化因式是，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式．
5．下列各式中，是的有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可。
【详解】的有理化因式是，
故选：D．
【点睛】本题考查分母有理化，如果两个根式的积不含有根号，那么这两个根式叫互为有理化因式，解题的关键是熟知其定义．
6．下列结论正确的是（ ）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最简二次根式
【答案】D
【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：A、有理化因式可以是，故A不符合题意．
B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．
C、∵（2﹣）x＞1，
∴x＜，
∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最简二次根式，本题属于基础题型．
7．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．互为有理化因式
【答案】A
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
【详解】解：∵a＝＝+2，b＝2+，
∴a＝b，
故选：A．
【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．
8．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确D．只有乙正确
【答案】D
【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得．
【详解】解：甲：当时，
，
当a=b时，无意义，
乙：，
∴甲错误，乙正确，
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法正确，符合题意;
故选D．
【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，解题的关键是要全面考虑a与b之间的数量关系．
二、填空题
9．计算：___________．
【答案】##
【分析】根据二次根式除法法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式除法法则是解题的关键．
10．计算：（1）______；（2）______．
（3）______；（4）______．
【答案】 2 4 5
【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；
（2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；
（3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；
（4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．
【详解】解：（1）
故答案为：2；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：4；
（4）
故答案为：5．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
11．不等式的解集是________.
【答案】##
【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
即
∵，
∴
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键．
12．将（，）化为最简二次根式：_____．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键．
13．若最简二次根式与是同类二次根式，则______．
【答案】2或0
【分析】根据二次根式和同类二次根式的定义列方程求出x、y的值，再计算．
【详解】由题意得，，，
解得，，
∴当时，；
当时，；
故答案为2或0．
【点睛】本题考查二次根式和同类二次根式的定义，二次根式省略的根指数为2，化成最简二次根式之后，若被开方数相同，称为同类二次根式，掌握基本概念是关键．
14．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为________．
【答案】1
【分析】根据题意得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵的整数部分为，小数部分为，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，求得是解题的关键．
15．已知，则______．
【答案】7
【分析】对已知等式两边平方，展开计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，分式的运算，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
16．海伦－秦九韶公式；海伦公式又译作希伦公式，海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆，而公式里的p为半周长（周长的一半）即：；已知三角形最短边是3，最长边是10，第三边是奇数，则该三角形的面积是________．
【答案】或
【分析】先根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而确定第三边的长度，再根据海伦－秦九韶公式求得该三角形的面积．
【详解】解：设第三边长是c，则，
即，
又∵第三边的长是奇数，
∴或11，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
故答案为：或．
【点睛】此题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，关键是根据三角形的面积公式解答．
三、解答题
17．计算：
【答案】0
【分析】根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．计算：．
【答案】
【分析】把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可．
【详解】解：原式
【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加减乘除运算求解即可；
（2）由题意可得：，根据二次根式的性质以及运算，求解即可．
【详解】（1）
（2）由题意可得：，
【点睛】此题考查了二次根式的四则运算，涉及了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的有关运算．
20．计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和加减法运算法则分别计算、化简即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和计算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．
21．已知，求的值．
【答案】
【分析】先根据分式混合运算的法则和二次根式的性质把原式进行化简，再把a的值代入代数式进行计算即可．
【详解】解：
∵，
∴，
∴原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的性质，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．先化简再求值：，其中， ．
【答案】
【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
【详解】解：原式
＝
，
当，
时：
原式．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
一、单选题
1． (2023·上海徐汇·统考二模）如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零,进行分析即可．
【详解】解：A、当m＜0时，无意义，故此选项不符合题意；
B、当m＜﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；
C、当m＝﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；
D、m是任意实数，都有意义，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二式有意义的基本条件是解题的关键．
2． (2023·上海奉贤·统考三模）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．
【详解】解：A、a与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、=|a|与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、=|a|与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、=a2与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、=|a|，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，是最简二次根式，故此选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式概念，最简二次根式满足的条件是：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母．
4． (2023·上海青浦·统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质及因式分解可进行求解．
【详解】解：A、的被开方数的因式指数为1，故符合题意；
B、的被开方数的因式分别为5，，其中x的指数为2，故不符合题意；
C、的被开方数的因式有3，，其中4是2的平方，故不符合题意；
D、的被开方数的因式为，指数是2，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的概念及因式分解，熟练掌握二次根式的概念及因式分解是解题的关键．
5． (2023·上海·统考二模）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式及有理化因式的定义逐个判断即可．
【详解】解：
的有理化因式是，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6． (2023·上海徐汇·统考二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式
A：满足条件，正确；
B：，错误；
C：，错误；
D：，错误．
故答案选：A
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需要满足的条件是解题关键．
7．（2018·上海·校联考模拟预测）下列计算错误的是（ ）
A．=±2B．=2C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质直接排除选项即可．
【详解】解：A、，故原题计算错误；
B、，故原题计算正确；
C、，故原题计算正确；
D、，故原题计算正确：
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．（2018·上海杨浦·统考三模）下列式子中，与互为有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用有理化因式的定义分析得出答案．
【详解】∵（）（，）
=12﹣2，
=10，
∴与互为有理化因式的是：，
故选B．
【点睛】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式. 单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定.
二、填空题
9．（2018·上海·校联考模拟预测）比较大小：-3________-2
【答案】
【分析】根据二次根式的大小比较进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解题的关键．
10．（2018·上海杨浦·统考一模）化简：①=_____；②=_____；③=_____．
【答案】 4 5 5
【分析】根据二次根式的性质和乘法法则逐个化简计算即可．
【详解】解：①原式=4；②原式==5；③原式==5．
故填：①4；②5；③5．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质和乘法法则，灵活运用二次根式的性质进行化简与计算成为解答本题的关键．
11．（2018·上海·校联考模拟预测）计算：____________．
【答案】
【分析】先判断的正负，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，，， （a≥0，b>0）．
12．（2017·上海长宁·统考二模）已知函数，那么_____．
【答案】
【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.
【详解】因为函数，
所以当时， ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.
13． (2023·上海宝山·统考二模）方程的解为______.
【答案】
【分析】先移项，再两边同时平方即可.
【详解】，移项得，两边同时平方2x-1=1,可得x=1,
故答案为x=1.
【点睛】本题考查的是二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
14．（2012·上海黄浦·统考二模）分母有理化：________
【答案】
【分析】分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式．
【详解】由题意得，
15． (2023·上海金山·统考二模）化简：的结果是____．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质即可化简.
【详解】∵，∴a＞0
∴=
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质.
16．（2017·上海宝山·统考二模）计算：=______．
【答案】
【详解】原式= .
三、解答题
17． (2023·上海浦东新·统考二模）计算：．
【答案】-1
【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝2+﹣﹣（+1）﹣
＝2+﹣﹣﹣1﹣
＝﹣1．
【点睛】此题主要考查实数与二次根式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则．
18． (2023·上海金山·二模）计算：．
【答案】．
【分析】第一项用平方差公式解答，第二项用分母有理化化简，第三项用负指数幂解答，第四项用绝对值性质解答即可．
【详解】解：原式＝3﹣2+
＝3﹣2+﹣1﹣﹣+1
＝．
【点睛】本题考查了平方差公式，分母有理化，负指数幂，绝对值等知识，掌握这些知识点是解题的关键．
19．（2014·上海浦东新·统考二模）计算：
【答案】.
【详解】试题分析：根据二次根式的运算进行计算即可.
试题解析：
原式
考点：二次根式的计算.
20． (2023·上海·上海市实验学校校考二模）先化简，再求值：其中
【答案】，．
【分析】先运用分式除法、同分母分式加减法法则进行计算，再将代入求值即可得出结论．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算的相关运算法则是解题的关键．
21． (2023·上海徐汇·统考二模）先化简再求值：（）•，其中a＝2+，b＝2﹣．
【答案】
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（）•，
＝[]•，
＝（）•，
＝，
＝，
当a＝2+，b＝2﹣时，原式＝＝＝＝．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的运算，解题关键是熟练运用分式的运算法则和二次根式运算法则进行计算．
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
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