中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题17圆中阴影部分的面积七种计算方法(原卷版+解析)

这是一份中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题17圆中阴影部分的面积七种计算方法(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了公式法，和差法，等积变形法，化零为整法，割补法，重叠求余法等内容，欢迎下载使用。
方法一 公式法
典例1 (2023•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）
A．12π米2B．14π米2C．18π米2D．116π米2
针对训练
1． (2023•卧龙区二模）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 ．
方法二 和差法
典例2 (2023•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3−π4B．23−πC．(6−π)33D．3−π2
针对训练
1． (2023•玉树市校级一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣4D．π2−1
方法三 等积变形法
典例3 (2023•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为 ．
针对训练
1． (2023秋•天桥区期末）如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是23，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2πB．6πC．33πD．3π
方法四 化零为整法（整体法）
典例4 (2023•天桥区二模）如图，已知正六边形的边长为4，分别以正六边形的6个顶点为圆心作半径是2的圆，则图中阴影部分的面积为 ．
针对训练
1．如图，分别以五边形的各个顶点为圆心，1cm长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 π cm2．
方法五 割补法（拼接法）
典例5 (2023•铜仁）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．6C．3D．12
针对训练
1． (2023•郑州模拟）如图，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D．若阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为 ．
方法6 图形变化法（旋转、平移、翻折）
典例6 (2023•武威模拟）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 ．
针对训练
1． (2023•西宁）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝23，则图中阴影部分的面积是 ．
典例7 (2023•九龙坡区自主招生）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
针对训练
1． (2023•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
典例8 (2023•招远市）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE沿弦CE翻折，交CD于点F，图中阴影部分的面积＝ ．
针对训练
1．（如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，折痕为AB，则图中阴影部分的面积为 ．
方法七 重叠求余法
例七 (2023•鄂尔多斯二模）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．
针对训练
1． (2023•市南区校级一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转60°，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为 ．
专题提优训练
一．选择题（共15小题）
1． (2023•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
2． (2023秋•西华县期末）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣1B．π﹣2C．12π﹣1D．12π+1
3． (2023•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A．6π﹣93B．12π﹣93C．6π−932D．12π−932
4． (2023•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作BC，AC，AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）
A．2π﹣23B．2π−3C．2πD．π−3
5．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD平行且相等（如图②），小华用皮尺量出BD＝1米，BC＝0.5米，则阴影部分的面积为（ ）
A．（π12−38）平方米B．（π6−38）平方米
C．（π12−34）平方米D．（π6−34）平方米
6． (2023•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
7． (2023•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πB．22C．2π﹣4D．2π﹣22
8． (2023•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是（ ）
A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm2
9． (2023•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．3π﹣33B．3π−932C．2π﹣33D．6π−932
10． (2023•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A．23π−32B．23π−3C．43π﹣23D．43π−3
二．填空题
11． (2023•巩义市二模）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．
12． (2023•宛城区一模）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动，E为CD的中点，点F在AB上，连接EF、BE．若AF的长是π3，则线段EF的最小值是 ，此时图中阴影部分的面积是 ．
13． (2023•贵港）如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝32，则图中阴影部分的面积是 ．
14． (2023春•亭湖区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝6，则阴影部分的面积是 ．
15． (2023•黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 ．
16． (2023•康巴什一模）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为 ．
17． (2023秋•招远市期末）如图，在扇形OAB中，点C在AB上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
方法一 公式法
典例1 (2023•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）
A．12π米2B．14π米2C．18π米2D．116π米2
思路引领：连结BC，AO，90°所对的弦是直径，根据⊙O的直径为1米，得到AO＝BO=12米，根据勾股定理得到AB的长，根据扇形面积公式即可得出答案．
解：连结BC，AO，如图所示，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∵⊙O的直径为1米，
∴AO＝BO=12（米），
∴AB=AO2+BO2=22（米），
∴扇形部件的面积=90360π×（22）2=π8（米2），
故选：C．
总结提升：本题考查了扇形面积的计算，掌握设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2是解题的关键．
针对训练
1． (2023•卧龙区二模）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 ．
思路引领：求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题．
解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣100°＝20°，
∵DE＝DC，
∴∠C＝∠DEC＝20°，
∴∠BDE＝∠C+∠DEC＝40°，
∴S扇形DBE=40π×32360=π．
故答案为：π．
总结提升：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．
方法二 和差法
典例2 (2023•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3−π4B．23−πC．(6−π)33D．3−π2
思路引领：作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案．
解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，
设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．
在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，
∴CF＝BF＝1．
在Rt△ACF中，AF=AB2−AF2=3，
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE
=12×2×3−60π×(3)2360
=3−π2，
故选：D．
总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键．
针对训练
1． (2023•玉树市校级一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣4D．π2−1
思路引领：连接OC，求出∠AOC＝∠BOC＝45°，求出∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，求出CD＝OD，CE＝OE，根据勾股定理求出CD＝OD＝OE＝CE=2，再求出阴影部分的面积即可．
解：连接OC，
∵OA＝2，
∴OC＝0A＝2，
∵∠AOB＝90°，C为AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
∴∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，
∴CD＝OD，CE＝OE，
∴2CD2＝22，2OE2＝22，
即CD＝OD＝OE＝CE=2，
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△CDO﹣S△CEO=90π×22360−2×12×2×2=π﹣2，
故选：B．
总结提升：本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积的计算等知识点，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，半径为r，那么该扇形的面积为nπr2360．
方法三 等积变形法
典例3 (2023•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为 ．
思路引领：由圆周角定理可得∠AOB的度数，由OD∥AB可得S△ABD＝S△ABO，进而可得S阴影＝S扇形AOB，然后根据扇形面积公式计算即可．
解：∵∠ACB＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵OD∥AB，
∴S△ABD＝S△ABO，
∴S阴影＝S扇形AOB=30π×22360=π3．
故答案为：π3．
总结提升：本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
针对训练
1． (2023秋•天桥区期末）如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是23，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2πB．6πC．33πD．3π
思路引领：根据四边形OABC是菱形，得BC＝OC＝OB，即△COB是等边三角形，根据S△ADB＝S△OCD，所以图中阴影部分的面积＝S扇形COB．
解：∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵S△ADB＝S△OCD，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形COB=60π×(23)2360=2π．
故选：A．
总结提升：本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
方法四 化零为整法（整体法）
典例4 (2023•天桥区二模）如图，已知正六边形的边长为4，分别以正六边形的6个顶点为圆心作半径是2的圆，则图中阴影部分的面积为 ．
思路引领：先求出六边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可求出．
解：∵六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴阴影面积＝6×π×22−720π×22360=16π．
故答案为：16π．
总结提升：本题主要考查了扇形的面积公式，学会把图中不规则图形的面积由几何关系转化为规则图形的面积．
针对训练
1．如图，分别以五边形的各个顶点为圆心，1cm长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 π cm2．
思路引领：根据多边形的外角和为360°可得阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，再利用圆的面积计算公式可得答案．
解：图中阴影部分的面积为π×12＝π．
故答案为：π．
总结提升：此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．
方法五 割补法（拼接法）
典例5 (2023•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．6C．3D．12
思路引领：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE＝CE，得到弓形BE的面积＝弓形CE的面积，则S阴影=S△ABE=S△ABC−S△BCE=12×6×6−12×6×3=9．
解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE＝45°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，
∴S阴影=S△ABE=S△ABC−S△BCE=12×6×6−12×6×3=9，
故选：A．
总结提升：本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
针对训练
1． (2023•郑州模拟）如图，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D．若阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为 ．
思路引领：根据BC为直径可知∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22m，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差，据此求得直角三角形的边长，进而求得AB和CD的长，进一步求得阴影部分的周长．
解：设BC的中点为O，连接OD，连接CD，
∵以BC为直径作半圆，交AB于点D．
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD，CD=12AB，
∴CD＝BD，
∴CD=BD，
∵AD＝BD，CO＝BO，
∴OD∥AC，
∴∠BOD＝90°，
设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22m，
∵阴影部分的面积为（π﹣1），
∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=14π•m2−12×（22m）2＝π﹣1．
∴14πm2−14m2＝π﹣1，
∴14m2＝1，
∴m＝2，
∴AC＝BC＝2，AB＝22，OC＝OB＝1，
∴AB的长为：90⋅π×2180=π，BD的长为：90⋅π×1180=12π，
∴阴影部分的周长为：π+2×12π+22+2＝2π+22+2
故答案为：2π+22+2．
总结提升：本题考查了扇形的面积和弧长的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
方法6 图形变化法（旋转、平移、翻折）
典例6 (2023•武威模拟）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 ．
思路引领：解直角三角形得到AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，
∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′=90⋅π⋅22360−60⋅π⋅(3)2360−12×1×3=π−32，
故答案为：π−32；
总结提升：本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
针对训练
1． (2023•西宁）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝23，则图中阴影部分的面积是 4π3 ．
思路引领：根据内接于圆O的等边三角形的性质可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴S△BOC＝S△AOC，∠AOC＝120°，
在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝120°，BC＝23，
∴OB＝OC＝2，
∴S阴影＝S扇形AOC=120π×22360=4π3，
故答案为：4π3．
总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
典例7 (2023•九龙坡区自主招生）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
思路引领：连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FO＝EO＝EB＝2，
∴OB=OD，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD=90π×42360−12×4×4=4π﹣8．
故答案为：4π﹣8．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．
针对训练
1． (2023•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
思路引领：理由圆周角定理得出AO⊥BD，利用正方形的性质性质和等腰直角三角形的性质得出OD＝OA＝OB，结合转化思想得出阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC，进而得出答案．
解：如图，
∵AB是直径，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥BD，
∵AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，
∴OD＝OA＝OB，
∴S弓形OA＝S弓形OB，
∴阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC=14π×42−12×4×4=4π﹣8，
故答案为4π﹣8．
总结提升：本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型．
典例8 (2023•招远市一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE沿弦CE翻折，交CD于点F，图中阴影部分的面积＝ ．
思路引领：根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8，可以求得⊙O的半径；要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．
解：如图，连接AO，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，过点M作MN⊥CD于点N，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，
∴AG=12AB＝4，
∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，
∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，
∴（3k）2+42＝（5k）2，
解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），
∴5k＝5，
即⊙O的半径是5；
∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，
连接OM，则∠MOD＝60°，
∴∠MOC＝120°，
过点M作MN⊥CD于点N，
∴MN＝MO•sin60°＝5×32，
∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC=120×π×25360−2534=25π3−2534，
即图中阴影部分的面积是：25π3−2534．
总结提升：本题考查翻折变换、扇形的面积、垂径定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
针对训练
1．（如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，折痕为AB，则图中阴影部分的面积为 ．
思路引领：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，根据轴对称的性质可以得出CO＝CD，由三角函数值就可以求出∠AOB的度数，由扇形的面积﹣三角形AOB的面积就可以得出结论．
解：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，
∴∠ACO＝90°．
∵△AOB与△ADB关于AB对称，
∴△AOB≌△ADB
∴AO＝AD，∠ACO＝∠ACD＝90°，
∴CO＝CD．
∵OD＝AO＝4，
∴OC＝2．
在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC＝23．
∵cs∠AOC=COAO=12，
∴∠AOC＝60°．
∵AO＝BO，OC⊥AB，
∴∠AOB＝2∠AOC＝120°．AB＝2AC＝43．
∴S扇形AOBD=120π×16360=163π．
∵S△AOB=43×22=43．
阴影部分的面积为：（163π−43）cm2．
故答案为：（163π−43）cm2．
总结提升：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，扇形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
方法七 重叠求余法
例七 (2023•鄂尔多斯二模）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．
思路引领：根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．
解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，
则阴影部分的面积是：60π×62360=6π，
故答案为：6π．
总结提升：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积是解题的关键．
针对训练
1． (2023•市南区校级一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转60°，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为 ．
思路引领：如图，连接OE，OA．根据S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE，求解即可．
解：如图，连接OE，OA．
由题意可知△BOF为等边三角形．
∴OB＝OF＝BF＝1，
∴S△BOF=34，
在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AC＝DE＝23，
∴S△EOF=12•OF•DE=3，
∵OF＝OD，
∴S△EOF＝S△DEO=3，
∵∠AOE＝60°，AO=AC2+OC2=(23)2+12=13，
∴S扇形EOA=60⋅π⋅(13)2360=13π6，
由题意，△BPE为直角三角形，BE＝EF﹣BF＝4﹣1＝3，
∴BP=12BE=32，PE=32−(32)2=332，
∴S△PBE=12×32×332=938，
∴S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE=13π6+3−34−3−938=13π6−1138．
解法二：可以根据S阴＝S△APE+（S扇形AOE﹣S△AOE）计算．
总结提升：本题考查扇形的面积，旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
专题提优训练
一．选择题（共15小题）
1． (2023•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
思路引领：根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．
解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
=120π×9360−120π×94360
＝2.25πm2．
故选：D．
总结提升：本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nπR2360是解题的关键．
2． (2023秋•西华县期末）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣1B．π﹣2C．12π﹣1D．12π+1
思路引领：已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
解：在Rt△ACB中，AB=22+22=22，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB＝90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD=2，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=12π×22−12×（2）2＝π﹣1．
故选：A．
总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．
3． (2023•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A．6π﹣93B．12π﹣93C．6π−932D．12π−932
思路引领：根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．
解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，
∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝33，
∴DF＝63，
阴影部分的面积=120π×36360−12×63×3＝12π﹣93，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．
4． (2023•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作BC，AC，AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）
A．2π﹣23B．2π−3C．2πD．π−3
思路引领：此三角形是由三段弧组成，如果周长为2π，则其中的一段弧长为2π3，所以根据弧长公式可得60πr180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积．
解：设等边三角形ABC的边长为r，
∴60πr180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2，
∴这个曲边三角形的面积＝2×3×12+（60π×4360−3）×3＝2π﹣23，
故选：A．
总结提升：本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．
5．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD平行且相等（如图②），小华用皮尺量出BD＝1米，BC＝0.5米，则阴影部分的面积为（ ）
A．（π12−38）平方米B．（π6−38）平方米
C．（π12−34）平方米D．（π6−34）平方米
思路引领：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，进而得出CD，EO的长以及∠COD的度数，进而由S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD得出弓形CD的面积，进一步即可求得阴影部分的面积．
解：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，
由题意可得出：∠BCD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵BD＝1米，BC＝0.5米，
∴BC=12BD，CD=BD2−CD2=32米，
∴∠BDC＝30°，
∴OE=12OD=14米，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠BDC＝30°，
∴∠COD＝120°，
∴S弓形CD面积
＝S扇形COD﹣S△COD
=120π×(12)2360−12×14×32，
＝（π12−316）平方米，
∴阴影部分的面积为：2×（π12−316）＝（π6−38）平方米．
∴故选：B．
总结提升：此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．
6． (2023•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．π3B．3π5C．2π3D．3π4
思路引领：解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC=3，
∴cs∠CBE=CBBE=32，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，
故选：C．
总结提升：本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．
7． (2023•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πB．22C．2π﹣4D．2π﹣22
思路引领：连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
解：连接OE，OC，BC，
由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，
∴∠EOC＝90°，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE＝4，
∴OE＝OC＝22，
∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC=90π×(22)2360−12×22×22=2π﹣4，
故选：C．
总结提升：本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．
8． (2023•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积是（ ）
A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm2
思路引领：先求出AD的长，再根据扇形的面积公式求出扇形BAC和扇形DAE的面积即可．
解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，
∴AD＝AB﹣BD＝15cm，
∵∠BAC＝120°，
∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
=120π×452360−120π×152360
＝600π（cm2），
故选：C．
总结提升：本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2360．
9． (2023•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．3π﹣33B．3π−932C．2π﹣33D．6π−932
思路引领：根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AC＝3，
∴OC＝3，AD=32AC=332，
∴AB＝2AD＝33，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC=120π×32360−12×3×33=3π−932，
故选：B．
总结提升：本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10． (2023•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A．23π−32B．23π−3C．43π﹣23D．43π−3
思路引领：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=3，进而求出阴影部分的面积．
解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，
由题意可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝2
∴S扇形AOB=60π×22360=23π，
∵OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，AC＝1，
∴OC=3，
∴S△AOB=12×2×3=3，
∴阴影部分的面积为：23π−3；
故选：B．
总结提升：本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
二．填空题
11． (2023•巩义市二模）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．
思路引领：连接OB，交CA于E，根据圆周角定理得到∠BOA＝60°，根据平行线的性质得到∠D＝∠OAC＝30°，即可得出∠OBD＝90°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．
解：连接OB，交CA于E，
∵∠C＝30°，∠C=12∠BOA，
∴∠BOA＝60°，
∵BD∥AC，
∴∠D＝∠OAC＝30°，
∴∠OBD＝90°，
∴BD=3OB＝83，
∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB=12×8×83−60π×82360=323−32π3，
故答案为323−32π3．
总结提升：本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．
12． (2023•宛城区一模）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动，E为CD的中点，点F在AB上，连接EF、BE．若AF的长是π3，则线段EF的最小值是 ，此时图中阴影部分的面积是 ．
思路引领：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．根据弧长求得∠AOF＝30°，jk 证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝1，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，然后根据S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT求得阴影的面积．
解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．
∵AF的长是π3，OA＝2，
∴π3=nπ×2180，
∴n＝30，
∴∠AOF＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOF＝60°，
∵CE＝DE，
∴OE=12CD=12×2=1，
∵OF＝2，
∴EF≥OF﹣OE＝1，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF＝1，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BT=32OB=3，
∴此时S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT=60π×22360−12×3×1=23π−32．
故答案为：1，23π−32．
总结提升：本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，明确当O，E，F共线时，EF的值最小是解题的关键．
13． (2023•贵港）如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝32，则图中阴影部分的面积是 ．
思路引领：过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD=23AB，∠BAD＝45°，AB＝32，
∴AD=23×32=22，
∴DF＝ADsin45°＝22×22=2，
∵AE＝AD＝22，
∴EB＝AB−AE=2，
∴S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC
＝32×2−45π×(22)2360−12×2×2
＝52−π，
故答案为：52−π．
总结提升：本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，准确添加辅助线是解题关键．
14． (2023春•亭湖区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝6，则阴影部分的面积是 ．
思路引领：根据扇形的面积公式计算即可．
解：∵∠BOD＝2∠DCB，∠DCB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∴S扇形OBD=60⋅π⋅62360=6π，
故答案为6π．
总结提升：本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是计算扇形的面积公式，属于中考常考题型．
15． (2023•黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 ．
思路引领：证明△OBE≌△OCG（SAS），推出S△OBE＝S△OCG，推出S四边形OECG＝S△OBC＝4，再根据S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG，求解即可．
解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC=14S四边形ABCD＝4，
∵∠BOC＝∠EOG＝90°，
∴∠BOE＝∠COG，
在△BOE和△COG中，
∠BOE=∠COGOB=OC∠OBE=∠OCG，
∴△OBE≌△OCG（SAS），
∴S△OBE＝S△OCG，
∴S四边形OECG＝S△OBC＝4，
∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，
∴OB＝OC＝22，
∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG
=90π⋅(22)2360−4
＝2π﹣4，
故答案为：2π﹣4．
总结提升：本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16． (2023•康巴什一模）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为 ．
思路引领：先根据正方形的边长，求得CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2−1，进而得到S△OB1C=12（2−1）2，再根据S△AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．
解：连接DC1，
∵∠CAC1＝∠DCA＝∠COB1＝∠DOC1＝45°，
∴∠AC1B1＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴A，D，C1在一条直线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=2，∠OCB1＝45°，
∴CB1＝OB1
∵AB1＝1，
∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2−1，
∴S△OB1C=12•OB1•CB1=12（2−1）2，
∵S△AB1C1=12AB1•B1C1=12×1×1=12，
∴图中阴影部分的面积=45⋅π⋅(2)2360−12（2−1）2−12=π4−2+2．
故答案为π4−2+2．
总结提升：本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．
17． (2023秋•招远市期末）如图，在扇形OAB中，点C在AB上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
思路引领：连接OC，作CM⊥OB于M，根据等腰直角三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝42，进而得出∠OCB＝OBC＝75°，即可得到∠BOC＝30°，解直角三角形求得AD、BD、CM，然后根据S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）计算即可求得．
解：连接OC，作CM⊥OB于M，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB=42，
∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，
∴AD=12AB=22，BD=32AB=26，
∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，
∴∠OBC＝75°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝75°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝60°，CM=12OC=12×4=2，
∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）
＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC
=12×22×26+12×4×4−12×4×2−60π×42360
=4+43−8π3．
故答案为：4+43−8π3．
总结提升：此题考查了运用切割法求图形的面积．解决本题的关键是把所求的面积转化为容易算出的面积的和或差的形式．