中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题08角平分线的基本模型(二)非全等类(原卷版+解析)

这是一份中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题08角平分线的基本模型(二)非全等类(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了双角平分线模型，角平分线加平行线等腰现，角平分线定理模型等内容，欢迎下载使用。
模型1.双角平分线模型（导角模型）
【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD，CD是角平分线.

结论：
1． (2023·广东·九年级专题练习）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
2． (2023·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
3. (2023•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．
4． (2023·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题
(1)已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；(2)如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A(3)如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）
【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
【模型图示】已知如图1，为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.
如图1 如图2
已知如图2，OC平分，点D是OA上一点，过点D作DE//OC交OB的反向延长线于点E，则OD=OE.
注意：平行线、角平分线、等腰△知二推一即：
①AD∥BC+AC是∠BAD的角平分线△ABC是等腰三角形；
②AD∥BC+△ABC是等腰三角形AC是∠BAD的角平分线；
③AC是∠BAD的角平分线+△ABC是等腰三角形AD∥BC。
常见模型：
1． (2023·安徽·二模）如图，在中，与的平分线BD，CD交于点D，过点D作，分别交AB，AC于点E，F．若，，，则AE的长为（ ）
A．2.5B．4.5C．3.75D．6.75
2． (2023·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有___．（填正确的序号）
4． (2023·沈阳市九年级专项训练）已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB 、∠ACD，EF∥BC，分别交AC、CF于点H、F求证：EH=HF
4． (2023·河南南阳·三模）阅读理解：如图（1），△ABC中，以B为圆心，以适当长为半径画弧，与BC和BA分别交于点X，Y再分别以点X，Y为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD与AC交干点E，过点E作交AB于．
观察思考：依据上述操作可，①∠ABE与∠CBE的大小关系为_________；②BF与EF的数关系为________．
拓展延伸：如图（2）在△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACG的平分线交于点D，过D作分别交AC，AB于点E，F，请判断EF与BF，CE之间的数量关系，并说明理由．
问题解决：如图（3），在中，，，连接BD，将△ABD沿BD折叠，使点A落在直线DC上方的处，当△DC是直角三角形时，请直接写出线段AB的长度．
模型3.面积模型
【模型解读与图示】

已知条件：、、分别是∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分线
辅助线：过点G作GD⊥BC、GE⊥AC、FG⊥AB（求面积需要高，作垂直得到高）
结论：
1． (2023·内蒙古·九年级期末）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（ ）
A．：： B．：： C．：： D．：：
2． (2023·安徽滁州·二模）如图，的面积为，的平分线与垂直，垂足为点，，那么的面积为______．
3． (2023·湖北武汉·九年级期中）问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等．若一个多边形的每个内角角平分线都交于一点，点叫做该多边形的内心，点到其中一边的距离叫做．
问题解决：如图1，在面积为的中，，，，内心到边的距离为，试说明．
类比推理：如图2，存在内心的四边形面积为，周长为，用含有与的式子表示内心到边的距离________；
理解应用：如图3，在四边形中，，，，，对角线，点与分别为与的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为和，求的值．
模型4.角平分线定理模型（角平分线分线段成比例（二级结论））
【模型解读与图示】
条件：已知如图，AD是∠BAC的角平分线，
证明思路：过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,再利用等面积的思路，证得：
简证：，∵ ∴ ∴
1． (2023·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
2． (2023·北京东城·九年级期中）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图，△ABC中， AD是角平分线．
求证：．
证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
∴． ①
AD是角平分线，
∴ ．
．
． ②
又，
． ③
．
（1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；
（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD和△ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．
3． (2023·江西赣州·九年级期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，，或，则四边形是“对补四边形”．
(1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”．
①若，则∠D的度数是_________；
②若，且，则_______．
(2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，，之间的数量关系，并加以证明．
(3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，，平分．
①如图（3），求证：四边形是“对补四边形”；
②如图（4），设，连接，当，且时，求的值．
4． (2023·广西·九年级专题练习）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．
(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．
课后专项训练
1． (2023·广东·佛山市南海区石门实验学校三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10B．12C．9D．6
2． (2023·山东枣庄·二模）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（ ）
A．18B．30C．24D．27
3． (2023·福建·模拟预测）如图，△ABC外的一点P到三边所在直线的距离相等，若∠BAC＝80°，则∠CPB＝___°．
4． (2023·山东济宁·二模）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则________．
5． (2023·苏州九年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
6. (2023·山东九年级期中）如图、∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分线CF相交于点F.过F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长度为________；
7． (2023·福建中考真题）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．
8． (2023·北京·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠A=70°， BD、CE为角平分线，则∠BOC=______°
9． (2023·湖北荆门市·八年级期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列结论：①：②点到各边的距离相等；③：④；⑤设，，则；其中正确的结论是______．
10． (2023·北京市宣武外国语实验学校九年级期中）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
求证：．
证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．
∵AD是角平分线，
∴∠1＝∠2．
∴∠3＝∠E．
∴AC＝AE．
又∵CE∥DA，
∴．……①
∴．
(1)上述证明过程中，步骤①处的理由是_____
(2)用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB＝7cm，AC＝4cm，BC＝6cm，则BD的长为_____cm．
11． (2023湖北中考模拟）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
12． (2023·云南昆明八年级期末）（1）如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 交 AC 于 F， 过点 F 作 DF∥BC， 求证：BD=DF．（2）如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这种关系．（3）如图 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）
13． (2023·江阴市学九年级月考）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于E，F．（1）如图①，当AB=AC时图中有 个等腰三角形．（2）如图②，写出EF与BE、CF之间关系式，并说明理由．（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由．
14． (2023·江西·九年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确?若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类
角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型）
【模型解读】
双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】
条件：BD，CD是角平分线.

结论：
1． (2023·广东·九年级专题练习）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．
【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
2． (2023·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)AE+CD=AC，证明见解析
【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．
（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），
即∠AOC=90°+∠ABC；
（2）解：AE+CD=AC，
证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，
∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，
∴，
∵AO=3OD，
∴，
∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，
∴AE+CD=AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
3. (2023•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．
【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．
【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），
∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（ 12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）
＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC=12∠A=12α；
（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．
∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），
＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；
（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，
由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；
由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．
【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4． (2023·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题
(1)已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
(2)如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A
(3)如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
【答案】(1)120°，30°，60°(2)见解析(3)70°
【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；
（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
（1）①在图1中：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
=（∠ABC+∠ACB）
=（180°-∠BAC）
=（180°-60°）=60°
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°；
②在图2中：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A∴∠OCD=（∠ABC+∠A）
∵∠OCD=∠OBC+∠O
∴∠O=∠OCD-∠OBC=∠ABC+∠A-∠ABC=∠A=30°．
③在图3中：∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC=∠EBC，∠OCB=∠BCD
∴∠OBC+∠OCB=（∠EBC+∠BCD）=（∠A+∠ACB+∠BCD）=（∠A+180°）=（60°+180°）=120°
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=60°．故答案为：120°，30°，60°．
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．
（3）设∠ABO2=∠O2BO1=∠O1BC=α，∠ACO2=∠BCO2=β，
∴2α+β=180°-115°=65°，α+β=180°-135°=45°解得：α=20°，β=25°
∴∠ABC+∠ACB=3α+2β=60°+50°=110°，∴∠A=70°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键．
模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）
【模型解读】
1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
【模型图示】
已知如图1，为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.
如图1 如图2
已知如图2，OC平分，点D是OA上一点，过点D作DE//OC交OB的反向延长线于点E，则OD=OE.
注意：平行线、角平分线、等腰△知二推一即：
①AD∥BC+AC是∠BAD的角平分线△ABC是等腰三角形；
②AD∥BC+△ABC是等腰三角形AC是∠BAD的角平分线；
③AC是∠BAD的角平分线+△ABC是等腰三角形AD∥BC。
常见模型：
1． (2023·安徽·二模）如图，在中，与的平分线BD，CD交于点D，过点D作，分别交AB，AC于点E，F．若，，，则AE的长为（ ）
A．2.5B．4.5C．3.75D．6.75
【答案】A
【分析】由角平分线的性质得到，由两直线平行内错角相等得到，进而证明，解得EF的长，再根据平行线判定，最后根据相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：BD平分，CD平分，
故选：A．
【点睛】本题考查等角对等边、平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2． (2023·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有___．（填正确的序号）
【答案】①②③⑤
【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．
【详解】①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，
∵DE∥BC，∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∴DB=DF，EF=EC，
∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①选项正确，符合题意；
②∵DE=DF+FE，DB=DF，EF=EC，∴DE=DB+CE，∴②选项正确，符合题意；
③∵△ADE的周长为=AD+DE，
∵DE=DB+CE，∴△ADE的周长为=AD+DB+AE+CE=AB+AC，∴③选项正确，符合题意；
④根据题意不能得出BF＞CF，∴④选项不正确，不符合题意；
⑤∵若∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，
∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°，
∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，
∴⑤选项正确，符合题意；故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
4． (2023·沈阳市九年级专项训练）已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB 、∠ACD，EF∥BC，分别交AC、CF于点H、F求证：EH=HF
【答案】见解析
【分析】由角平分线的定义可得∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，由平行线的性质可得∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，利用等量代换可得∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，根据等角对等边即可求得EH=CH=HF，进而求得EH=HF．
【详解】∵CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，
∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，
∴∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，∴EH＝CH，CH=HF，∴EH＝HF.
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据等角对等边求解是解题关键.
4． (2023·河南南阳·三模）阅读理解：如图（1），△ABC中，以B为圆心，以适当长为半径画弧，与BC和BA分别交于点X，Y再分别以点X，Y为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD与AC交干点E，过点E作交AB于．
观察思考：依据上述操作可，①∠ABE与∠CBE的大小关系为_________；②BF与EF的数关系为________．
拓展延伸：如图（2）在△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACG的平分线交于点D，过D作分别交AC，AB于点E，F，请判断EF与BF，CE之间的数量关系，并说明理由．
问题解决：如图（3），在中，，，连接BD，将△ABD沿BD折叠，使点A落在直线DC上方的处，当△DC是直角三角形时，请直接写出线段AB的长度．
【答案】观察思考：①∠ABE=∠CBE；②；拓展延伸：；问题解决：4或6
【分析】观察思考：①根据作图可知是的角平分线，可得，
②根据可得，等量代换可得，∠ABE=∠CBE；等角对等边即可得，；
拓展延伸：方法同上可得，进而可得；
问题解决：分和，两种情形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可求得的长
【详解】观察思考：①根据作图可知是的角平分线，，
②，
∠ABE=∠CBE；，；
拓展延伸： 平分
平分
问题解决：当时，如图，延长交于点,
四边形是平行四边形
折叠，
中，
当时，如图，
四边形是平行四边形
折叠，
四边形是矩形
综上所述，的长为或
【点睛】本题考查了作角平分线，等边对等角，平行线的性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用以上知识是解题的关键．
模型3.面积模型
【模型解读与图示】

已知条件：、、分别是∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分线
辅助线：过点G作GD⊥BC、GE⊥AC、FG⊥AB（求面积需要高，作垂直得到高）
结论：
1． (2023·内蒙古·九年级期末）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（ ）
A．：： B．：： C．：： D．：：
【答案】C
【分析】过点作于，于，于，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：，依据三角形面积公式求比值即可得．
【详解】解：过点作于，于，于，
点是三条角平分线交点，，
：：：：，故选：C．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质及三角形面积公式，理解角平分线的性质是解题关键．
2． (2023·安徽滁州·二模）如图，的面积为，的平分线与垂直，垂足为点，，那么的面积为______．
【答案】
【分析】延长交于，根据，为的角平分线，可得，，可证 ，则有，得，，即有，再根据，且的角平分线到与的距离相等，可得，则，再根据求解即可．
【详解】如图延长交于，
∵，∴，
∵为的角平分线，∴，
在与中，
,∴ ，∴，
∴，，∴
∵，且的角平分线到与的距离相等，
∴，
则．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
3． (2023·湖北武汉·九年级期中）问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等．若一个多边形的每个内角角平分线都交于一点，点叫做该多边形的内心，点到其中一边的距离叫做．
问题解决：如图1，在面积为的中，，，，内心到边的距离为，试说明．
类比推理：如图2，存在内心的四边形面积为，周长为，用含有与的式子表示内心到边的距离________；
理解应用：如图3，在四边形中，，，，，对角线，点与分别为与的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为和，求的值．
【答案】问题解决：见解析；类比推理：；理解应用：
【分析】问题解决：连接、、，被划分为三个小三角形．利用三角形的面积公式求解即可．
类比推理：已知已给出示例，我们仿照例子，连接，，，，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，易得．
理解应用：上面已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果．但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点作垂线，进一步易得的长，则、、易得．
【详解】解：问题解决：如图（1），在面积为的中，，，，三条角平分线的交点到三边的距离为．连接、、，被划分为三个小三角形．
，
．
类比推理：如图2中，连接、、、，
，
．故答案为：．
理解应用：，；
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形面积计算以及等腰梯形等相关知识的综合应用，这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养．
模型4.角平分线定理模型（角平分线分线段成比例（二级结论））
【模型解读与图示】
条件：已知如图，AD是∠BAC的角平分线，
证明思路：过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,再利用等面积的思路，证得：
简证：，∵ ∴ ∴
1． (2023·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
【答案】
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
【详解】如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
2． (2023·北京东城·九年级期中）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图，△ABC中， AD是角平分线．
求证：．
证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
∴． ①
AD是角平分线，
∴ ．
．
． ②
又，
． ③
．
（1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）
（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；
（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD和△ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．
【答案】（1）①平行线的性质定理；②等腰三角形的判定定理；③平行线分线段成比例定理；（2）cm．（3）证明见解析．
【详解】试题分析：（1）由比例式，想到作平行线，用到了平行线的性质定理；只要证明AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE∥AD，写出比例式，用到了平行线分线段成比例定理（推论）；
（2）利用三角形内角平分线性质定理，列出比例式，代入数据计算出结果．
（3）根据三角形的面积公式进行证明即可．
试题解析：（1）证明过程中用到的定理有：
①平行线的性质定理；
②等腰三角形的判定定理；
③平行线分线段成比例定理；
（2）∵AD是角平分线，
∴，
又∵AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，
∴，
∴BD=（cm）．
（3）∵△ABD和△ACD的高相等，
可得：△ABD和△ACD面积的比=，
可得：．
考点：相似形综合题．
3． (2023·江西赣州·九年级期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，，或，则四边形是“对补四边形”．
(1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”．
①若，则∠D的度数是_________；
②若，且，则_______．
(2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，，之间的数量关系，并加以证明．
(3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，，平分．
①如图（3），求证：四边形是“对补四边形”；
②如图（4），设，连接，当，且时，求的值．
【答案】(1)①；②4
(2)，证明见解析
(3)①见解析；②的值是2或
【分析】（1）①根据“对补四边形”的定义，结合，即可求出答案；
②根据“对补四边形”的定义，可由，得出∠，再运用勾股定理即可得出答案；
（2）延长EA至点K，使得，连接BK，依据“对补四边形”的定义，可证明，再证明，从而可证得结论；
（3）①过点B作BM⊥AD于点M，BN⊥AC于点N，则，可证R，进而可证得结论；
②设，可得，再运用面积建立方程求解即可．
（1）解：①∵，
设，
根据“对补四边形”的定义，
，
即，
解得，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
②在“对补四边形”中，连续，
∵，
则，
在中，，
在中，
∴，
故答案为：4；
（2）解：，理由如下：
延长至点，使，连接，
∵四边形是“对补四边形”，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）①证明：过点作，垂足为，，垂足为，则，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即与互补，
∴四边形是“对补四边形”；
②由①知四边形是“对补四边形”，
∴，
∵，
∴，
∵，则，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即：，
解得：或，
∴的值是2或．
【点睛】本题考查了勾股定理，四边形内角和，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题关键是熟练掌握勾股定理和全等三角形判定和性质，准确理解并能够应用新定义“对补四边形”解决问题．
4． (2023·广西·九年级专题练习）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．
(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．
【答案】(1)详见解析
(2)①DE=；②
【分析】（1）利用AB∥CE，可证得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果；
（2）利用（1）中的结论进行求解表示即可．
(1)
解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴，
∴，
即，
∴；
(2)
①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得，，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴，
解得：CD=，
∴DE= CD=；
②由折叠可知∠AED＝∠C=，
∴，
由①可知，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．
课后专项训练
1． (2023·广东·佛山市南海区石门实验学校三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】如图：过D作DF⊥AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：过D作DF⊥AB于F,
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∴DF=CD=3
∵点E为AB的中点， AB＝12∴BE=AB=6
∴△DBE的面积为 ．故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出△DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键．
2． (2023·山东枣庄·二模）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（ ）
A．18B．30C．24D．27
【答案】D
【分析】过I点作IE⊥AB于点E，IF⊥AC于点F，如图，利用角平分线的性质得到IE=IF=ID=3，然后根据三角形面积公式得到，据此即可求得．
【详解】解：过I点作IE⊥AB于点E，IF⊥AC于点F，如图，
∵AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴IE=IF=ID=3，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．
3． (2023·福建·模拟预测）如图，△ABC外的一点P到三边所在直线的距离相等，若∠BAC＝80°，则∠CPB＝___°．
【答案】40
【分析】如图所示，由△ABC外的一点P到三边所在直线的距离相等，可以推出BP和PC分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，则，，由三角形内角和定理可得，从而可得，再由三角形外角的性质可得，由此即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC外的一点P到三边所在直线的距离相等，
∴BP和PC分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴，，
∵，
∵，∴
∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质．
4． (2023·山东济宁·二模）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则________．
【答案】
【分析】首先连接BC，根据三角形的内角和定理，求出，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出，再根据BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出；最后根据三角形的内角和定理，用即可求出∠A的度数.
【详解】如下图所示，连接BC，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠3=∠5，∠4=∠6，
又∵，∴，
∴，
∴.故答案为：.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和的应用，熟练掌握相关角度的和差计算是解决本题的关键.
5． (2023·苏州九年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
【答案】52°
【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．
【详解】解：、分别平分、，，，
，，
即，，，
、分别平分、，
，，，
，∴，
∴，
、分别平分、，
，，
∴，
，故答案为：52°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
6. (2023·山东九年级期中）如图、∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分线CF相交于点F.过F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长度为________；
【答案】5
【分析】根据角平分线和平行线的性质可得，由等角对等边可得，所以.
【详解】解： BF平分∠ABC，CF平分∠ACG.

故答案为：5
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，灵活利用角平分线及平行线的性质判证明角相等是解题的关键.
7． (2023·福建中考真题）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．
【详解】如图，过D作，则D到的距离为DE
平分，，
点D到的距离为．故答案为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键．
8． (2023·北京·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠A=70°， BD、CE为角平分线，则∠BOC=______°
【答案】125
【分析】先用角平分线的性质求出∠2+∠4的度数，再由三角形的内角和定理便可求出∠BOC的度数．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠4=（180°-∠A）=（180°-70°）=55°，
∴∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-55°=125°．故答案为：125．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
9． (2023·湖北荆门市·八年级期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列结论：①：②点到各边的距离相等；③：④；⑤设，，则；其中正确的结论是______．
【答案】①②③④
【分析】由∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，可得结合三角形的内角和定理可得再次利用内角和定理可判断①，如图1，过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，结合 利用角平分线的性质可判断②，利用平行线的性质与角平分线的定义证明可判断③，如图2，过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，证明 可得 同理可得： 从而可判断④，如图2，由，结合 从而可判断⑤．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴
∴故①符合题意；
如图1，过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，
∵平分∠ABC，平分∠ACB， 故②符合题意；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵， ∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC， ∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF， ∴EF=OE+OF=BE+CF， 故③符合题意；
如图2，过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
平分
同理可得：
故④符合题意，如图2，由②得：ON=OD=OM=m，
∴
， 故⑤不符合题意． 故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
10． (2023·北京市宣武外国语实验学校九年级期中）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
求证：．
证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．
∵AD是角平分线，
∴∠1＝∠2．
∴∠3＝∠E．
∴AC＝AE．
又∵CE∥DA，
∴．……①
∴．
(1)上述证明过程中，步骤①处的理由是_____
(2)用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB＝7cm，AC＝4cm，BC＝6cm，则BD的长为_____cm．
【答案】 平行线分线段成比例定理
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）设BD＝xcm，则CD＝（6﹣x）cm，利用（1）中结论解决问题即可．
【详解】(1)①的理由是：平行线分线段成比例定理．
(2)设BD＝xcm，则CD＝(6﹣x)cm，
∵AD平分∠ABC，∴＝，∴＝，解得x＝，∴BD＝cm，
故答案是：平行线分线段成比例定理，．
【点睛】考查平行线分线段成比例定理和用分式方程解决问题，解题关键是正确理解题意，利用分式方程解决问题．
11． (2023湖北中考模拟）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
【答案】42
【分析】先连接AO，把△ABC变成三个小的三角形，根据等高计算即可．
【详解】解：连接AO，可知AO平分∠BAC，由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即
【点睛】本题考查了角平分线的性质．
12． (2023·云南昆明八年级期末）（1）如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 交 AC 于 F， 过点 F 作 DF∥BC， 求证：BD=DF．（2）如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这种关系．（3）如图 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）
【答案】（1）见详解；（2）BD+CE＝DE，证明过程见详解；（3）BD﹣CE＝DE，证明过程见详解
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠DFB＝∠CBF，∠ABF＝∠CBF，推出∠DFB＝∠DBF，根据等角对等边推出即可；（2）与（1）证明过程类似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出结论；
（3）与（1）证明过程类似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；
（2）BD+CE＝DE，理由是：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；
同理可证：CE＝EF，∵DE＝DF+EF，∴BD+CE＝DE；
（3）BD﹣CE＝DE．理由是：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；
同理可证：CE＝EF，∵DE＝DF﹣EF，∴BD﹣CE＝DE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，本题具有一定的代表性，三个问题证明过程类似．
13． (2023·江阴市学九年级月考）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于E，F．（1）如图①，当AB=AC时图中有 个等腰三角形．（2）如图②，写出EF与BE、CF之间关系式，并说明理由．（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由．
【答案】（1）5；（2）EF=BE+CF，理由见解析；（3）EF=BE-CF，理由见解析
【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形；
（2）由EF∥BC，可得∠2=∠3，又∠1=∠2，根据等量代换得到∠1=∠3，所以OE=BE，在△CFO中，同理可证OF=CF，继而可证得EF=BE+CF；
（3）由于OE∥BC，可得∠5=∠6，又∠4=∠5，根据等量代换得到∠4=∠6，所以OE=BE，在△CFO中，同理可证OF=CF，继而可证得EF=BE-CF．
【详解】解：（1）当AB=AC时，图中有5个等腰三角形．如图1，由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，
又∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB，
根据EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO，
由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形．故答案为：5；
（2）关系式：EF=BE+CF如图，∵EF∥BC，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OE=BE，在△CFO中，同理可证OF=CF，
∵EF=EO+FO，∴EF=BE+CF；
（3）关系式：EF=BE-CF如图，∵OE∥BC，∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴OE=BE，
在△CFO中，同理可证OF=CF，∵EF=EO-FO，∴EF=BE-CF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键灵活运用等腰三角形的性质．解题时注意：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
14． (2023·江西·九年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确?若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
【答案】（1）36，（2）都正确，证明见详解
【分析】（1）过点D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分线，利用角平分线性质 有DF=DE，分别求S△ABD和S△ACD，则S△ABC= S△ABD+ S△ACD计算即可
（2）都正确 AD是它的角平分线，，DF⊥AB，则DE=DF，由（1）知S△ABD=，S△ACD=，求两个三角形面积之比，
过A作AG⊥BC于G，AG是△ABD的高，也是△ACD的高，分别求出利用高表示的三角形的面积，，再求求两个三角形面积之比即可．
【详解】（1）过点D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分线，，DF=DE=4，
S△ABD=，S△ACD=，S△ABC= S△ABD+ S△ACD=20+16=36，

（2）都正确，
AD是它的角平分线，，DF⊥AB，则DE=DF，
S△ABD=，S△ACD=，，
过A作AG⊥BC于G，，，
，由，，
小智和小慧的发现都正确．
【点睛】本题考查三角形的面积与角平分线定理，掌握三角形的面积与角平分线定理，会求三角形的面积，会用面积证明角分线分得的两线段的比是解题关键．