初中数学苏科版七年级下册9.5 多项式的因式分解同步练习题

这是一份初中数学苏科版七年级下册9.5 多项式的因式分解同步练习题，共33页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11240" 【典型例题】 PAGEREF _Tc11240 \h 1
\l "_Tc26378" 【考点一 判断是否是因式分解】 PAGEREF _Tc26378 \h 1
\l "_Tc20641" 【考点二 公因式及提提公因式分解因式】 PAGEREF _Tc20641 \h 2
\l "_Tc4370" 【考点三 已知因式分解的结果求参数】 PAGEREF _Tc4370 \h 3
\l "_Tc11660" 【考点四 运用公式法分解因式】 PAGEREF _Tc11660 \h 4
\l "_Tc32362" 【考点五 运用分解因式求值】 PAGEREF _Tc32362 \h 5
\l "_Tc6621" 【考点六 十字相乘法分解因式】 PAGEREF _Tc6621 \h 7
\l "_Tc23180" 【考点七 分组分解法分解因式】 PAGEREF _Tc23180 \h 9
\l "_Tc26587" 【考点八 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc26587 \h 11
\l "_Tc30864" 【过关检测】 PAGEREF _Tc30864 \h 14
【典型例题】
【考点一 判断是否是因式分解】
例题：（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·四川巴中·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）下列变形从左到右是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点二 公因式及提提公因式分解因式】
例题： (2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）把因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1． (2023秋·河南鹤壁·八年级校考期中）多项式的公因式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：__________．
【考点三 已知因式分解的结果求参数】
例题： (2023秋·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）分解因式：__________．
【变式训练】
1． (2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）若能分解成，则的值为______．
2． (2023·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）已知多项式 分解因式为 ，则bc的值为______．
3． (2023秋·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）若多项式可分解为，则的值为______
【考点四 运用公式法分解因式】
例题：（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）（1）因式分解：
（2）因式分解：
【变式训练】
1．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）因式分解
(1) (2)
2． (2023春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【考点五 运用分解因式求值】
例题： (2023·四川成都·八年级期末）已知：a+b=3，ab=2，则_____．
【变式训练】
1． (2023·四川·成都实外九年级阶段练习）若实数a，b满足，则代数式的值为_______．
【考点六 十字相乘法分解因式】
例题： (2023·上海·七年级专题练习）因式分解：
【变式训练】
1． (2023·上海·七年级专题练习）因式分解：
2． (2023·福建三明·八年级期中）阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
这样，我们得到．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)
【考点七 分组分解法分解因式】
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：.
【变式训练】
1．（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
（一）例题：分解因式：．
解：将“”看成整体，设，则原式，再将“”还原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的思想方法．
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整的分解了．过程为：
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述数学思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
【考点八 因式分解的应用】
例题： (2023·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
【变式训练】
1． (2023·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
(1)不论x，y为何有理数，的值均为( )
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
(2)若，求的值．
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【过关检测】
一、选择题
1． (2023秋·吉林长春·八年级校考期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）下面分解因式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）若，则的值是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
5．（2023秋·江西赣州·八年级统考期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：县，爱，我，赣，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．赣县游C．我爱赣县D．美我赣县
二、填空题
6．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）和的公因式是 _______．
7．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）分解因式：______．
8． (2023春·四川成都·八年级校考期中）已知二次三项式有一个因式是，则m值为_________．
9．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期末）已知，，则代数式的值为__________．
10．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将分解因式的结果是___________．
三、解答题
11．（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）因式分解：
(1) (2)
12． (2023秋·四川遂宁·八年级校考期中）分解因式：
(1)； (2)．
13．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）因式分解
(1)； (2)．
14．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）分解因式：
(1) (2)．
15． (2023春·河南郑州·八年级校考期中）把下列各式因式分解：
(1)．
(2)．
(3)．
16． (2023秋·甘肃酒泉·七年级校考期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．
例如，已知：，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，则______；
(2)当，求的值．
17． (2023秋·山东烟台·八年级统考期末）利用多项式乘以多项式的法则，可以计算，
反过来．
请仔细观察，一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1，具有这种特点的二次三项式可利用进行因式分解．
根据上述阅读，解决下列问题：
(1)已知关于x的二次三项式有一个因式是，求另一个因式和k的值；
(2)甲，乙两人在对二次三项式进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为，乙看错了常数项，分解的结果为，求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．
18．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解决问题】已知，求的值；
(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
专题12 多项式的因式分解压轴题八种模型全攻略
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11240" 【典型例题】 PAGEREF _Tc11240 \h 1
\l "_Tc26378" 【考点一 判断是否是因式分解】 PAGEREF _Tc26378 \h 1
\l "_Tc20641" 【考点二 公因式及提提公因式分解因式】 PAGEREF _Tc20641 \h 2
\l "_Tc4370" 【考点三 已知因式分解的结果求参数】 PAGEREF _Tc4370 \h 3
\l "_Tc11660" 【考点四 运用公式法分解因式】 PAGEREF _Tc11660 \h 4
\l "_Tc32362" 【考点五 运用分解因式求值】 PAGEREF _Tc32362 \h 5
\l "_Tc6621" 【考点六 十字相乘法分解因式】 PAGEREF _Tc6621 \h 7
\l "_Tc23180" 【考点七 分组分解法分解因式】 PAGEREF _Tc23180 \h 9
\l "_Tc26587" 【考点八 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc26587 \h 11
\l "_Tc30864" 【过关检测】 PAGEREF _Tc30864 \h 14
【典型例题】
【考点一 判断是否是因式分解】
例题：（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用因式分解的定义以及整式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：A．，从左到右的变形，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
B．，从左到右的变形，是整式的乘法运算，故此选项不符合题意；
C．，从左到右的变形，是整式的乘法运算，故此选项不符合题意；
D．，从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的意义．正确掌握相关定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·四川巴中·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法分解因式，依次判断即可得到正确结论．
【详解】解：A. ，故原因式分解错误，不符合题意；
B. ，不能进行因式分解，故不符合题意；
C. ，故原因式分解错误，不符合题意；
D. ，因式分解正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法分解因式．
2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）下列变形从左到右是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义，逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意，选项错误；
B、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误；
C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意，选项错误；
D、是因式分解，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解得定义，解题关键是掌握因式分解是整式的变形，变形前后都是整式，且结果是积的形式．
【考点二 公因式及提提公因式分解因式】
例题： (2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）把因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据公因式的概念（多项式各项都含有的相同因式），即可求解．
【详解】由题意得应该提取的公因式是：
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解中公因式的概念，解题的关键是掌握公因式的概念．
【变式训练】
1． (2023秋·河南鹤壁·八年级校考期中）多项式的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【详解】解：多项式的公因式是．
故选：A．
【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
2．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：__________．
【答案】
【分析】根据提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法．
【考点三 已知因式分解的结果求参数】
例题： (2023秋·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）分解因式：__________．
【答案】
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【变式训练】
1． (2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）若能分解成，则的值为______．
【答案】
【分析】根据多项式分解成，所以整式乘法得出的多项式与相同，由此得出一次项系数的值．
【详解】解：
，
∵是由分解成的，
∴一次项系数．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握整式乘法与因式分解为互逆的运算过程是解题的关键．
2． (2023·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）已知多项式 分解因式为 ，则bc的值为______．
【答案】24
【分析】利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可．
【详解】∵ 分解因式为
∴
∴ ，
∴
故答案是24
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键．
3． (2023秋·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）若多项式可分解为，则的值为______
【答案】8
【分析】先将的括号展开，求出a和b的值，代入求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴，解得：，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的法则．
【考点四 运用公式法分解因式】
例题：（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）（1）因式分解：
（2）因式分解：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式继续进行分解；
（2）首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．解题的关键正确分组、熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）因式分解
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
2． (2023春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1））直接提取公因式进行分解即可；
（2）首先提取公因式3，再利用平方差公式进行二次分解即可；
（3）首先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解即可；
（4）首先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，与提公因式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【考点五 运用分解因式求值】
例题： (2023·四川成都·八年级期末）已知：a+b=3，ab=2，则_____．
【答案】9
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，将已知等式整体代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a+b=3，ab=2，
∴
=9，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式训练】
1． (2023·四川·成都实外九年级阶段练习）若实数a，b满足，则代数式的值为_______．
【答案】
【分析】将所求代数式中的因式分解，再把代入，化简即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．
【考点六 十字相乘法分解因式】
例题： (2023·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和十字相乘法是本题的关键．
【变式训练】
1． (2023·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】先把式子化成，再运用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是学会用十字相乘法进行因式分解．
2． (2023·福建三明·八年级期中）阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
这样，我们得到．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；
（2）仿照题意进行分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．
【考点七 分组分解法分解因式】
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先运用平方差公式，再提取公因式即可；
（2）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；
（3）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查利用提取公因式法，公式法进行因式分解，能够将两种方法灵活运用是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
（一）例题：分解因式：．
解：将“”看成整体，设，则原式，再将“”还原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的思想方法．
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整的分解了．过程为：
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述数学思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把和分别看作一个整体后运用平方差公式进行因式分解，最后再运用提公因式法进行分解即可；
（2）原式分别把一、四项和一、三项分组后，再运用因式分解法和提公因式法进行因式分解即可．
【详解】（1）
=
=
=
（2）
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
【考点八 因式分解的应用】
例题： (2023·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
【答案】(1)3；1
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；
（2）由得，然后由非负数性质求得结果；
（3）把方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、b，根据三角形三边关系进而得c，便可求得三角形的周长．
（1）
解：由得，
，
∵≥0，，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1．
故答案为：3；1；
（2）
由，得，
，
，
∴，
∴；
（3）
由得，
∴，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的周长为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
(1)不论x，y为何有理数，的值均为( )
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
(2)若，求的值．
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【答案】(1)A
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到，即可作出判断；
（2）根据题意由得到，求得x＝y＝﹣2，即可得到答案；
（3）由得到，求得a＝5，b＝4，因为a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，即可求得c的取值范围．
（1）
解：
∵，，
∴≥4
∴不论x，y为何有理数，的值均为正数，
故选：A
（2）
∵，
∴，
∴，
∴x－y＝0，y＋2＝0，
∴x＝y＝﹣2，
∴；
（3）
∵，
∴，
∴，
∴a－5＝0，b－4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，
∴，
即5≤c＜9，
即c的取值范围是5≤c＜9．
【点睛】此题考查了完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形三边关系的应用等知识，利用完全平方公式变形是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1． (2023秋·吉林长春·八年级校考期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得提取即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
【点睛】本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
2．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形，可得答案．
【详解】解：A．把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
B．没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形是解题的关键．
3． (2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）下面分解因式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可．
【详解】∵，
∴A不是因式分解，不合题意；
∵是因式分解，
∴B符合题意；
∵，
∴C不合题意；
∵，
∴D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键．
4． (2023秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）若，则的值是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】A
【分析】把左边利用因式分解变形，和右边比较即可求出n的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
5．（2023秋·江西赣州·八年级统考期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：县，爱，我，赣，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．赣县游C．我爱赣县D．美我赣县
【答案】C
【分析】将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．
【详解】解：∵
又∵，，，，分别对应下列四个个字：县，爱，我，赣，
∴结果呈现的密码信息是：我爱赣县．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将多项式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．
二、填空题
6．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）和的公因式是 _______．
【答案】
【分析】直接找出公因式进而提取即可．
【详解】解：．
则公因式是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
7．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）分解因式：______．
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
8． (2023春·四川成都·八年级校考期中）已知二次三项式有一个因式是，则m值为_________．
【答案】3
【分析】根据二次三项式有一个因式是，且 ，即可得到m的值．
【详解】解：∵二次三项式有一个因式是，
，
∴，
，
故答案为3．
【点睛】本题考查分组分解法因式分解，解题的关键是凑因式．
9．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期末）已知，，则代数式的值为__________．
【答案】
【分析】原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将分解因式的结果是___________．
【答案】
【分析】令，代入后因式分解后，再将还原即可得到答案．
【详解】解：令，
则原式，
再将还原，原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
三、解答题
11．（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）因式分解：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
12． (2023秋·四川遂宁·八年级校考期中）分解因式：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用提公因式法和完全平方公式法分解因式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键．
13．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）因式分解
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再运用平方差公式求解；
（2）先去括号，再运用完全平方公式求解．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
14．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）分解因式：
(1) (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过添括号，将转化为，再利用平方差公式进行分解因式即可求解．
（2）将转化为，先提出公因式，再利用十字相乘法进行分解因式即可求解．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查分解因式的方法，解题的关键是掌握提公因式法，公式法和十字相乘法．
15． (2023春·河南郑州·八年级校考期中）把下列各式因式分解：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式；
（2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用提公因式法分解因式；
（3）首先利用提公因式法分解因式，然后利用完全平方公式分解因式．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
16． (2023秋·甘肃酒泉·七年级校考期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．
例如，已知：，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，则______；
(2)当，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据整体思想对分解因式即可得到结果；
（2）利用整体思想对加减，再提公因式即可得出结果．
【详解】（1）解：∵
∴
故答案为：2；
（2）解：∵
∴
.
【点睛】本题考查了运用整体思想方法求代数式的值，利用因式分解对所求式子进行化简是解题的关键．
17． (2023秋·山东烟台·八年级统考期末）利用多项式乘以多项式的法则，可以计算，
反过来．
请仔细观察，一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1，具有这种特点的二次三项式可利用进行因式分解．
根据上述阅读，解决下列问题：
(1)已知关于x的二次三项式有一个因式是，求另一个因式和k的值；
(2)甲，乙两人在对二次三项式进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为，乙看错了常数项，分解的结果为，求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．
【答案】(1)另一个因式为；k的值为
(2)；
【分析】（1）设，根据定义对应系数相等即可解得．
（2）把，，依次展开，分别取正确的常数项和一次项系数．
【详解】（1）设
∴，，
∴，
∴另一个因式为，k的值是．
（2），
，
由题意得：，，
∴这个二次三项式是．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式的法则、因式分解，解题的关键是读懂题意，熟悉运算规则．
18．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解决问题】已知，求的值；
(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）将拆分成和，再根据完全平方公式配方解答；
（2）先根据阅读材料求出，的值，再根据三角形的三边关系解答．
【详解】（1），
将拆分成和，可得
，
根据完全平方公式得：
，
∴，，
∴，
（2）∵，
根据完全平方公式得：
，
，
∴，，
∴，，
∵是中最长的边，
∴，
即的取值范围．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．