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适用于新高考新教材备战2024届高考数学一轮总复习第9章平面解析几何课时规范练68解析几何减少运算量的常用技巧课件新人教A版
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解析 设F1是双曲线的左焦点.如图,根据双曲线的对称性知OA=OB,所以点O是以AB为直径的圆的圆心.因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F,则圆的方程为x2+y2=c2,圆也过左焦点F1,所以AB与F1F相等且互相平分,所以四边形AF1BF为矩形,所以|AF|=|BF1|.设|AF|=m,|BF|=n,则|AF|-|BF| =|AF|-|AF1|=m-n=2a,所以m2+n2-2mn=4a2.因为AF⊥BF,所以
3.(2024·江西南昌模拟)已知直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,|AB|=8.(1)求p;(2)设抛物线C的焦点为F,过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E,G两点,求四边形AEBG的面积.
(2)由题意可得抛物线C的焦点为F(0,1),直线EG的方程为x+y-1=0.
设E(x1,y1),G(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2-(x1+x2)=6,则|EG|=y1+y2+p=8.
(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点N(2,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,求△AOB的面积S△AOB的最大值.
5.已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).(1)求过点P的弦AB所在直线的方程,使得弦AB的中点为P;(2)在(1)的前提下,如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C,D两点,证明:A,B,C,D四点共圆.
(2)证明 设直线CD的方程为x+y+m=0,则点P(1,2)在直线CD上,则m=-3,所以直线CD的方程为x+y-3=0.设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为Q(x0,y0).由
6.如图,已知焦点在x轴上的椭圆C的焦距为 ,点(2,-1)在椭圆C上.过坐标原点的直线交C于P,Q两点,其中点P在第一象限,PE垂直于x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.(1)求椭圆C的标准方程;(2)证明:△PQG是直角三角形.
(2)证明 设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为y=kx(k>0).设P(x1,y1),则Q(-x1,-y1),由题意知x1>0,y1>0.
(1)求C的离心率e;(2)过点F2的直线l与C交于M,N两点,若△F1MN面积的最大值为3,求C的方程.
解 (1)设椭圆C的半焦距为c,则F1(-c,0),F2(c,0),则直线PF2:x=c.
解析 设F1是双曲线的左焦点.如图,根据双曲线的对称性知OA=OB,所以点O是以AB为直径的圆的圆心.因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F,则圆的方程为x2+y2=c2,圆也过左焦点F1,所以AB与F1F相等且互相平分,所以四边形AF1BF为矩形,所以|AF|=|BF1|.设|AF|=m,|BF|=n,则|AF|-|BF| =|AF|-|AF1|=m-n=2a,所以m2+n2-2mn=4a2.因为AF⊥BF,所以
3.(2024·江西南昌模拟)已知直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,|AB|=8.(1)求p;(2)设抛物线C的焦点为F,过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E,G两点,求四边形AEBG的面积.
(2)由题意可得抛物线C的焦点为F(0,1),直线EG的方程为x+y-1=0.
设E(x1,y1),G(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2-(x1+x2)=6,则|EG|=y1+y2+p=8.
(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点N(2,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,求△AOB的面积S△AOB的最大值.
5.已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).(1)求过点P的弦AB所在直线的方程,使得弦AB的中点为P;(2)在(1)的前提下,如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C,D两点,证明:A,B,C,D四点共圆.
(2)证明 设直线CD的方程为x+y+m=0,则点P(1,2)在直线CD上,则m=-3,所以直线CD的方程为x+y-3=0.设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为Q(x0,y0).由
6.如图,已知焦点在x轴上的椭圆C的焦距为 ,点(2,-1)在椭圆C上.过坐标原点的直线交C于P,Q两点,其中点P在第一象限,PE垂直于x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.(1)求椭圆C的标准方程;(2)证明:△PQG是直角三角形.
(2)证明 设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为y=kx(k>0).设P(x1,y1),则Q(-x1,-y1),由题意知x1>0,y1>0.
(1)求C的离心率e;(2)过点F2的直线l与C交于M,N两点,若△F1MN面积的最大值为3,求C的方程.
解 (1)设椭圆C的半焦距为c,则F1(-c,0),F2(c,0),则直线PF2:x=c.
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