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中考数学总复习专题02整式及因式分解(10个高频考点)(强化训练)(全国版)(原卷版+解析)
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这是一份中考数学总复习专题02整式及因式分解(10个高频考点)(强化训练)(全国版)(原卷版+解析)，共42页。
【考点1 整式的相关概念】
1.（2022·湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（ ）
A．x+1B．1x+1C．x2+1D．x+1x
2．（2022·福建厦门·中考真题）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．−2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3
3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+12b−1（是多边形内的格点数，是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40．
（1）这个格点多边形边界上的格点数b=___（用含的代数式表示）；
（2）设该格点多边形外的格点数为c，则c−a=___．
4．（2022·四川绵阳·中考真题）若多项式xy|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn=_____．
5．（2022·河北·中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【考点2 整式的加减运算】
6.（2022·全国·七年级课时练习）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
7．（2022·河北·中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：(□x2+6x+8)−(6x+5x2+2)，发现系数“□”印刷不清楚．
(1)他把“□”猜成3，请你化简：(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
8．（2022·河北·中考真题）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
－3x＝x2－5x＋1．
（1）求所捂的二次三项式：
（2）若x=6+1，求所捂二次三项式的值．
9．（2022·江苏扬州·中考真题）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)= ，d(10-2)= ；
(2)劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d(mn)=d(m)-d(n)．
根据运算性质，填空：da3da= (a为正数)，若d(2)=0.3010，则d(4)= ，d(5)= ，d(0.08)= ；
(3)如表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
10．（2022·河北邢台·模拟预测）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关．
（1）求m、n的值；
（2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值．
【考点3 幂的运算】
11．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．(a2b)2=a2b2B．a6÷a2=a3C．(3xy2)2=6x2y4D．(−m)7÷(−m)2=−m5
12．（2022·山东淄博·中考真题）计算(−2a3b)2−3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
13．（2022·广东江门·一模）已知xm=3，xn=2，那么x2m+3n=（ ）
A．17B．54C．72D．81
14．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知4a=3b，12a=27，则a+b=（ ）
A．13B．12C．2D．3
15．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8B．4C．22D．2
【考点4 整式乘法公式的运用】
16．（2022·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 _____．
17．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）已知x，y为实数，且满足x2−xy+4y2=4，记u=x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝________．
18．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）已知a、b、c均为实数，且a+b=4，2c2−ab=43c−10，则abc=______．
19．（2022·四川成都·二模）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．
20．（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足m+n=3，m2n+mn2=−30．
（1）若m>n，则m−n=_______；
（2）若n+p=−5，则代数式m2p−n2p+m3−mn2的值是______________．
【考点5 整式的混合运算】
21．（2023·河北·九年级专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为___．
22．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：(x−y)(2x−y)−(x−y)2−x2，其中x=2023−1，y=2023+1．
23．（2022·广西·梧州市第一中学三模）先化简，再求值：（3a+1）（2a-3）-（6a-5）•（a-4），其中a=-2．
24．（2022·河北·唐山市路北区教育局中教研二模）在化简3m2n+mn−4m2n−mn◆2mn题目中：◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．
（1）若◆表示－，请化简3m2n+mn−4m2n−mn−2mn
（2）当m=−2，n=1时，3m2n+mn−4m2n−mn◆2mn的值为12，请推算出◆所表示的符号．
25．（2022·广西河池·模拟预测）先化简，再求值：−x−2yx−2y+2x3−4x2y÷2x，其中x=−2，y=1．
【考点6 完全平方公式、平方差公式的几何背景】
26．（2022·甘肃·兰州树人中学七年级期中）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2
27．（2022·福建省厦门第六中学二模）如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（ ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
28．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2−2x+1=(x−1)2 B．x2−1=(x+1)(x−1) C．x2+2x+1=(x+1)2D．x2−x=x(x−1)
29．（2022·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________.
30．（2022·重庆·一模）阅读理解：
若x满足9−xx−4=4，求(4−x)2+(x−9)2的值．
解：设9−x=a，x−4=b，
则9−xx−4=ab=4，a+b=9−x+x−4=5，
∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=17．
迁移应用：
(1)若x满足(2020−x)2+(x−2022)2=10，求2020−xx−2022的值；
(2)如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE=k，BG=k+1(k为常数，且k>0)，长方形AEFG的面积是2116，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
【考点7 因式分解】
31．（2022·湖北黄冈·三模）已知a+b＝12，ab＝﹣38，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．
32．（2022·湖南张家界·二模）阅读材料：我们知道，两数之积大于0，那么这两数同号，即ab>0，则a>0b>0或a<0b<0；两数之积小于0，那么这两数异号，即ab<0，则a>0b>0或a<0b<0．解决问题：
(1)分解因式：(x+1)2−4=_________；
(2)解不等式：(x+1)2−4<0．
33．（2022·广东广州·二模）已知M=k−b2−k+bk−b．
(1)化简M；
(2)若一次函数y=kx+b，当x=−3时，函数图象与x轴相交；当y=3时，函数图象与y轴相交．
求M的值．
34．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）
(1)−1−π−20220+12−1−2tan45°
(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：3a+b2−a+3b2
解：原式=9a2+6ab+b2−a2+6ab+9b2 第一步
=8a2−8b2 第二步
=8a2−b2 第三步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．
35．（2022·河北保定·一模）n是正整数．
(1)请用n表示两个连续的奇数为______、______．
(2)这两个连续奇数的平方差是8的倍数吗？给出理由．
【考点8 利用添项、拆项进行因式分解】
36．（2022·广西百色·二模）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法： x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．仔细阅读以上内容，解决问题：已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，则△ABC的周长______．
37．（2022·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a2−1可以用如下方法分解因式：
①a2−1=a2−a+a−1=aa−1+a−1=a−1a+1；
又比如多项式a3−1可以这样分解：
②a3−1=a3−a2+a2−a+a−1=a2a−1+aa−1+a−1=a−1a2+a+1；
仿照以上方法，分解多项式a5−1的结果是______．
38．（2022·上海·七年级单元测试）阅读理解：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax−3a2＝x2+2ax+a2−a2−3a2＝(x+a)2−4a2＝(x+a)2−(2a)2＝(x+3a)(x−a)，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
请利用“配方法”进行因式分解：
(1)x2−8x+15；
(2)a4+a2b2+b4．
39．（2022·甘肃·甘州中学八年级期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成x+a2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2
＝x+a2−2a2
＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7；
②a4+a2b2+b4．
(2)若a+b＝5，ab＝6，求：
①a2+b2；
②a4+b4的值．
40．（2022·江苏·九年级课时练习）因式定理：对于多项式f(x)，若f(a)=0，则(x−a)是f(x)的一个因式，并且可以通过添减单项式从f(x)中分离出来．已知f(x) =x3−5x2+(k+4)x−k．
(1)填空：当x=1时，f(1)=0，所以(x−1)是f(x)的一个因式．于是f(x) =x3−x2−4x2+4x+kx−k =(x−1)×g(x)．则g(x)=________________；
(2)已知关于x的方程f(x)=0的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．
【考点9 因式分解的应用】
41．（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）如图是一个长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为14、面积为10，则a2b+ab2的值为_____．
42．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校模拟预测）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式x3﹣4xy2，取x＝20，y＝5时，写出一个用上述方法产生的密码__．
43．（2022·河北唐山·二模）如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x＋b）2为关联多项式，则b＝___；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x2﹣6x＋2不含常数项时，则A为____．
44．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示图中S3；
(2)求长方体的表面积．
45．（2022·安徽·合肥市五十中学新校一模）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
【考点10 图形或数字变化类的规律探究】
46．（2022·重庆南开中学三模）有n个依次排列的整式：第1项是x+1，用第1项乘以x−1，所得之积记为a1，将第1项加上a1+1得到第2项，再将第2项乘以x−1得到a2，将第2项加a2+1得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为x5+x4+x3+x2+x+1；②a5=x6−1；③若第2021项的值为0，则x2022=1；④当x=−2时，第k项的值为1−2k+13．以上结论正确的个数为（ ）个
A．1B．2C．3D．4
47．（2022·广东·二模）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的．称为杨辉三角形．a+bn的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的每一项，如：a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3．若t是a−b2023展开式中ab2022的系数，则t的值为（ ）
A．2022B．−2022C．2023D．−2023
48．（2022·重庆渝北·九年级二模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
49．（2022·黑龙江牡丹江·二模）观察下面图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中“·”的个数是（ ）
A．128B．162C．200D．226
50．（2022·重庆·模拟预测）某数学兴趣小组的同学对a1，a2，a3，a4，a5这5个正整数进行规律探索，发现它们同时满足以下3个条件：（1）a1，a2，a3是三个连续偶数，且a1①当a2=8时，5个正整数不满足上述3个条件；
②当a2=12时，5个正整数满足上述3个条件；
③当a2满足“a2是4整倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；
④当5个正整数满足上述3个条件时，a4=6k（k为正整数）；
⑤当5个正整数满足上述3个条件时，a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10n（n是正整数）．
以上结论正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5 x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d(x)
3a−b+c
2a−b
a+c
1+a−b−c
3−3a−3c
4a−2b
3−b−2c
6a−3b
专题02 整式及因式分解（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 整式的相关概念】
1.（2022·湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（ ）
A．x+1B．1x+1C．x2+1D．x+1x
【答案】A
【详解】【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案．
【详解】A、x+1是整式，故此选项正确；
B、1x+1是分式，故此选项错误；
C、x2+1是二次根式，故此选项错误；
D、x+1x是分式，故此选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了整式、分式、二次根式的定义，熟练掌握相关定义是解题关键．
2．（2022·福建厦门·中考真题）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．−2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3
【答案】D
【详解】试题分析：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
A．−2xy2系数是﹣2，错误；
B．3x2系数是3，错误；
C．2xy3次数是4，错误；
D．2x3符合系数是2，次数是3，正确；
故选D．
考点：单项式．
3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+12b−1（是多边形内的格点数，是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40．
（1）这个格点多边形边界上的格点数b=___（用含的代数式表示）；
（2）设该格点多边形外的格点数为c，则c−a=___．
【答案】 82－2a 118
【详解】试题分析：将S=40代入“皮克定理”可得：40=a+12b－1，12b=41－a，则b=82－2a；
根据题意可得：c=200－a－b=200－a－（82－2a）=118+a，则c－a=118+a－a=118．
考点：代数式的应用．
4．（2022·四川绵阳·中考真题）若多项式xy|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn=_____．
【答案】0或8
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解：∵多项式xy|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，
∴n−2=0，1+|m−n|=3，
∴n=2，|m−n|=2，
∴m−n=2或n−m=2，
∴m=4或m=0，
∴mn=0或8．
故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
5．（2022·河北·中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【答案】（1）25+2a2；−16−6a；（2）4a2－12a+9；和不能为负数，理由见解析．
【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，B区就会自动减去3a，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．
（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．
【详解】解：（1）A区显示结果为：25+a2+a2=25+2a2 ，
B区显示结果为：﹣16－3a－3a=﹣16－6a；
（2）初始状态按4次后A显示为：25+a2+a2+a2+a2=25+4a2
B显示为：﹣16－3a－3a－3a－3a=﹣16－12a
∴A+B=25+4a2+(-16−12a)
=4a2－12a+9
=(2a－3)2
∵(2a－3)2≥0恒成立，
∴和不能为负数．
【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．
【考点2 整式的加减运算】
6.（2022·全国·七年级课时练习）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，941．理由见解析．
【分析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”定义逐一判断即可．
【详解】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为所学数学问题是解题关键．
7．（2022·河北·中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：(□x2+6x+8)−(6x+5x2+2)，发现系数“□”印刷不清楚．
(1)他把“□”猜成3，请你化简：(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？
【答案】(1)–2x2+6；(2)5．
【分析】(1)原式去括号、合并同类项即可得；
(2)设“□”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．
【详解】(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)
=3x2+6x+8-6x-5x2-2
=-2x2+6；
(2)设“□”是a，
则原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)
=ax2+6x+8-6x-5x2-2
=(a-5)x2+6，
∵标准答案的结果是常数，
∴a-5=0，
解得：a=5．
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
8．（2022·河北·中考真题）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
－3x＝x2－5x＋1．
（1）求所捂的二次三项式：
（2）若x=6+1，求所捂二次三项式的值．
【答案】（1）x2－2x＋1；（2）6
【分析】（1）将手掌捂住部分看作被减式，3x看作减式，x2－5x＋1为差式．则被减式=减式+差式，从而得到答案；
（2）直接代入计算，但这样较麻烦，不如将（1）中所得结果分解因式，再代入求值．
【详解】解：（1）设所捂的二次三项式为A，则A＝x2－5x＋1＋3x ＝x2－2x＋1．
（2）若x=6+1，A＝（x－1）2=(6+1−1)2＝6．
【点睛】本题考查了整式的加减、完全平方式和二次根式的化简计算，能正确列出算式是解题的关键．
9．（2022·江苏扬州·中考真题）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)= ，d(10-2)= ；
(2)劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d(mn)=d(m)-d(n)．
根据运算性质，填空：da3da= (a为正数)，若d(2)=0.3010，则d(4)= ，d(5)= ，d(0.08)= ；
(3)如表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
【答案】(1)1，﹣2
(2)3；0.6020；0.6990；﹣1.097
(3)详见解析
【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果；
（2）根据题中的新运算性质计算即可得到结果；
（3）利用反证法，通过9=32，27=33，可以判断d(3)正确，同理据5=10÷2，假设d(5)正确，可以求得d(2)的值，即可通过d(8)，d(6)正确．再运用正确的求出d(1.5)和d(12)的值．
(1)
根据定义可知，10b=n与b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系，d(10)和d(10﹣2)就是指10的指数，
所以d(10)=1，d(10﹣2)=－2．
故答案为：1，﹣2；
(2)
∵d(a3)=d(a×a×a)=d(a)+d(a)+d(a)=3d(a)，
∴da3da=3dada=3；
∵d(2)=0.3010，
∴d(4)=2 d(2)= 0.6020，
d5=d102=d10−d2=1−d2=1−0.3010=0.6990，
d(0.08)= d(10-2×23)=-2＋3d(2)=-2+3×0.3010=﹣1.097，
故答案为：3，0.6020，0.6990，﹣1.097；
(3)
应用反证法：
若d3=2a−b，则d9=d3×3=2d3=4a−2b，d27=3d3=6a−3b，
∴若d3≠2a−b，表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d3=2a−b，d9=4a−2b，d27=6a−3b；
若d5=a+c，则d2=d105=d10−d5=1−a+c=1−a−c，
∴d8=3d2=3−3a−3c，d6=d2+d3=1+a−b−c．
∴若d5≠a+c，表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d5=a+c，d8=3−3a−3c，d6=1+a−b−c．
∴表中只有d(1.5)和d(12)的值是错误的，应纠正为：
d1.5=d3+d5−1=3a−b+c−1，d12=d3+2d2=2−b−2c．
【点睛】本题考查整式的运算，理解“劳格数”的意义，掌握“劳格数”的性质是得出正确答案的前提．
10．（2022·河北邢台·模拟预测）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关．
（1）求m、n的值；
（2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值．
【答案】（1）n＝2，m＝﹣1；（2）-36
【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则计算得出答案,注意整体思想及添括号与去括号法则；
（2）先去小括号，再去中括号，再利用整式的加减运算法则化简进而得出答案．
【详解】解：（1）∵A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关，
∴2A﹣B＝2（x2﹣mx+2）﹣（nx2+2x﹣1）
＝2x2﹣2mx+4﹣nx2﹣2x+1
＝（2﹣n）x2﹣（2m+2）x+5，
∴2﹣n＝0，2m+2＝0，
解得：n＝2，m＝﹣1；
（2）﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]
＝﹣3m2n+6mn2﹣m2n﹣2mn2+4m2n+5mn2
＝9mn2，
当n＝2，m＝﹣1时，
原式＝9×（﹣1）×22＝﹣36．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【考点3 幂的运算】
11．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．(a2b)2=a2b2B．a6÷a2=a3C．(3xy2)2=6x2y4D．(−m)7÷(−m)2=−m5
【答案】D
【详解】A．积的乘方等于乘方的积，故A错误，不符合题意；
B．同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误，不符合题意；
C．积的乘方等于乘方的积，故C错误，不符合题意；
D．同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确，符合题意；
故选D．
12．（2022·山东淄博·中考真题）计算(−2a3b)2−3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
【答案】C
【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【详解】解：原式=4a6b2−3a6b2=a6b2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则．
13．（2022·广东江门·一模）已知xm=3，xn=2，那么x2m+3n=（ ）
A．17B．54C．72D．81
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：∵xm=3，xn=2，
∴x2m+3n= xm2⋅xn3=32×23=9×8=72,
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方是解题的关键．
14．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知4a=3b，12a=27，则a+b=（ ）
A．13B．12C．2D．3
【答案】D
【分析】根据积的乘方的逆用可求出3a⋅4a=27，再结合题意可得出3a⋅3b=27．即可由同底数幂的乘法的逆用得出3a+b=33，从而求出结果．
【详解】∵12a=27，
∴(3×4)a=27，
∴3a⋅4a=27．
∵4a=3b，
∵3a⋅3b=27，
∴3a+b=33，
∴a+b=3，
故选D．
【点睛】本题考查积的乘方的逆用和同底数幂的乘法的逆用．掌握积的乘方和同底数幂的乘法的逆用法则是解题关键．
15．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8B．4C．22D．2
【答案】C
【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m−4n=3m÷9n2即可解答．
【详解】∵32m−4n=32m−2n=3m−2n2=3m÷9n2，
依题意得：4x2=2，x>0．
∴4x=2，
∴x=22，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．
【考点4 整式乘法公式的运用】
16．（2022·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 _____．
【答案】3
【分析】观察已知和所求可知，4m2﹣n2=(2m+n)(2m﹣n)，将代数式的值代入即可得出结论．
【详解】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2=(2m+n)(2m﹣n)=3×1=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
17．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）已知x，y为实数，且满足x2−xy+4y2=4，记u=x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝________．
【答案】13615
【分析】联立已知条件，将u转化为2xy+4，根据非负数的性质确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得解．
【详解】解：∵x2−xy+4y2=4①u=x2+xy+4y2②，
∴②－①，得2xy=u-4，即u=2xy+4，把①两边加5xy，得（x+2y）2=4+5xy⩾0，
解得：xy⩾−45，
把①两边减3xy，得（x-2y）2=4-3xy⩾0，
解得：xy≤43
∴−85+4≤u≤2×43+4，
解得125≤u≤203，
∴M=203,m=125，
∴M+m=203+125=13615，
故答案为：13615．
【点睛】本题考查了加减消元法，完全平方公式的应用，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．
18．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）已知a、b、c均为实数，且a+b=4，2c2−ab=43c−10，则abc=______．
【答案】43
【分析】先变形得到a+b=4，ab=2c2-43c+10，再根据根与系数的关系，a、b可看作是方程x2-4x+2c2-43c+10=0的两实数解，配方后可得（x-2）2+2（c-3）2=0，得到x=2，c=3，然后计算abc的值即可；
【详解】∵a+b=4，ab=2c2-43c+10
∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-43c+10=0的两实数解
∴（x-2）2+2（c-3）2=0
∴x-2=0或c-3=0
解得x=2，c=3
∴ab=2×3-43×3+10=4
∴abc=4×3=43
故答案为：43．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．学会观察算式形式，正确写出一元二次方程是解决本题的关键．
19．（2022·四川成都·二模）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．
【答案】264
【分析】在原式前面乘以（2﹣1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可．
【详解】原式＝2−12+122+1···232+1+1，
＝22−122+1···232+1+1，
＝24−124+1···232+1+1，
＝264﹣1+1，
＝264；
故本题答案为264．
【点睛】此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
20．（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足m+n=3，m2n+mn2=−30．
（1）若m>n，则m−n=_______；
（2）若n+p=−5，则代数式m2p−n2p+m3−mn2的值是______________．
【答案】 7 42或252##252或42
【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出mn=−10，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；
（2）利用（1）中结论得出m=5n=−2或m=−2n=5，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可．
【详解】解：（1）∵m+n=3，
∴m2n+mn2=mnm+n=−30，
∴mn=−10，
∴(m−n)2=(m+n)2−4mn=9−−40=49，
∴m−n=±7，
∵m>n，
∴m−n>0，
∴m−n=7；
（2）m2p−n2p+m3−mn2
=(m2−n2)p+m(m2−n2)
=(m2−n2)(p+m)
=(m+n)(m−n)(p+m)，
由（1）得m+n=3m−n=7或m+n=3m−n=−7
解得：m=5n=−2或m=−2n=5
当m=5，n=−2时，
∵n+p=−5，
∴p=−3，
∴m+p=2，
∴原式=(5−2)×(5+2)×2
=42；
当m=−2，n=5时，
∵n+p=−5，
∴p=−10，
∴m+p=−12，
∴原式=(−2+5)×(−2−5)×(−12)
=252；
∴代数式的值为42或252；
故答案为：①7；②42或252．
【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键．
【考点5 整式的混合运算】
21．（2023·河北·九年级专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为___．
【答案】 > 1009
【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可；
（2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值．
【详解】解：（1）∵S甲＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7，
S乙＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，
∴S甲﹣S乙＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2，
故答案为：＞；
（2）由（1）得|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1，
∵2m﹣1＜n≤2021的整数n有且只有4个，
∴这四个整数解为2021，2020，2019，2018，
∴2017≤2m﹣1＜2018，
解得：1009≤m＜1009.5，
∵m为正整数，
∴m＝1009，
故答案为：1009．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则以及一元一次不等式的应用，能够作差比较大小是解题的关键．
22．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：(x−y)(2x−y)−(x−y)2−x2，其中x=2023−1，y=2023+1．
【答案】−xy，−2022
【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化简，然后将x=2023−1，y=2023+1代入，再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式＝2x2−xy−2xy+y2−(x2−2xy+y2)−x2
＝2x2−xy−2xy+y2−x2+2xy−y2−x2
＝−xy，
当x=2023−1，y=2023+1时，
原式＝−(2023−1)×(2023+1)
＝−(2023)2−12
＝−(2023−1)
＝−2022．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则以及完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．
23．（2022·广西·梧州市第一中学三模）先化简，再求值：（3a+1）（2a-3）-（6a-5）•（a-4），其中a=-2．
【答案】22a-23，-67
【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：（3a+1）（2a－3）－（6a－5）•（a－4）
=6a2－9a+2a－3－（6a2－24a－5a+20）
=6a2－9a+2a－3-6a2+24a+5a－20
=22a－23
当a=－2时，原式=22×（－2）－23=－67．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算及其求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．
24．（2022·河北·唐山市路北区教育局中教研二模）在化简3m2n+mn−4m2n−mn◆2mn题目中：◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．
（1）若◆表示－，请化简3m2n+mn−4m2n−mn−2mn
（2）当m=−2，n=1时，3m2n+mn−4m2n−mn◆2mn的值为12，请推算出◆所表示的符号．
【答案】（1）−m2n+5mn；（2）◆表示÷
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先把m=−2，n=1，再根据计算结果推断即可．
【详解】解：（1）3m2n+mn−4m2n−mn−2mn
=3m2n+3mn−4m2n+4mn−2mn
=−m2n+5mn
（2）由题意得，34−2−44+2◆−4=12
即6−24◆−4=12
−24◆−4=6
所以◆表示÷．
【点晴】本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．
25．（2022·广西河池·模拟预测）先化简，再求值：−x−2yx−2y+2x3−4x2y÷2x，其中x=−2，y=1．
【答案】4y2−2xy，8
【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x与y的值代入计算可得．
【详解】解：原式=(−2y)2−x2+x2−2xy
=4y2−x2+x2−2xy
=4y2−2xy，
当x=−2，y=1时，
原式=4×12−2×−2×1
=4+4
=8．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算、化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
【考点6 完全平方公式、平方差公式的几何背景】
26．（2022·甘肃·兰州树人中学七年级期中）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2
【答案】B
【分析】设AB＝x，AD＝y，根据题意列出方程x2+y2＝17，2（x+y）＝10，利用完全平方公式即可求出xy的值．
【详解】解：设AB＝x，AD＝y，
∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形面积、矩形面积和完全平方公式，恰当的设未知数，建立方程，设而不求，只求xy的值是解题关键．
27．（2022·福建省厦门第六中学二模）如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（ ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
【答案】D
【分析】根据阴影部分的面积可以用大正方形的面积减小正方形的面积，也可以用4个长方形的面积之和，从而得出要验证的公式．
【详解】解：阴影部分的面积可表示为：a+b2−a−b2，
阴影部分的面积也可以表示为：4ab，
∴由此能验证的式子为a+b2−a−b2=4ab．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，阴影部分可以割成四个长方形的面积和，补成大正方形的面积减去中间小正方形的面积，解此类题目关键在于仔细分析图形，用不同的方法表示出阴影部分的面积．
28．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2−2x+1=(x−1)2 B．x2−1=(x+1)(x−1) C．x2+2x+1=(x+1)2D．x2−x=x(x−1)
【答案】B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【详解】解：由图可知，
图1的面积为：x2-12，
图2的面积为：（x+1）（x-1），
所以x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
29．（2022·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________.
【答案】10
【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第n个图形需要(2n−1)2个正方形，即可得出结论．
【详解】第1个图形是一个小正方形；
第2个图形由9=(2×2−1)2个小正方形拼成；
第3个图形由25=(2×3−1)2个小正方形拼成，
……
拼成第n−1个图形需要(2n−3)2个正方形，
拼成第n个图形需要(2n−1)2个正方形，
(2n−1)2 −(2n−3)2=72，
解得：n=10；
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键．
30．（2022·重庆·一模）阅读理解：
若x满足9−xx−4=4，求(4−x)2+(x−9)2的值．
解：设9−x=a，x−4=b，
则9−xx−4=ab=4，a+b=9−x+x−4=5，
∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=17．
迁移应用：
(1)若x满足(2020−x)2+(x−2022)2=10，求2020−xx−2022的值；
(2)如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE=k，BG=k+1(k为常数，且k>0)，长方形AEFG的面积是2116，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
【答案】(1)-3
(2)52
【分析】（1）根据题意设2020−x=a，x−2022=b，可得a2+b2=10，a+b=(2020−x)+(x−2022)=−2，根据(a+b)2=a2+2ab+b2，代入计算即可得出答案；
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE=x−k，AG=x−k−1，可得AE−AG=1，AE⋅AG=2116；利用题干中的方法可求得AE+AG，利用阴影部分的面积等于正方形GFIH与正方形AGJK的面积之差即可求得结论．
（1）
解：设a=2020−x，b=x−2022，则：
a+b=−2，a2+b2=10．
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴10+2ab=(−2)2．
∴ab=−3．
∴2020−xx−2022=−3．
（2）
解：设正方形ABCD的边长为x，则AE=x−k，AG=x−k−1，
∴AE−AG=1．
∵长方形AEFG的面积是2116，
∴AE⋅AG=2116．
∵(AE−AG)2=AE2−2AE⋅AG+AG2，
∴AE2+AG2=1+218=298．
∵(AE+AG)2=AE2+2AE⋅AG+AG2，
∴(AE+AG)2=298+218，
∴AE+AG=52．
∴S阴影部分=S正方形GFIH−S正方形AGJK
=AE2−AG2
=AE+AGAE−AG
=52×1
=52．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，本题是阅读型题目，利用换元的方法解答是解题的关键．
【考点7 因式分解】
31．（2022·湖北黄冈·三模）已知a+b＝12，ab＝﹣38，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．
【答案】ab（a+b）2，−332
【分析】先提公因式，再根据完全平方公式分解，最后将式子的值代入计算．
【详解】解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，
∵a+b＝12，ab＝﹣38，
∴原式＝﹣38×（12）2＝−332．
【点睛】此题考查了多项式因式分解及求值，正确掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．
32．（2022·湖南张家界·二模）阅读材料：我们知道，两数之积大于0，那么这两数同号，即ab>0，则a>0b>0或a<0b<0；两数之积小于0，那么这两数异号，即ab<0，则a>0b>0或a<0b<0．解决问题：
(1)分解因式：(x+1)2−4=_________；
(2)解不等式：(x+1)2−4<0．
【答案】(1)(x+3)(x−1)
(2)−3【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）根据“同号得正，异号得负”列出不等式组求解即可．
(1)
x+12−4
=（x+1）2-22
=[(x+1)+2][(x+1)−2]
=(x+1+2)(x+1−2)
=(x+3)(x−1)
故答案为：(x+3)(x−1)
(2)
(x+1)2−4＜0，
(x+1）2−22＜0
(x+1+2)(x+1−2)＜0
(x+3)(x−1)＜0
则有①x+3＜0x−1＞0，
解得：x＜−3x＞1，则不等式组无解；
②x+3＞0x−1＜0，
解得：x＞−3x＜1，则不等式组的解集是：−3＜x＜1，
故不等式组的解集为：−3＜x＜1．
【点睛】本题主要考查因式分解-运用公式法，不等式组的解法，解答的关键是熟练运用公式法进行因式分解．
33．（2022·广东广州·二模）已知M=k−b2−k+bk−b．
(1)化简M；
(2)若一次函数y=kx+b，当x=−3时，函数图象与x轴相交；当y=3时，函数图象与y轴相交．
求M的值．
【答案】(1)−2bk−b；
(2)12；
【分析】（1）提取公因式再合并同类项即可；
（2）由一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求得k、b，再求M即可；
（1）
解：M=k−b2−k+bk−b
=k−b−k+bk−b
=−2bk−b
（2）
解：由题意得x=−3时y=0，y=3时x=0，
代入y=kx+b可得0=−3k+b3=b，解得：k=1b=3，
k，b代入M可得：
M=-2×3×（-2）=12；
【点睛】本题考查了因式分解，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题关键．
34．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）
(1)−1−π−20220+12−1−2tan45°
(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：3a+b2−a+3b2
解：原式=9a2+6ab+b2−a2+6ab+9b2 第一步
=8a2−8b2 第二步
=8a2−b2 第三步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)0
(2) 完全平方；提公因式 因式分解不彻底（或a2−b2还可以进行因式分解） 8(a+b)(a−b)
【分析】（1）先根据绝对值的意义，零指数幂、负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值进行化简，然后再进行运算即可；
（2）按照给出的解答过程，进行分析解答即可．
（1）
解：原式=1−1+2−2×1 =0．
（2）
任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；
任务二：小明因式分解的结果不彻底，a2−b2还可以进行因式分解；
任务三：原式=[(3a+b)+(a+3b)][(3a+b)−(a+3b)]
=(4a+4b)(2a−2b)
=8(a+b)(a−b)
故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a2−b2还可以进行因式分解）；任务三：8(a+b)(a−b)．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握实数混合运算法则，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．
35．（2022·河北保定·一模）n是正整数．
(1)请用n表示两个连续的奇数为______、______．
(2)这两个连续奇数的平方差是8的倍数吗？给出理由．
【答案】(1)2n＋1；2n－1
(2)是；理由见解析
【分析】（1）直接用代数式表示连续两个奇数即可；
（2）设两个连续奇数是2n+1和2n-1（n为整数），得出（2n+1）2-（2n-1）2=4n×2=8n，即可得出结论．
(1)
两个连续的奇数之间差2，故答案：2n＋1；2n－1；
(2)
∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1) ＝8n，n是正整数，8n是8的倍数．
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数.
【点睛】本题考查了平方差公式，有理数的混合运算等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
【考点8 利用添项、拆项进行因式分解】
36．（2022·广西百色·二模）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法： x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．仔细阅读以上内容，解决问题：已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，则△ABC的周长______．
【答案】7
【分析】根据拆项法将多项式变形为完全平方式的性质，利用平方的非负性求出a、b、c的值即可．
【详解】解：a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，
a2−4a+4+b2−4b+4+c2−6c+9=0，
(a−2)2+(b−2)2+(c−3)2=0，
∴a−2=0,b−2=0,c−3=0，
解得a=2,b=2,c=3，
∴△ABC的周长为a+b+c=2+2+3=7，
故答案为：7．
【点睛】此题考查多项式分解因式的方法，掌握分解因式的方法及能依据多项式的特点选择恰当的解法是解题的关键．
37．（2022·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a2−1可以用如下方法分解因式：
①a2−1=a2−a+a−1=aa−1+a−1=a−1a+1；
又比如多项式a3−1可以这样分解：
②a3−1=a3−a2+a2−a+a−1=a2a−1+aa−1+a−1=a−1a2+a+1；
仿照以上方法，分解多项式a5−1的结果是______．
【答案】a−1a4+a3+a2+a+1
【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可．
【详解】解：a5−1
=a5−a4+a4−a3+a3−a2+a2−a+a−1
=a4a−1+a3a−1+a2a−1+aa−1+a−1
=a−1a4+a3+a2+a+1，
故答案为：a−1a4+a3+a2+a+1
【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想．
38．（2022·上海·七年级单元测试）阅读理解：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax−3a2＝x2+2ax+a2−a2−3a2＝(x+a)2−4a2＝(x+a)2−(2a)2＝(x+3a)(x−a)，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
请利用“配方法”进行因式分解：
(1)x2−8x+15；
(2)a4+a2b2+b4．
【答案】(1)(x−3)(x−5)
(2)(a2+b2+ab)(a2+b2−ab)
【分析】（1）（2）都要如题中举例，先对整式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解，注意（2）中配方时幂的指数要正确．
（1）
原式＝x2−8x+16−16+15a＝(x−4)2−1＝(x−4+1)(x−4−1)＝(x−3)(x−5)；
（2）
a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4−a2b2＝(a2+b2)2−a2b2＝(a2+b2+ab)(a2+b2−ab)．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运用．
39．（2022·甘肃·甘州中学八年级期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成x+a2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2
＝x+a2−2a2
＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7；
②a4+a2b2+b4．
(2)若a+b＝5，ab＝6，求：
①a2+b2；
②a4+b4的值．
【答案】(1)①（a+1）（a﹣7）②(a2+b2−ab)(a2+b2+ab)
(2)①13②97
【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子分解因式；
（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（1）
解：利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7＝a2﹣6a+9﹣9﹣7
＝(a−3)2﹣16
＝（a﹣3+4）（a﹣3﹣4）
＝（a+1）（a﹣7）；
②a4+a2b2+b4=a4+a2b2+b4+a2b2−a2b2
＝a4+2a2b2+b4−a2b2
＝(a2+b2)2−a2b2
＝(a2+b2−ab)(a2+b2+ab)．
（2）
解：①a2+b2=(a+b)2−2ab，
将a+b＝5，ab＝6代入得：
原式＝52−2×6＝25﹣12＝13；
②a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2
将a2+b2＝13，ab＝6代入得：
原式＝132−2×62
＝97．
【点睛】本题考查了配方法，因式分解和完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
40．（2022·江苏·九年级课时练习）因式定理：对于多项式f(x)，若f(a)=0，则(x−a)是f(x)的一个因式，并且可以通过添减单项式从f(x)中分离出来．已知f(x) =x3−5x2+(k+4)x−k．
(1)填空：当x=1时，f(1)=0，所以(x−1)是f(x)的一个因式．于是f(x) =x3−x2−4x2+4x+kx−k =(x−1)×g(x)．则g(x)=________________；
(2)已知关于x的方程f(x)=0的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．
【答案】(1)x2−4x+k
(2)4
【分析】（1）f（x）两项结合后，提取公因式，再提取x−1变形，计算即可求出g（x）；
（2）由题易得1是方程f(x)=0的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程g(x)=x2−4x+k=0的根，代入求得k的值，再求出x的值即为三角形的三边长，经验证不满足三角形的三边关系；若1为等腰三角形的底边长，则方程x2−4x+k=0有两个相等实根，得出△=0，进而求出x的值，得到三角形的三边长，经验证满足三角形的三边关系．
（1）解：∵f（x）＝x³−x²−4x²＋4x＋kx−k＝x²（x−1）−4x（x−1）＋k（x−1）＝（x−1）（x²−4x＋k）＝（x−1）g（x），∴g（x）＝x²−4x＋k．
（2）∵f(x)=(x−1)×g(x)=0，∴1是方程f(x)=0的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程g(x)=x2−4x+k=0的根．把1代入x2−4x+k=0，得k=3．∵方程x2−4x+3=0的两根为1和3，∴三角形的三边为1，1，3．∵1+1＜3，不成立；若1为等腰三角形的底边长，则方程x2−4x+k=0有两个相等实根．由△=(−4)2−4k=0，得k=4．∵方程x2−4x+4=0的两个根为2，2，∴等腰三角形的三边为1，2，2．∵1+2＞2，成立．综上所述，实数k=4．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，方程两个相同解的情况下，Δ＝0这一条件，综合应用知识解题．
【考点9 因式分解的应用】
41．（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）如图是一个长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为14、面积为10，则a2b+ab2的值为_____．
【答案】70
【分析】直接利用矩形的性质结合因式分解将原式变形得出答案．
【详解】解：∵长宽分别为a，b的长方形的周长为14，面积为10，
∴a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=aba+b=10×7=70．
故答案为70．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
42．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校模拟预测）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式x3﹣4xy2，取x＝20，y＝5时，写出一个用上述方法产生的密码__．
【答案】201030（答案不唯一）
【分析】对多项式先进行因式分解，再代入求出每个因式的值，最后对因式的值进行排列组合即可得出答案．
【详解】解：x3－4xy2＝x(x2－4y2)，
＝x(x－2y)( x＋2y)，
当x＝20，y＝5时，
x=20，
x－2y=10，
x＋2y=30，
故密码为：201030．
故答案为：201030（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，涉及了提公因式法及平方差公式分解因式，属于阅读型的新定义题，解题的关键是根据阅读材料得出取密码的方法．
43．（2022·河北唐山·二模）如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x＋b）2为关联多项式，则b＝___；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x2﹣6x＋2不含常数项时，则A为____．
【答案】 ±5 -2x-2或-x-2
【分析】先将x2-25因式分解，再根据关联多项式的定义分情况求出b；再分A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k两种情况，根据不含常数项．
【详解】解：①∵x2-25=（x+5）（x-5），
∴x2-25的公因式为x+5、x-5．
∴若x2-25与（x+b）2为关联多形式，则x+b=x+5或x+b=x-5．
当x+b=x+5时，b=5．
当x+b=x-5时，b=-5．
综上：b=±5．
②∵（x+1）（x+2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，
∴A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k，k为整数．
当A=k（x+1）=kx+k（k为整数）时，若A+x2-6x+2不含常数项，则k+2=0，即k=-2．
∴A=-2（x+1）=-2x-2．
当A=k（x+2）=kx+2k（k为整数）时，若A+x2-6x+2不含常数项，则2k+2=0，即k=-1．
∴A=-x-2．
综上，A=-2x-2或A=-x-2．
故答案为：±5，-2x-2或-x-2．
【点睛】本题主要考查多项式、公因式，熟练掌握多项式、公因式的意义是解决本题的关键．
44．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示图中S3；
(2)求长方体的表面积．
【答案】(1)S3＝4x+x2
(2)-2x2+16x+32
【分析】（1）分别表示长方体的长和宽，可得S3；
（2）根据表面积公式代入可得答案．
（1）
∵S2＝4x−x2＝x(4−x)，
∴长方体的宽=4-x,
∵S1＝16−x2＝(4−x)(4+x)
∴长方体的长=4+x,
∴S3＝x(4+x)＝4x+x2；
（2）
长方体的表面积=2（4x+x2）+2（16-x2）+2（4x-x2）
=8x+2x2+32-2x2+8x-2x2
=-2x2+16x+32．
【点睛】本题考查了长方体，整式的加减，以及因式分解的应用,掌握长方形的面积=长×宽是解题的关键．
45．（2022·安徽·合肥市五十中学新校一模）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
【答案】△ABC是直角三角形，理由见解析
【分析】根据a+43=b+32=c+84，可以设a+43=b+32=c+84=k，然后根据a+b+c=12，可以求得k的值，进而求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状．
【详解】解：令a+43=b+32=c+84=k，
∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，
∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8，
又∵a+b+c=12，
∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，
∴k=3，
∴a=5，b=3，c=4，
∵32+42=52，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答此类问题的关键是明确题意，求出a、b、c的值．
【考点10 图形或数字变化类的规律探究】
46．（2022·重庆南开中学三模）有n个依次排列的整式：第1项是x+1，用第1项乘以x−1，所得之积记为a1，将第1项加上a1+1得到第2项，再将第2项乘以x−1得到a2，将第2项加a2+1得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为x5+x4+x3+x2+x+1；②a5=x6−1；③若第2021项的值为0，则x2022=1；④当x=−2时，第k项的值为1−2k+13．以上结论正确的个数为（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先分别求出前三项以及a1，a2，a3从而得出规律xn+xn−1+⋯+x2+x+1，an=xn+1−1，据此求解即可．
【详解】解：第一项为x+1，a1=x+1x−1=x2−1，
∴第二项为x+1+a1+1=x2+x+1，a2=x−1x2+x+1=x3−1，
∴第三项为x2+x+1+a3+1=x3+x2+x+1，a3=x−1x3+x2+x+1=x4−1，
∴可以推出第n项为xn+xn−1+⋯+x2+x+1，an=xn+1−1，
∴第5项为x5+x4+x3+x2+x+1，a5=x6−1，故①②正确；
∵第2021项为x2021+x2020+⋯+x2+x+1，a2021=x−1x2021+x2020+⋯+x2+x+1=x2022−1，
∴x2021+x2020+⋯+x2+x+1=x2022−1x−1=0，
∴x2022−1=0即x2022=1，故③正确；
同理可得第k项为xk+1−1x−1，
∴当x=−2时，第k项的值为−2k+1−1−2−1=1−−2k+13，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式的规律，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．
47．（2022·广东·二模）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的．称为杨辉三角形．a+bn的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的每一项，如：a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3．若t是a−b2023展开式中ab2022的系数，则t的值为（ ）
A．2022B．−2022C．2023D．−2023
【答案】C
【分析】根据a+bn的展开式规律，写出a−b2023的展开式，根据展开式即可写出ab2022的系数t．
【详解】∵a−b2023=a2023−2023⋅a2022b+⋯+2023ab2022−b2023
∴展开式中倒数第二项为2023⋅ab2022
∴a−b2023展开式中含ab2022项的系数是2023
故选：C
【点睛】本题是材料阅读题，考查了多项式的乘法，读懂材料然后写出a−b2023的展开式是关键．
48．（2022·重庆渝北·九年级二模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
【答案】C
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
49．（2022·黑龙江牡丹江·二模）观察下面图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中“·”的个数是（ ）
A．128B．162C．200D．226
【答案】C
【分析】观察图形可知前4个图形中分别有：2，8，18，32个“·”，所以可得规律为：第n个图形中共有2n2个“·”，据此即可解答．
【详解】解：由图形可知：
n=1时，“·”的个数为：2×12=2，
n=2时，“·”的个数为：2×22=8，
n=3时，“·”的个数为：2×32=18，
n=4时，“·”的个数为：2×42=32，
……
所以第n个图中，“·”的个数为：2n2个，
故第10个图形中“·”的个数为：2×102=200，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，关键在观察、分析已知图形和数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
50．（2022·重庆·模拟预测）某数学兴趣小组的同学对a1，a2，a3，a4，a5这5个正整数进行规律探索，发现它们同时满足以下3个条件：（1）a1，a2，a3是三个连续偶数，且a1①当a2=8时，5个正整数不满足上述3个条件；
②当a2=12时，5个正整数满足上述3个条件；
③当a2满足“a2是4整倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；
④当5个正整数满足上述3个条件时，a4=6k（k为正整数）；
⑤当5个正整数满足上述3个条件时，a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10n（n是正整数）．
以上结论正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据题意求得3a2=2a5−2，代入a2=8，a2=12，即可判断①②，根据3×4k=2a5−2，即可判断③，根据a4=6k，得出a4是偶数，即可判断④，求得平均数即可判断⑤
【详解】解：∵a1，a2，a3是三个连续偶数，且a1∴a1+a2+a3=3a2．
∵a4，a5是两个连续奇数，且a4∴a4=a5−2，
∴a4+a5=2a5−2．
∵a1+a2+a3=a4+a5，
∴3a2=2a5−2．当a2=8时，
3×8=2a5−2，
∴a5=13，满足条件，故①错误．
当a2=12时，3×12=2a5−2，
∴a5=19，满足条件，故②正确．
∵偶数a2是4的倍数，
∴设a2=4k（k为正整数）．
∵3a2=2a5−2，即3×4k=2a5−2，
∴a5=6k+1，满足条件，故③正确．
当a4=6k（k为正整数）时，a4是偶数，这与题意矛盾，故④错误．
当5个正整数满足所述3个条件时，偶数a2是4的倍数，
∴设a2=4n（n为正整数），则a5=6n+1，
∴a1+a2+a3=3a2=12n，a4+a5=2a5−2=12n，
∴a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是12n3+12n2=10n（n是正整数），故⑤正确．
故选B．
【点睛】本题考查了数字类规律题，求平均数，整除，根据题意得出个数之间的关系是解题的关键． x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d(x)
3a−b+c
2a−b
a+c
1+a−b−c
3−3a−3c
4a−2b
3−b−2c
6a−3b
【考点1 整式的相关概念】
1.（2022·湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（ ）
A．x+1B．1x+1C．x2+1D．x+1x
2．（2022·福建厦门·中考真题）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．−2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3
3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+12b−1（是多边形内的格点数，是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40．
（1）这个格点多边形边界上的格点数b=___（用含的代数式表示）；
（2）设该格点多边形外的格点数为c，则c−a=___．
4．（2022·四川绵阳·中考真题）若多项式xy|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn=_____．
5．（2022·河北·中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【考点2 整式的加减运算】
6.（2022·全国·七年级课时练习）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
7．（2022·河北·中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：(□x2+6x+8)−(6x+5x2+2)，发现系数“□”印刷不清楚．
(1)他把“□”猜成3，请你化简：(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
8．（2022·河北·中考真题）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
－3x＝x2－5x＋1．
（1）求所捂的二次三项式：
（2）若x=6+1，求所捂二次三项式的值．
9．（2022·江苏扬州·中考真题）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)= ，d(10-2)= ；
(2)劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d(mn)=d(m)-d(n)．
根据运算性质，填空：da3da= (a为正数)，若d(2)=0.3010，则d(4)= ，d(5)= ，d(0.08)= ；
(3)如表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
10．（2022·河北邢台·模拟预测）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关．
（1）求m、n的值；
（2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值．
【考点3 幂的运算】
11．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．(a2b)2=a2b2B．a6÷a2=a3C．(3xy2)2=6x2y4D．(−m)7÷(−m)2=−m5
12．（2022·山东淄博·中考真题）计算(−2a3b)2−3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
13．（2022·广东江门·一模）已知xm=3，xn=2，那么x2m+3n=（ ）
A．17B．54C．72D．81
14．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知4a=3b，12a=27，则a+b=（ ）
A．13B．12C．2D．3
15．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8B．4C．22D．2
【考点4 整式乘法公式的运用】
16．（2022·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 _____．
17．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）已知x，y为实数，且满足x2−xy+4y2=4，记u=x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝________．
18．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）已知a、b、c均为实数，且a+b=4，2c2−ab=43c−10，则abc=______．
19．（2022·四川成都·二模）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．
20．（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足m+n=3，m2n+mn2=−30．
（1）若m>n，则m−n=_______；
（2）若n+p=−5，则代数式m2p−n2p+m3−mn2的值是______________．
【考点5 整式的混合运算】
21．（2023·河北·九年级专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为___．
22．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：(x−y)(2x−y)−(x−y)2−x2，其中x=2023−1，y=2023+1．
23．（2022·广西·梧州市第一中学三模）先化简，再求值：（3a+1）（2a-3）-（6a-5）•（a-4），其中a=-2．
24．（2022·河北·唐山市路北区教育局中教研二模）在化简3m2n+mn−4m2n−mn◆2mn题目中：◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．
（1）若◆表示－，请化简3m2n+mn−4m2n−mn−2mn
（2）当m=−2，n=1时，3m2n+mn−4m2n−mn◆2mn的值为12，请推算出◆所表示的符号．
25．（2022·广西河池·模拟预测）先化简，再求值：−x−2yx−2y+2x3−4x2y÷2x，其中x=−2，y=1．
【考点6 完全平方公式、平方差公式的几何背景】
26．（2022·甘肃·兰州树人中学七年级期中）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2
27．（2022·福建省厦门第六中学二模）如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（ ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
28．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2−2x+1=(x−1)2 B．x2−1=(x+1)(x−1) C．x2+2x+1=(x+1)2D．x2−x=x(x−1)
29．（2022·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________.
30．（2022·重庆·一模）阅读理解：
若x满足9−xx−4=4，求(4−x)2+(x−9)2的值．
解：设9−x=a，x−4=b，
则9−xx−4=ab=4，a+b=9−x+x−4=5，
∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=17．
迁移应用：
(1)若x满足(2020−x)2+(x−2022)2=10，求2020−xx−2022的值；
(2)如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE=k，BG=k+1(k为常数，且k>0)，长方形AEFG的面积是2116，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
【考点7 因式分解】
31．（2022·湖北黄冈·三模）已知a+b＝12，ab＝﹣38，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．
32．（2022·湖南张家界·二模）阅读材料：我们知道，两数之积大于0，那么这两数同号，即ab>0，则a>0b>0或a<0b<0；两数之积小于0，那么这两数异号，即ab<0，则a>0b>0或a<0b<0．解决问题：
(1)分解因式：(x+1)2−4=_________；
(2)解不等式：(x+1)2−4<0．
33．（2022·广东广州·二模）已知M=k−b2−k+bk−b．
(1)化简M；
(2)若一次函数y=kx+b，当x=−3时，函数图象与x轴相交；当y=3时，函数图象与y轴相交．
求M的值．
34．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）
(1)−1−π−20220+12−1−2tan45°
(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：3a+b2−a+3b2
解：原式=9a2+6ab+b2−a2+6ab+9b2 第一步
=8a2−8b2 第二步
=8a2−b2 第三步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．
35．（2022·河北保定·一模）n是正整数．
(1)请用n表示两个连续的奇数为______、______．
(2)这两个连续奇数的平方差是8的倍数吗？给出理由．
【考点8 利用添项、拆项进行因式分解】
36．（2022·广西百色·二模）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法： x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．仔细阅读以上内容，解决问题：已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，则△ABC的周长______．
37．（2022·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a2−1可以用如下方法分解因式：
①a2−1=a2−a+a−1=aa−1+a−1=a−1a+1；
又比如多项式a3−1可以这样分解：
②a3−1=a3−a2+a2−a+a−1=a2a−1+aa−1+a−1=a−1a2+a+1；
仿照以上方法，分解多项式a5−1的结果是______．
38．（2022·上海·七年级单元测试）阅读理解：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax−3a2＝x2+2ax+a2−a2−3a2＝(x+a)2−4a2＝(x+a)2−(2a)2＝(x+3a)(x−a)，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
请利用“配方法”进行因式分解：
(1)x2−8x+15；
(2)a4+a2b2+b4．
39．（2022·甘肃·甘州中学八年级期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成x+a2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2
＝x+a2−2a2
＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7；
②a4+a2b2+b4．
(2)若a+b＝5，ab＝6，求：
①a2+b2；
②a4+b4的值．
40．（2022·江苏·九年级课时练习）因式定理：对于多项式f(x)，若f(a)=0，则(x−a)是f(x)的一个因式，并且可以通过添减单项式从f(x)中分离出来．已知f(x) =x3−5x2+(k+4)x−k．
(1)填空：当x=1时，f(1)=0，所以(x−1)是f(x)的一个因式．于是f(x) =x3−x2−4x2+4x+kx−k =(x−1)×g(x)．则g(x)=________________；
(2)已知关于x的方程f(x)=0的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．
【考点9 因式分解的应用】
41．（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）如图是一个长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为14、面积为10，则a2b+ab2的值为_____．
42．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校模拟预测）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式x3﹣4xy2，取x＝20，y＝5时，写出一个用上述方法产生的密码__．
43．（2022·河北唐山·二模）如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x＋b）2为关联多项式，则b＝___；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x2﹣6x＋2不含常数项时，则A为____．
44．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示图中S3；
(2)求长方体的表面积．
45．（2022·安徽·合肥市五十中学新校一模）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
【考点10 图形或数字变化类的规律探究】
46．（2022·重庆南开中学三模）有n个依次排列的整式：第1项是x+1，用第1项乘以x−1，所得之积记为a1，将第1项加上a1+1得到第2项，再将第2项乘以x−1得到a2，将第2项加a2+1得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为x5+x4+x3+x2+x+1；②a5=x6−1；③若第2021项的值为0，则x2022=1；④当x=−2时，第k项的值为1−2k+13．以上结论正确的个数为（ ）个
A．1B．2C．3D．4
47．（2022·广东·二模）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的．称为杨辉三角形．a+bn的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的每一项，如：a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3．若t是a−b2023展开式中ab2022的系数，则t的值为（ ）
A．2022B．−2022C．2023D．−2023
48．（2022·重庆渝北·九年级二模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
49．（2022·黑龙江牡丹江·二模）观察下面图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中“·”的个数是（ ）
A．128B．162C．200D．226
50．（2022·重庆·模拟预测）某数学兴趣小组的同学对a1，a2，a3，a4，a5这5个正整数进行规律探索，发现它们同时满足以下3个条件：（1）a1，a2，a3是三个连续偶数，且a1
②当a2=12时，5个正整数满足上述3个条件；
③当a2满足“a2是4整倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；
④当5个正整数满足上述3个条件时，a4=6k（k为正整数）；
⑤当5个正整数满足上述3个条件时，a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10n（n是正整数）．
以上结论正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5 x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d(x)
3a−b+c
2a−b
a+c
1+a−b−c
3−3a−3c
4a−2b
3−b−2c
6a−3b
专题02 整式及因式分解（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 整式的相关概念】
1.（2022·湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（ ）
A．x+1B．1x+1C．x2+1D．x+1x
【答案】A
【详解】【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案．
【详解】A、x+1是整式，故此选项正确；
B、1x+1是分式，故此选项错误；
C、x2+1是二次根式，故此选项错误；
D、x+1x是分式，故此选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了整式、分式、二次根式的定义，熟练掌握相关定义是解题关键．
2．（2022·福建厦门·中考真题）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．−2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3
【答案】D
【详解】试题分析：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
A．−2xy2系数是﹣2，错误；
B．3x2系数是3，错误；
C．2xy3次数是4，错误；
D．2x3符合系数是2，次数是3，正确；
故选D．
考点：单项式．
3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+12b−1（是多边形内的格点数，是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40．
（1）这个格点多边形边界上的格点数b=___（用含的代数式表示）；
（2）设该格点多边形外的格点数为c，则c−a=___．
【答案】 82－2a 118
【详解】试题分析：将S=40代入“皮克定理”可得：40=a+12b－1，12b=41－a，则b=82－2a；
根据题意可得：c=200－a－b=200－a－（82－2a）=118+a，则c－a=118+a－a=118．
考点：代数式的应用．
4．（2022·四川绵阳·中考真题）若多项式xy|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn=_____．
【答案】0或8
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解：∵多项式xy|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，
∴n−2=0，1+|m−n|=3，
∴n=2，|m−n|=2，
∴m−n=2或n−m=2，
∴m=4或m=0，
∴mn=0或8．
故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
5．（2022·河北·中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【答案】（1）25+2a2；−16−6a；（2）4a2－12a+9；和不能为负数，理由见解析．
【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，B区就会自动减去3a，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．
（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．
【详解】解：（1）A区显示结果为：25+a2+a2=25+2a2 ，
B区显示结果为：﹣16－3a－3a=﹣16－6a；
（2）初始状态按4次后A显示为：25+a2+a2+a2+a2=25+4a2
B显示为：﹣16－3a－3a－3a－3a=﹣16－12a
∴A+B=25+4a2+(-16−12a)
=4a2－12a+9
=(2a－3)2
∵(2a－3)2≥0恒成立，
∴和不能为负数．
【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．
【考点2 整式的加减运算】
6.（2022·全国·七年级课时练习）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，941．理由见解析．
【分析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”定义逐一判断即可．
【详解】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为所学数学问题是解题关键．
7．（2022·河北·中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：(□x2+6x+8)−(6x+5x2+2)，发现系数“□”印刷不清楚．
(1)他把“□”猜成3，请你化简：(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？
【答案】(1)–2x2+6；(2)5．
【分析】(1)原式去括号、合并同类项即可得；
(2)设“□”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．
【详解】(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)
=3x2+6x+8-6x-5x2-2
=-2x2+6；
(2)设“□”是a，
则原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)
=ax2+6x+8-6x-5x2-2
=(a-5)x2+6，
∵标准答案的结果是常数，
∴a-5=0，
解得：a=5．
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
8．（2022·河北·中考真题）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
－3x＝x2－5x＋1．
（1）求所捂的二次三项式：
（2）若x=6+1，求所捂二次三项式的值．
【答案】（1）x2－2x＋1；（2）6
【分析】（1）将手掌捂住部分看作被减式，3x看作减式，x2－5x＋1为差式．则被减式=减式+差式，从而得到答案；
（2）直接代入计算，但这样较麻烦，不如将（1）中所得结果分解因式，再代入求值．
【详解】解：（1）设所捂的二次三项式为A，则A＝x2－5x＋1＋3x ＝x2－2x＋1．
（2）若x=6+1，A＝（x－1）2=(6+1−1)2＝6．
【点睛】本题考查了整式的加减、完全平方式和二次根式的化简计算，能正确列出算式是解题的关键．
9．（2022·江苏扬州·中考真题）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)= ，d(10-2)= ；
(2)劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d(mn)=d(m)-d(n)．
根据运算性质，填空：da3da= (a为正数)，若d(2)=0.3010，则d(4)= ，d(5)= ，d(0.08)= ；
(3)如表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
【答案】(1)1，﹣2
(2)3；0.6020；0.6990；﹣1.097
(3)详见解析
【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果；
（2）根据题中的新运算性质计算即可得到结果；
（3）利用反证法，通过9=32，27=33，可以判断d(3)正确，同理据5=10÷2，假设d(5)正确，可以求得d(2)的值，即可通过d(8)，d(6)正确．再运用正确的求出d(1.5)和d(12)的值．
(1)
根据定义可知，10b=n与b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系，d(10)和d(10﹣2)就是指10的指数，
所以d(10)=1，d(10﹣2)=－2．
故答案为：1，﹣2；
(2)
∵d(a3)=d(a×a×a)=d(a)+d(a)+d(a)=3d(a)，
∴da3da=3dada=3；
∵d(2)=0.3010，
∴d(4)=2 d(2)= 0.6020，
d5=d102=d10−d2=1−d2=1−0.3010=0.6990，
d(0.08)= d(10-2×23)=-2＋3d(2)=-2+3×0.3010=﹣1.097，
故答案为：3，0.6020，0.6990，﹣1.097；
(3)
应用反证法：
若d3=2a−b，则d9=d3×3=2d3=4a−2b，d27=3d3=6a−3b，
∴若d3≠2a−b，表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d3=2a−b，d9=4a−2b，d27=6a−3b；
若d5=a+c，则d2=d105=d10−d5=1−a+c=1−a−c，
∴d8=3d2=3−3a−3c，d6=d2+d3=1+a−b−c．
∴若d5≠a+c，表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d5=a+c，d8=3−3a−3c，d6=1+a−b−c．
∴表中只有d(1.5)和d(12)的值是错误的，应纠正为：
d1.5=d3+d5−1=3a−b+c−1，d12=d3+2d2=2−b−2c．
【点睛】本题考查整式的运算，理解“劳格数”的意义，掌握“劳格数”的性质是得出正确答案的前提．
10．（2022·河北邢台·模拟预测）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关．
（1）求m、n的值；
（2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值．
【答案】（1）n＝2，m＝﹣1；（2）-36
【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则计算得出答案,注意整体思想及添括号与去括号法则；
（2）先去小括号，再去中括号，再利用整式的加减运算法则化简进而得出答案．
【详解】解：（1）∵A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关，
∴2A﹣B＝2（x2﹣mx+2）﹣（nx2+2x﹣1）
＝2x2﹣2mx+4﹣nx2﹣2x+1
＝（2﹣n）x2﹣（2m+2）x+5，
∴2﹣n＝0，2m+2＝0，
解得：n＝2，m＝﹣1；
（2）﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]
＝﹣3m2n+6mn2﹣m2n﹣2mn2+4m2n+5mn2
＝9mn2，
当n＝2，m＝﹣1时，
原式＝9×（﹣1）×22＝﹣36．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【考点3 幂的运算】
11．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．(a2b)2=a2b2B．a6÷a2=a3C．(3xy2)2=6x2y4D．(−m)7÷(−m)2=−m5
【答案】D
【详解】A．积的乘方等于乘方的积，故A错误，不符合题意；
B．同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误，不符合题意；
C．积的乘方等于乘方的积，故C错误，不符合题意；
D．同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确，符合题意；
故选D．
12．（2022·山东淄博·中考真题）计算(−2a3b)2−3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
【答案】C
【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【详解】解：原式=4a6b2−3a6b2=a6b2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则．
13．（2022·广东江门·一模）已知xm=3，xn=2，那么x2m+3n=（ ）
A．17B．54C．72D．81
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：∵xm=3，xn=2，
∴x2m+3n= xm2⋅xn3=32×23=9×8=72,
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方是解题的关键．
14．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知4a=3b，12a=27，则a+b=（ ）
A．13B．12C．2D．3
【答案】D
【分析】根据积的乘方的逆用可求出3a⋅4a=27，再结合题意可得出3a⋅3b=27．即可由同底数幂的乘法的逆用得出3a+b=33，从而求出结果．
【详解】∵12a=27，
∴(3×4)a=27，
∴3a⋅4a=27．
∵4a=3b，
∵3a⋅3b=27，
∴3a+b=33，
∴a+b=3，
故选D．
【点睛】本题考查积的乘方的逆用和同底数幂的乘法的逆用．掌握积的乘方和同底数幂的乘法的逆用法则是解题关键．
15．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8B．4C．22D．2
【答案】C
【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m−4n=3m÷9n2即可解答．
【详解】∵32m−4n=32m−2n=3m−2n2=3m÷9n2，
依题意得：4x2=2，x>0．
∴4x=2，
∴x=22，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．
【考点4 整式乘法公式的运用】
16．（2022·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 _____．
【答案】3
【分析】观察已知和所求可知，4m2﹣n2=(2m+n)(2m﹣n)，将代数式的值代入即可得出结论．
【详解】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2=(2m+n)(2m﹣n)=3×1=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
17．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）已知x，y为实数，且满足x2−xy+4y2=4，记u=x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝________．
【答案】13615
【分析】联立已知条件，将u转化为2xy+4，根据非负数的性质确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得解．
【详解】解：∵x2−xy+4y2=4①u=x2+xy+4y2②，
∴②－①，得2xy=u-4，即u=2xy+4，把①两边加5xy，得（x+2y）2=4+5xy⩾0，
解得：xy⩾−45，
把①两边减3xy，得（x-2y）2=4-3xy⩾0，
解得：xy≤43
∴−85+4≤u≤2×43+4，
解得125≤u≤203，
∴M=203,m=125，
∴M+m=203+125=13615，
故答案为：13615．
【点睛】本题考查了加减消元法，完全平方公式的应用，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．
18．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）已知a、b、c均为实数，且a+b=4，2c2−ab=43c−10，则abc=______．
【答案】43
【分析】先变形得到a+b=4，ab=2c2-43c+10，再根据根与系数的关系，a、b可看作是方程x2-4x+2c2-43c+10=0的两实数解，配方后可得（x-2）2+2（c-3）2=0，得到x=2，c=3，然后计算abc的值即可；
【详解】∵a+b=4，ab=2c2-43c+10
∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-43c+10=0的两实数解
∴（x-2）2+2（c-3）2=0
∴x-2=0或c-3=0
解得x=2，c=3
∴ab=2×3-43×3+10=4
∴abc=4×3=43
故答案为：43．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．学会观察算式形式，正确写出一元二次方程是解决本题的关键．
19．（2022·四川成都·二模）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．
【答案】264
【分析】在原式前面乘以（2﹣1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可．
【详解】原式＝2−12+122+1···232+1+1，
＝22−122+1···232+1+1，
＝24−124+1···232+1+1，
＝264﹣1+1，
＝264；
故本题答案为264．
【点睛】此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
20．（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足m+n=3，m2n+mn2=−30．
（1）若m>n，则m−n=_______；
（2）若n+p=−5，则代数式m2p−n2p+m3−mn2的值是______________．
【答案】 7 42或252##252或42
【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出mn=−10，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；
（2）利用（1）中结论得出m=5n=−2或m=−2n=5，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可．
【详解】解：（1）∵m+n=3，
∴m2n+mn2=mnm+n=−30，
∴mn=−10，
∴(m−n)2=(m+n)2−4mn=9−−40=49，
∴m−n=±7，
∵m>n，
∴m−n>0，
∴m−n=7；
（2）m2p−n2p+m3−mn2
=(m2−n2)p+m(m2−n2)
=(m2−n2)(p+m)
=(m+n)(m−n)(p+m)，
由（1）得m+n=3m−n=7或m+n=3m−n=−7
解得：m=5n=−2或m=−2n=5
当m=5，n=−2时，
∵n+p=−5，
∴p=−3，
∴m+p=2，
∴原式=(5−2)×(5+2)×2
=42；
当m=−2，n=5时，
∵n+p=−5，
∴p=−10，
∴m+p=−12，
∴原式=(−2+5)×(−2−5)×(−12)
=252；
∴代数式的值为42或252；
故答案为：①7；②42或252．
【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键．
【考点5 整式的混合运算】
21．（2023·河北·九年级专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为___．
【答案】 > 1009
【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可；
（2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值．
【详解】解：（1）∵S甲＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7，
S乙＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，
∴S甲﹣S乙＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2，
故答案为：＞；
（2）由（1）得|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1，
∵2m﹣1＜n≤2021的整数n有且只有4个，
∴这四个整数解为2021，2020，2019，2018，
∴2017≤2m﹣1＜2018，
解得：1009≤m＜1009.5，
∵m为正整数，
∴m＝1009，
故答案为：1009．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则以及一元一次不等式的应用，能够作差比较大小是解题的关键．
22．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：(x−y)(2x−y)−(x−y)2−x2，其中x=2023−1，y=2023+1．
【答案】−xy，−2022
【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化简，然后将x=2023−1，y=2023+1代入，再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式＝2x2−xy−2xy+y2−(x2−2xy+y2)−x2
＝2x2−xy−2xy+y2−x2+2xy−y2−x2
＝−xy，
当x=2023−1，y=2023+1时，
原式＝−(2023−1)×(2023+1)
＝−(2023)2−12
＝−(2023−1)
＝−2022．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则以及完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．
23．（2022·广西·梧州市第一中学三模）先化简，再求值：（3a+1）（2a-3）-（6a-5）•（a-4），其中a=-2．
【答案】22a-23，-67
【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：（3a+1）（2a－3）－（6a－5）•（a－4）
=6a2－9a+2a－3－（6a2－24a－5a+20）
=6a2－9a+2a－3-6a2+24a+5a－20
=22a－23
当a=－2时，原式=22×（－2）－23=－67．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算及其求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．
24．（2022·河北·唐山市路北区教育局中教研二模）在化简3m2n+mn−4m2n−mn◆2mn题目中：◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．
（1）若◆表示－，请化简3m2n+mn−4m2n−mn−2mn
（2）当m=−2，n=1时，3m2n+mn−4m2n−mn◆2mn的值为12，请推算出◆所表示的符号．
【答案】（1）−m2n+5mn；（2）◆表示÷
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先把m=−2，n=1，再根据计算结果推断即可．
【详解】解：（1）3m2n+mn−4m2n−mn−2mn
=3m2n+3mn−4m2n+4mn−2mn
=−m2n+5mn
（2）由题意得，34−2−44+2◆−4=12
即6−24◆−4=12
−24◆−4=6
所以◆表示÷．
【点晴】本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．
25．（2022·广西河池·模拟预测）先化简，再求值：−x−2yx−2y+2x3−4x2y÷2x，其中x=−2，y=1．
【答案】4y2−2xy，8
【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x与y的值代入计算可得．
【详解】解：原式=(−2y)2−x2+x2−2xy
=4y2−x2+x2−2xy
=4y2−2xy，
当x=−2，y=1时，
原式=4×12−2×−2×1
=4+4
=8．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算、化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
【考点6 完全平方公式、平方差公式的几何背景】
26．（2022·甘肃·兰州树人中学七年级期中）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2
【答案】B
【分析】设AB＝x，AD＝y，根据题意列出方程x2+y2＝17，2（x+y）＝10，利用完全平方公式即可求出xy的值．
【详解】解：设AB＝x，AD＝y，
∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形面积、矩形面积和完全平方公式，恰当的设未知数，建立方程，设而不求，只求xy的值是解题关键．
27．（2022·福建省厦门第六中学二模）如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（ ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
【答案】D
【分析】根据阴影部分的面积可以用大正方形的面积减小正方形的面积，也可以用4个长方形的面积之和，从而得出要验证的公式．
【详解】解：阴影部分的面积可表示为：a+b2−a−b2，
阴影部分的面积也可以表示为：4ab，
∴由此能验证的式子为a+b2−a−b2=4ab．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，阴影部分可以割成四个长方形的面积和，补成大正方形的面积减去中间小正方形的面积，解此类题目关键在于仔细分析图形，用不同的方法表示出阴影部分的面积．
28．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2−2x+1=(x−1)2 B．x2−1=(x+1)(x−1) C．x2+2x+1=(x+1)2D．x2−x=x(x−1)
【答案】B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【详解】解：由图可知，
图1的面积为：x2-12，
图2的面积为：（x+1）（x-1），
所以x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
29．（2022·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________.
【答案】10
【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第n个图形需要(2n−1)2个正方形，即可得出结论．
【详解】第1个图形是一个小正方形；
第2个图形由9=(2×2−1)2个小正方形拼成；
第3个图形由25=(2×3−1)2个小正方形拼成，
……
拼成第n−1个图形需要(2n−3)2个正方形，
拼成第n个图形需要(2n−1)2个正方形，
(2n−1)2 −(2n−3)2=72，
解得：n=10；
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键．
30．（2022·重庆·一模）阅读理解：
若x满足9−xx−4=4，求(4−x)2+(x−9)2的值．
解：设9−x=a，x−4=b，
则9−xx−4=ab=4，a+b=9−x+x−4=5，
∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=17．
迁移应用：
(1)若x满足(2020−x)2+(x−2022)2=10，求2020−xx−2022的值；
(2)如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE=k，BG=k+1(k为常数，且k>0)，长方形AEFG的面积是2116，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
【答案】(1)-3
(2)52
【分析】（1）根据题意设2020−x=a，x−2022=b，可得a2+b2=10，a+b=(2020−x)+(x−2022)=−2，根据(a+b)2=a2+2ab+b2，代入计算即可得出答案；
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE=x−k，AG=x−k−1，可得AE−AG=1，AE⋅AG=2116；利用题干中的方法可求得AE+AG，利用阴影部分的面积等于正方形GFIH与正方形AGJK的面积之差即可求得结论．
（1）
解：设a=2020−x，b=x−2022，则：
a+b=−2，a2+b2=10．
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴10+2ab=(−2)2．
∴ab=−3．
∴2020−xx−2022=−3．
（2）
解：设正方形ABCD的边长为x，则AE=x−k，AG=x−k−1，
∴AE−AG=1．
∵长方形AEFG的面积是2116，
∴AE⋅AG=2116．
∵(AE−AG)2=AE2−2AE⋅AG+AG2，
∴AE2+AG2=1+218=298．
∵(AE+AG)2=AE2+2AE⋅AG+AG2，
∴(AE+AG)2=298+218，
∴AE+AG=52．
∴S阴影部分=S正方形GFIH−S正方形AGJK
=AE2−AG2
=AE+AGAE−AG
=52×1
=52．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，本题是阅读型题目，利用换元的方法解答是解题的关键．
【考点7 因式分解】
31．（2022·湖北黄冈·三模）已知a+b＝12，ab＝﹣38，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．
【答案】ab（a+b）2，−332
【分析】先提公因式，再根据完全平方公式分解，最后将式子的值代入计算．
【详解】解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，
∵a+b＝12，ab＝﹣38，
∴原式＝﹣38×（12）2＝−332．
【点睛】此题考查了多项式因式分解及求值，正确掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．
32．（2022·湖南张家界·二模）阅读材料：我们知道，两数之积大于0，那么这两数同号，即ab>0，则a>0b>0或a<0b<0；两数之积小于0，那么这两数异号，即ab<0，则a>0b>0或a<0b<0．解决问题：
(1)分解因式：(x+1)2−4=_________；
(2)解不等式：(x+1)2−4<0．
【答案】(1)(x+3)(x−1)
(2)−3
（2）根据“同号得正，异号得负”列出不等式组求解即可．
(1)
x+12−4
=（x+1）2-22
=[(x+1)+2][(x+1)−2]
=(x+1+2)(x+1−2)
=(x+3)(x−1)
故答案为：(x+3)(x−1)
(2)
(x+1)2−4＜0，
(x+1）2−22＜0
(x+1+2)(x+1−2)＜0
(x+3)(x−1)＜0
则有①x+3＜0x−1＞0，
解得：x＜−3x＞1，则不等式组无解；
②x+3＞0x−1＜0，
解得：x＞−3x＜1，则不等式组的解集是：−3＜x＜1，
故不等式组的解集为：−3＜x＜1．
【点睛】本题主要考查因式分解-运用公式法，不等式组的解法，解答的关键是熟练运用公式法进行因式分解．
33．（2022·广东广州·二模）已知M=k−b2−k+bk−b．
(1)化简M；
(2)若一次函数y=kx+b，当x=−3时，函数图象与x轴相交；当y=3时，函数图象与y轴相交．
求M的值．
【答案】(1)−2bk−b；
(2)12；
【分析】（1）提取公因式再合并同类项即可；
（2）由一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求得k、b，再求M即可；
（1）
解：M=k−b2−k+bk−b
=k−b−k+bk−b
=−2bk−b
（2）
解：由题意得x=−3时y=0，y=3时x=0，
代入y=kx+b可得0=−3k+b3=b，解得：k=1b=3，
k，b代入M可得：
M=-2×3×（-2）=12；
【点睛】本题考查了因式分解，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题关键．
34．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）
(1)−1−π−20220+12−1−2tan45°
(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：3a+b2−a+3b2
解：原式=9a2+6ab+b2−a2+6ab+9b2 第一步
=8a2−8b2 第二步
=8a2−b2 第三步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)0
(2) 完全平方；提公因式 因式分解不彻底（或a2−b2还可以进行因式分解） 8(a+b)(a−b)
【分析】（1）先根据绝对值的意义，零指数幂、负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值进行化简，然后再进行运算即可；
（2）按照给出的解答过程，进行分析解答即可．
（1）
解：原式=1−1+2−2×1 =0．
（2）
任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；
任务二：小明因式分解的结果不彻底，a2−b2还可以进行因式分解；
任务三：原式=[(3a+b)+(a+3b)][(3a+b)−(a+3b)]
=(4a+4b)(2a−2b)
=8(a+b)(a−b)
故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a2−b2还可以进行因式分解）；任务三：8(a+b)(a−b)．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握实数混合运算法则，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．
35．（2022·河北保定·一模）n是正整数．
(1)请用n表示两个连续的奇数为______、______．
(2)这两个连续奇数的平方差是8的倍数吗？给出理由．
【答案】(1)2n＋1；2n－1
(2)是；理由见解析
【分析】（1）直接用代数式表示连续两个奇数即可；
（2）设两个连续奇数是2n+1和2n-1（n为整数），得出（2n+1）2-（2n-1）2=4n×2=8n，即可得出结论．
(1)
两个连续的奇数之间差2，故答案：2n＋1；2n－1；
(2)
∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1) ＝8n，n是正整数，8n是8的倍数．
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数.
【点睛】本题考查了平方差公式，有理数的混合运算等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
【考点8 利用添项、拆项进行因式分解】
36．（2022·广西百色·二模）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法： x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．仔细阅读以上内容，解决问题：已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，则△ABC的周长______．
【答案】7
【分析】根据拆项法将多项式变形为完全平方式的性质，利用平方的非负性求出a、b、c的值即可．
【详解】解：a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，
a2−4a+4+b2−4b+4+c2−6c+9=0，
(a−2)2+(b−2)2+(c−3)2=0，
∴a−2=0,b−2=0,c−3=0，
解得a=2,b=2,c=3，
∴△ABC的周长为a+b+c=2+2+3=7，
故答案为：7．
【点睛】此题考查多项式分解因式的方法，掌握分解因式的方法及能依据多项式的特点选择恰当的解法是解题的关键．
37．（2022·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a2−1可以用如下方法分解因式：
①a2−1=a2−a+a−1=aa−1+a−1=a−1a+1；
又比如多项式a3−1可以这样分解：
②a3−1=a3−a2+a2−a+a−1=a2a−1+aa−1+a−1=a−1a2+a+1；
仿照以上方法，分解多项式a5−1的结果是______．
【答案】a−1a4+a3+a2+a+1
【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可．
【详解】解：a5−1
=a5−a4+a4−a3+a3−a2+a2−a+a−1
=a4a−1+a3a−1+a2a−1+aa−1+a−1
=a−1a4+a3+a2+a+1，
故答案为：a−1a4+a3+a2+a+1
【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想．
38．（2022·上海·七年级单元测试）阅读理解：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax−3a2＝x2+2ax+a2−a2−3a2＝(x+a)2−4a2＝(x+a)2−(2a)2＝(x+3a)(x−a)，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
请利用“配方法”进行因式分解：
(1)x2−8x+15；
(2)a4+a2b2+b4．
【答案】(1)(x−3)(x−5)
(2)(a2+b2+ab)(a2+b2−ab)
【分析】（1）（2）都要如题中举例，先对整式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解，注意（2）中配方时幂的指数要正确．
（1）
原式＝x2−8x+16−16+15a＝(x−4)2−1＝(x−4+1)(x−4−1)＝(x−3)(x−5)；
（2）
a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4−a2b2＝(a2+b2)2−a2b2＝(a2+b2+ab)(a2+b2−ab)．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运用．
39．（2022·甘肃·甘州中学八年级期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成x+a2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2
＝x+a2−2a2
＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7；
②a4+a2b2+b4．
(2)若a+b＝5，ab＝6，求：
①a2+b2；
②a4+b4的值．
【答案】(1)①（a+1）（a﹣7）②(a2+b2−ab)(a2+b2+ab)
(2)①13②97
【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子分解因式；
（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（1）
解：利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7＝a2﹣6a+9﹣9﹣7
＝(a−3)2﹣16
＝（a﹣3+4）（a﹣3﹣4）
＝（a+1）（a﹣7）；
②a4+a2b2+b4=a4+a2b2+b4+a2b2−a2b2
＝a4+2a2b2+b4−a2b2
＝(a2+b2)2−a2b2
＝(a2+b2−ab)(a2+b2+ab)．
（2）
解：①a2+b2=(a+b)2−2ab，
将a+b＝5，ab＝6代入得：
原式＝52−2×6＝25﹣12＝13；
②a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2
将a2+b2＝13，ab＝6代入得：
原式＝132−2×62
＝97．
【点睛】本题考查了配方法，因式分解和完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
40．（2022·江苏·九年级课时练习）因式定理：对于多项式f(x)，若f(a)=0，则(x−a)是f(x)的一个因式，并且可以通过添减单项式从f(x)中分离出来．已知f(x) =x3−5x2+(k+4)x−k．
(1)填空：当x=1时，f(1)=0，所以(x−1)是f(x)的一个因式．于是f(x) =x3−x2−4x2+4x+kx−k =(x−1)×g(x)．则g(x)=________________；
(2)已知关于x的方程f(x)=0的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．
【答案】(1)x2−4x+k
(2)4
【分析】（1）f（x）两项结合后，提取公因式，再提取x−1变形，计算即可求出g（x）；
（2）由题易得1是方程f(x)=0的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程g(x)=x2−4x+k=0的根，代入求得k的值，再求出x的值即为三角形的三边长，经验证不满足三角形的三边关系；若1为等腰三角形的底边长，则方程x2−4x+k=0有两个相等实根，得出△=0，进而求出x的值，得到三角形的三边长，经验证满足三角形的三边关系．
（1）解：∵f（x）＝x³−x²−4x²＋4x＋kx−k＝x²（x−1）−4x（x−1）＋k（x−1）＝（x−1）（x²−4x＋k）＝（x−1）g（x），∴g（x）＝x²−4x＋k．
（2）∵f(x)=(x−1)×g(x)=0，∴1是方程f(x)=0的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程g(x)=x2−4x+k=0的根．把1代入x2−4x+k=0，得k=3．∵方程x2−4x+3=0的两根为1和3，∴三角形的三边为1，1，3．∵1+1＜3，不成立；若1为等腰三角形的底边长，则方程x2−4x+k=0有两个相等实根．由△=(−4)2−4k=0，得k=4．∵方程x2−4x+4=0的两个根为2，2，∴等腰三角形的三边为1，2，2．∵1+2＞2，成立．综上所述，实数k=4．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，方程两个相同解的情况下，Δ＝0这一条件，综合应用知识解题．
【考点9 因式分解的应用】
41．（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）如图是一个长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为14、面积为10，则a2b+ab2的值为_____．
【答案】70
【分析】直接利用矩形的性质结合因式分解将原式变形得出答案．
【详解】解：∵长宽分别为a，b的长方形的周长为14，面积为10，
∴a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=aba+b=10×7=70．
故答案为70．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
42．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校模拟预测）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式x3﹣4xy2，取x＝20，y＝5时，写出一个用上述方法产生的密码__．
【答案】201030（答案不唯一）
【分析】对多项式先进行因式分解，再代入求出每个因式的值，最后对因式的值进行排列组合即可得出答案．
【详解】解：x3－4xy2＝x(x2－4y2)，
＝x(x－2y)( x＋2y)，
当x＝20，y＝5时，
x=20，
x－2y=10，
x＋2y=30，
故密码为：201030．
故答案为：201030（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，涉及了提公因式法及平方差公式分解因式，属于阅读型的新定义题，解题的关键是根据阅读材料得出取密码的方法．
43．（2022·河北唐山·二模）如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x＋b）2为关联多项式，则b＝___；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x2﹣6x＋2不含常数项时，则A为____．
【答案】 ±5 -2x-2或-x-2
【分析】先将x2-25因式分解，再根据关联多项式的定义分情况求出b；再分A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k两种情况，根据不含常数项．
【详解】解：①∵x2-25=（x+5）（x-5），
∴x2-25的公因式为x+5、x-5．
∴若x2-25与（x+b）2为关联多形式，则x+b=x+5或x+b=x-5．
当x+b=x+5时，b=5．
当x+b=x-5时，b=-5．
综上：b=±5．
②∵（x+1）（x+2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，
∴A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k，k为整数．
当A=k（x+1）=kx+k（k为整数）时，若A+x2-6x+2不含常数项，则k+2=0，即k=-2．
∴A=-2（x+1）=-2x-2．
当A=k（x+2）=kx+2k（k为整数）时，若A+x2-6x+2不含常数项，则2k+2=0，即k=-1．
∴A=-x-2．
综上，A=-2x-2或A=-x-2．
故答案为：±5，-2x-2或-x-2．
【点睛】本题主要考查多项式、公因式，熟练掌握多项式、公因式的意义是解决本题的关键．
44．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示图中S3；
(2)求长方体的表面积．
【答案】(1)S3＝4x+x2
(2)-2x2+16x+32
【分析】（1）分别表示长方体的长和宽，可得S3；
（2）根据表面积公式代入可得答案．
（1）
∵S2＝4x−x2＝x(4−x)，
∴长方体的宽=4-x,
∵S1＝16−x2＝(4−x)(4+x)
∴长方体的长=4+x,
∴S3＝x(4+x)＝4x+x2；
（2）
长方体的表面积=2（4x+x2）+2（16-x2）+2（4x-x2）
=8x+2x2+32-2x2+8x-2x2
=-2x2+16x+32．
【点睛】本题考查了长方体，整式的加减，以及因式分解的应用,掌握长方形的面积=长×宽是解题的关键．
45．（2022·安徽·合肥市五十中学新校一模）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
【答案】△ABC是直角三角形，理由见解析
【分析】根据a+43=b+32=c+84，可以设a+43=b+32=c+84=k，然后根据a+b+c=12，可以求得k的值，进而求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状．
【详解】解：令a+43=b+32=c+84=k，
∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，
∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8，
又∵a+b+c=12，
∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，
∴k=3，
∴a=5，b=3，c=4，
∵32+42=52，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答此类问题的关键是明确题意，求出a、b、c的值．
【考点10 图形或数字变化类的规律探究】
46．（2022·重庆南开中学三模）有n个依次排列的整式：第1项是x+1，用第1项乘以x−1，所得之积记为a1，将第1项加上a1+1得到第2项，再将第2项乘以x−1得到a2，将第2项加a2+1得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为x5+x4+x3+x2+x+1；②a5=x6−1；③若第2021项的值为0，则x2022=1；④当x=−2时，第k项的值为1−2k+13．以上结论正确的个数为（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先分别求出前三项以及a1，a2，a3从而得出规律xn+xn−1+⋯+x2+x+1，an=xn+1−1，据此求解即可．
【详解】解：第一项为x+1，a1=x+1x−1=x2−1，
∴第二项为x+1+a1+1=x2+x+1，a2=x−1x2+x+1=x3−1，
∴第三项为x2+x+1+a3+1=x3+x2+x+1，a3=x−1x3+x2+x+1=x4−1，
∴可以推出第n项为xn+xn−1+⋯+x2+x+1，an=xn+1−1，
∴第5项为x5+x4+x3+x2+x+1，a5=x6−1，故①②正确；
∵第2021项为x2021+x2020+⋯+x2+x+1，a2021=x−1x2021+x2020+⋯+x2+x+1=x2022−1，
∴x2021+x2020+⋯+x2+x+1=x2022−1x−1=0，
∴x2022−1=0即x2022=1，故③正确；
同理可得第k项为xk+1−1x−1，
∴当x=−2时，第k项的值为−2k+1−1−2−1=1−−2k+13，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式的规律，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．
47．（2022·广东·二模）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的．称为杨辉三角形．a+bn的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的每一项，如：a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3．若t是a−b2023展开式中ab2022的系数，则t的值为（ ）
A．2022B．−2022C．2023D．−2023
【答案】C
【分析】根据a+bn的展开式规律，写出a−b2023的展开式，根据展开式即可写出ab2022的系数t．
【详解】∵a−b2023=a2023−2023⋅a2022b+⋯+2023ab2022−b2023
∴展开式中倒数第二项为2023⋅ab2022
∴a−b2023展开式中含ab2022项的系数是2023
故选：C
【点睛】本题是材料阅读题，考查了多项式的乘法，读懂材料然后写出a−b2023的展开式是关键．
48．（2022·重庆渝北·九年级二模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
【答案】C
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
49．（2022·黑龙江牡丹江·二模）观察下面图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中“·”的个数是（ ）
A．128B．162C．200D．226
【答案】C
【分析】观察图形可知前4个图形中分别有：2，8，18，32个“·”，所以可得规律为：第n个图形中共有2n2个“·”，据此即可解答．
【详解】解：由图形可知：
n=1时，“·”的个数为：2×12=2，
n=2时，“·”的个数为：2×22=8，
n=3时，“·”的个数为：2×32=18，
n=4时，“·”的个数为：2×42=32，
……
所以第n个图中，“·”的个数为：2n2个，
故第10个图形中“·”的个数为：2×102=200，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，关键在观察、分析已知图形和数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
50．（2022·重庆·模拟预测）某数学兴趣小组的同学对a1，a2，a3，a4，a5这5个正整数进行规律探索，发现它们同时满足以下3个条件：（1）a1，a2，a3是三个连续偶数，且a1
②当a2=12时，5个正整数满足上述3个条件；
③当a2满足“a2是4整倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；
④当5个正整数满足上述3个条件时，a4=6k（k为正整数）；
⑤当5个正整数满足上述3个条件时，a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10n（n是正整数）．
以上结论正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据题意求得3a2=2a5−2，代入a2=8，a2=12，即可判断①②，根据3×4k=2a5−2，即可判断③，根据a4=6k，得出a4是偶数，即可判断④，求得平均数即可判断⑤
【详解】解：∵a1，a2，a3是三个连续偶数，且a1
∵a4，a5是两个连续奇数，且a4
∴a4+a5=2a5−2．
∵a1+a2+a3=a4+a5，
∴3a2=2a5−2．当a2=8时，
3×8=2a5−2，
∴a5=13，满足条件，故①错误．
当a2=12时，3×12=2a5−2，
∴a5=19，满足条件，故②正确．
∵偶数a2是4的倍数，
∴设a2=4k（k为正整数）．
∵3a2=2a5−2，即3×4k=2a5−2，
∴a5=6k+1，满足条件，故③正确．
当a4=6k（k为正整数）时，a4是偶数，这与题意矛盾，故④错误．
当5个正整数满足所述3个条件时，偶数a2是4的倍数，
∴设a2=4n（n为正整数），则a5=6n+1，
∴a1+a2+a3=3a2=12n，a4+a5=2a5−2=12n，
∴a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是12n3+12n2=10n（n是正整数），故⑤正确．
故选B．
【点睛】本题考查了数字类规律题，求平均数，整除，根据题意得出个数之间的关系是解题的关键． x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d(x)
3a−b+c
2a−b
a+c
1+a−b−c
3−3a−3c
4a−2b
3−b−2c
6a−3b
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