无锡市天一实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析）

这是一份无锡市天一实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．式子在实数范围有意义，则x的取值范围是（）
A．B．C．D．
3．将23700精确到千位并用科学记数法表示为（）
A．2.37×10B．2.4×10C．23.7×10D．24×10
4．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）
A．3，4，5B．，3，4C．6，8，10D．1，，3
5．如图，已知AB=CD，从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定的是（）
A．B．C．D．
6．若等腰三角形的一个外角是，则它底角的度数是（）
A．B．C．或D．
7．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC=70°，∠BAE=100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数是（）
A15°B．20°C．25°D．30°
8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（ ）
A．B．C．2D．1
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，菱形ABCD的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为（）
AB．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）
11．16的算术平方根是___________．
12．若|x+2|+=0，则yx的值为_____．
13．若等腰三角形的周长为12，其中一边长为2，则腰长为______．
14．如图，△ ABC中，D是BC上一点，若，且，则______．
15．如图，在△ ABC中，，，△DEF的周长是8，于F，于E，且点D是的中点，则______．
16．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝_____°．（点A，B，C，D，P是网格线交点）
17．如图，在△ ABC中，，，平分线与的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在、上，点A沿折叠后与点O重合，则______．
18．如图，中，，，，，，，P是直线AC上一点，把△ CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP=______．
三、解答题（本大题共9小题，共84分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．计算：
（1）；（2）．
20．求下列各式中x的值：
（1）；（2）．
21．（1）已知的算术平方根是2，的立方根是2，求a、b的值；
（2）已知一个正数x的平方根分别是和，求x的值．
22．如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝5，BD＝12，求DE的长．
23．如图，在四边形ABCD中，∥，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .
24．如图，△ ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
25．在△ ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ ABC（即△ ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）△ ABC的面积为______．
（2）若△DEF的三边、、长分别为，，，请在图2的正方形网格中画出相应的△ DEF，并求出△ DEF的面积为______．
（3）在△ ABC中，，、，以AB为边向△ ABC外作△ ABD（D与C在AB异侧），使△ ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为______．
26．如图，已知在Rt△ ABC中，∠ACB=90°AC=8，BC=8，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t=2秒时，求AP的长度；
（2）当△ ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？
27．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．
（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=45°，P为BC的中点，∠APD=90°．取AD中点Q，连接PQ．求证：PQ是△ APD的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取AP，DP的中点M，N，如图2．请在BC上找点E，F，使EM为△ APE的“周长平分线”，FN为△ DPF的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点E，F的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出EF的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．C
【解析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
A．不是轴对称图形，不符合题意，
B．不是轴对称图形，不符合题意，
C．是轴对称图形，符合题意，
D．不是轴对称图形，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．D
【解析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，计算即可．
【详解】由题意知：≥0，解得：，故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．
3．B
【解析】先用科学记数法表示，再看近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】23700=2.37×104≈2.4×104．故选B．
【点睛】考查了科学记数法与有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
4．D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．因为，所以能作为直角三角形三边长度，故本选项不符合题意；
B．因为，所以能作为直角三角形三边长度，故本选项不符合题意；
C．因为，所以能作为直角三角形三边长度，故本选项不符合题意；
D．因为，所以不能作为直角三角形三边长度，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】全等三角形的判定定理有，，，（直角三角形还有），看看是否符合定理，即可判断选项．
【详解】解：A、添加，
在和中，
，
∴，正确，故本选项不符合题意；
B、添加，
在和中，
，
∴，正确，故本选项不符合题意；
C、添加，
在和中，
，
∴，正确，故本选项不符合题意；
D、添加，
根据不能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，全等三角形的判定定理有，，，（直角三角形还有）．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．B
【解析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．
【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为，∴相邻角为，
∵三角形的底角不能为钝角，∴角为顶角，∴底角为：．故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
7．A
【解析】
【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，所以∠BAD=∠CAE，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和都等于180°，所以∠DFB=∠BAD．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，
又∠BAD=∠BAC-∠CAD，∠CAE=∠DAE-∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，
∵∠DAC=70°，∠BAE=100°，∴∠BAD=（∠BAE-∠DAC）=（100°-70°）=15°，
在△ABG和△FDG中，
∵∠B=∠D，∠AGB=∠FGD，∴∠DFB=∠BAD=15°．
故选：A．
【点睛】本题主要利用全等三角形对应角相等的性质．需注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
8．B
【解析】
【分析】由EF垂直平分AC可得AE=CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的长，继而根据三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，
∵EO是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，
设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，
即x2＝22+(4﹣x)2，
解得：x＝，
即CE的长为，
DE＝4﹣＝，
所以△DCE的面积＝××2＝，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
9．A
【解析】
【分析】解法一：过点F作FG⊥AB于点G，根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
解法二：过点E作EG⊥AC于G，先在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=4，再根据三角形面积求得CD=，在Rt△ADC中，由勾股定理，求得AD=，然后证△AGE≌△ADE(AAS)，得出AG=AD=，EG=ED，从而得CG=AC-AG=3-=，CE=CD-DE=CD-EG，设CE=x，则EG=-x，在Rt△CGE中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：解法一：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，
∵FC=FG，∴，
解得：FC=，即CE的长为．故选：A．
解法二：过点E作EG⊥AC于G，如图，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
，
∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∴CD=，
Rt△ADC中，由勾股定理，得
，
∵AF平分∠BAC，
∴∠GAF=∠DAF，
∵EG⊥AC，CD⊥AB，
∴∠AGE=∠ADE=90°，
∵AE=AE，
∴△AGE≌△ADE(AAS)，
∴AG=AD=，EG=ED，
∴CG=AC-AG=3-=，CE=CD-DE=CD-EG，
设CE=x，则EG=-x，
在Rt△CGE中，由勾股定理，得
，即，
解得：x=，即CE的长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，求EC的长.
【详解】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B
，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM=AE，
∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，
∴MB=2，∠HMB=60°，
∴HM=1，
∴AE'=2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB=∠MHB=90°，
∴∠CBE=90°，
在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，
∴EC=2，
故选B
【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）
11．4
【解析】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12．
【解析】
【分析】利用算术平方根和绝对值的非负性，求出x、y的值，然后即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了求代数式的值，以及二次根式和绝对值的非负性，解题的关键是正确求出x、y的值.
13．5
【解析】
【分析】要确定等腰三角形的另外两边长，可根据已知边的长，结合周长公式求解，由于长为2的边已知没有明确是腰还是底边，要分类进行讨论．
【详解】解：∵等腰三角形的周长为12，
∴当2为腰时，它的底长，，不能构成等腰三角形；
当2为底时，它的腰长，能构成等腰三角形，
即腰长为5．
故答案：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
14．##度
【解析】
【分析】根据等腰三角形性质得到，再根据三角形外角的性质和等腰三角形可求∠B的度数，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．4
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质以及勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴是的中线，，
∵D是的中点，，
∴，
设，
∴，
∵，点D是的中点，点F是的中点，
∴，，
∵的周长为8，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可知：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质．
16．45
【解析】
【分析】连接AE，PE，由图可知，∠EAB＝∠PCD，则∠PAB−∠PCD＝∠PAB−∠EAB＝∠PAE，然后根据勾股定理可以求得PA、PE、AE的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAE的形状，从而可以得到∠PAE的度数，然后即可得到∠PAB−∠PCD的度数．
【详解】解：连接AE，PE，
则∠EAB＝∠PCD，
故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，
设正方形网格的边长为a，
则PA＝，PE＝，AE＝，
∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，
∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°，
又∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，
∴∠PAB﹣∠PCD＝45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．##20度
【解析】
【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出，，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得．
【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，即，
∴，
∵，平分，
由三线合一的性质可得：垂直平分，
∴，即，
由折叠的性质可知：，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．
18．或10
【解析】
【分析】分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：当P点在E点左边时，如图1，
由折叠性质得，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，，
即；
当P点在E点右边时，如图2，
由折叠知，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，，
即；
综上，或10．
故答案为：或10．
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共84分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂和绝对值的意义，计算求值即可；
（2）根据立方根的定义，负整数指数幂和零指数幂，计算求值即可；
【小问1详解】
（1）
；
【小问2详解】
【点睛】本题考查了绝对值的意义，负整数指数幂和零指数幂运算，立方根的计算，解题的关键是掌握以上运算法则．
20．（1）或（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方根解题即可．
（2）利用立方根解题即可．
【小问1详解】
解：
或
【小问2详解】
解：
【点睛】本题主要考查利用平方根及立方根解方程，能够熟练运用平方根及立方根公式是解题关键．
21．（1）；（2）x的值为9．
【解析】
【分析】（1）利用算术平方根和立方根的概念即可求得a和b的值；
（2）根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数，列方程求解得到a的值，即可确定正数x的值．
【详解】解：（1）由题意可得：
，
解得：；
（2）由题意可得：
，
解得：，
∴x的值为9．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根，理解算术平方根，平方根，立方根的概念列出相应的方程是解题关键．
22．（1）证明见解析（2）13
【解析】
【分析】（1）先根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，再结合等腰直角三角形的性质即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得AE=BD，∠EAC=∠B=45°，即可证得△AED是直角三角形，再利用勾股定理即可求出DE的长．
【详解】（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA
∴∠ACE=∠BCD
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠B=45°
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
∴△EAD直角三角形
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
23．(1)作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】
【分析】（1）根据AB=2CD，AB=BE，可知BE＝CD，再根据BE//CD，可知连接CE，CE与BD的交点F即为BD的中点，连接AF，则AF即为△ABD的BD边上的中线；
（2）由（1）可知连接CE与BD交于点F，则F为BD的中点，根据三角形中位线定理可得EF//AD，EF=AD，则可得四边形ADFE要等腰梯形，连接AF，DE交于点O，根据等腰梯形的性质可推导得出OA=OD，再结合BA=BD可知直线BO是线段AD的垂直平分线，据此即可作出可得△ABD的AD边上的高 .
【详解】（1）如图AF是△ABD的BD边上的中线；
（2）如图AH是△ABD的AD边上的高.
【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺按要求作图，结合题意认真分析图形的成因是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：连接、，
点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
25．（1）；（2）图见解析，5；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用割补法求的面积即可；
（2）利用割补法求的面积即可；
（3）画出符合题意的图形，运用勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图：将填补成梯形，
则．
故答案为：
【小问2详解】
解：如图所示：
同（1）中的方法，将填补成梯形，
∴．
故答案为：5
【小问3详解】
解：∵，、，
∴，即是直角三角形，
∵D与C在异侧，
∴点D如图：
此时，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查网格问题，解题的关键是掌握割补法求三角形面积，以及勾股定理，结合图形进行求解．
26．（1）的长为；
（2）t的值为4或8或；
（3）当t为1或7时，能使．
【解析】
【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，得，，
在中，根据勾股定理，得．
答：的长为；
【小问2详解】
解：在中，，
根据勾股定理，得，
若，则，解得；
若，则，即，解得；
若，此时，点P与点C重合，则，解得．
综上，t的值为4或8或；
【小问3详解】
若P在C点的左侧，．
∵，，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
若P在C点的右侧，．；
∴，
解得：，（舍去）．
答：当t为1或7时，能使．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．
27．（1）②；（2）见详解；（3）①见详解；②
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及“周长平分线”的定义，即可判断；
（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，则∆ BMC是等腰直角三角形，再证明∆ABP≅∆DMP，进而即可得到结论；
（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，即可；②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，由等腰直角三角形的性质得AG，DH的值，再证明∆GAP≅∆HPD，设PE=m，PF=n，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）∵等腰三角形底边上的中线所在直线也是等腰三角形的对称轴，
∴腰三角形底边上的中线一定是所在等腰三角形的“周长平分线”，
故答案是：②；
（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，
∵，
∴∠BMC=90°，即∆ BMC是等腰直角三角形，
∵为的中点，
∴BP=CP=MP，MP⊥BC，∠PMC=∠PMB=45°，
又∵，
∴∠APB+∠APM=∠DPM+∠APM=90°，
∴∠APB=∠DPM，
在∆ABP和∆DMP中，
∵，
∴∆ABP≅∆DMP（ASA），
∴AP=DP，
∵点Q是AD中点，
∴是的“周长平分线”；
（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，则EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线，
∴点E，F即为所求；
②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
则∠AGB=∠AGP=∠DHC=∠DHP=90°，
∵∠B=∠C =45°，∠AGB=∠DHC=90°，
∴∆AGB和∆DHC都是等腰直角三角形，且AG=BG，DH=CH，
又∵，，
∴AG=BG==，DH=CH=，
∵∠GAP+∠APG=∠HPD+∠APG=90°，
∴∠GAP=∠HPD，
在∆GAP和∆HPD中，
∵，
∴∆GAP≅∆HPD，
∴AG=PH=1，PG=DH=2，
∵EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线，
∴PE=AE，PF=DF，
设PE=m，则AE=m，EG=PG-PE=2-m，设PF=n，则DF=n ，FH=PF-PH=n-1，EF=PE+PF=m+n，
在Rt∆DHF中，根据勾股定理得：，解得：n=，
在Rt∆AGE中，根据勾股定理得：，解得：m=，
∴EF=m+n=+=．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形以及“一线三垂直”模型，是解题的关键。