中考数学一轮复习满分突破考点题型专练专题29 点、直线、圆的位置关系（2份打包，原卷版+解析版）

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【知识要点】
第一种 点与圆的位置关系（设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d）
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC。
于是以点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是
一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
第二种 直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
第三种 圆与圆的位置关系
设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：
两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
三角形外接圆的概念：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
外接圆圆心和三角形位置关系：
1）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2）直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3）钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）。
三角形内切圆的概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
【扩展】三角形内心、外心、重心、垂心、旁心
考查题型一 点与圆的位置关系
典例1．（2021·上海·统考中考真题）如图，已知长方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点 SKIPIF 1 < 0 与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可
【详解】
∵圆A与圆B内切， SKIPIF 1 < 0 ，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵ SKIPIF 1 < 0 <5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中， SKIPIF 1 < 0
∴点C在圆A上
故选：C
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键
变式1-1．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 外时， SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先利用勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据“点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 外”可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可得出答案．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 外，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
变式1-2．（2021·青海·统考中考真题）点 SKIPIF 1 < 0 是非圆上一点，若点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 上的点的最小距离是 SKIPIF 1 < 0 ，最大距离是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的半径是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】分点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 外和 SKIPIF 1 < 0 内两种情况分析；设 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0
当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 外时，根据题意得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内时，根据题意得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
考查题型二 直线与圆的位置关系
典例2．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
【答案】B
【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可．
【详解】解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
∴d SKIPIF 1 < 0 r，
∴直线和圆相交．
故选：B
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d变式2-1．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）已知平面内有 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 半径为 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
变式2-2．（2020·广东广州·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】B
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴csA= SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AC=4
∴BC= SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是：相切
故选：B
【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键．
变式2-3．（2021·湖北黄石·统考中考真题）如图，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点．
（1）若正方形的边长为2，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是______．
（2）下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ；③连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）．
【答案】 4 ①③
【分析】(1)将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在G点处，证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的周长；
(2)对于①：将AM绕点A逆时针旋转90°，M点落在H点处，证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可判断；
对于②：设正方形边长为2，BE=x，则EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中使用勾股定理求出x，在利用∠AEF=∠AEB即可求解；
对于③：证明A、M、F、D四点共圆，得到∠AFM=∠ADM=45°进而求解．
【详解】解：(1)将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在G点处，如下图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∠1+∠2=45°，∠3+∠2=45°，
∴∠1=∠3，
∵ABCD为正方形，
∴AD=AB，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)对于①：将AM绕点A逆时针旋转90°，M点落在H点处，如下图所示：
∵∠1+∠2=45°，∠1+∠4=∠EAH-∠EAF=45°，
∴∠2=∠4，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
对于②：由(1)中可知：EF=BE+DF，设正方形边长为2，当F为CD中点时，
GB=DF=1，CF=1，设BE=x，则EF=x+1，CE=2-x，
在Rt△EFC中，由勾股定理： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,故②错误；
对于③：如下图所示：
∵∠EAF=∠BDC=45°，
∴A、M、F、D四点共圆，
∴∠AFM=∠ADM=45°，
∴△AMF为等腰直角三角形，故③正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的证明，四点共圆的判定方法等，属于综合题，具有一定难度，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
变式2-4．（2020·上海·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ＜AO＜ SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，证明△AOE∽△ACD即可求出与AD相切时的AO值；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，证明△COF∽△CAB即可求出BC相切时的AO值，最后即可得到结论．
【详解】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，
如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，
则OE⊥AD，∴OE//CD，
∴△AOE∽△ACD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AO= SKIPIF 1 < 0 ；
如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，
则OF⊥BC，∴OF//AB，
∴△COF∽△CAB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴OC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AO= SKIPIF 1 < 0 ，
∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ＜AO＜ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ＜AO＜ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
考查题型三 切线的判定定理
典例3．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 为⊙ SKIPIF 1 < 0 的直径，过圆上一点 SKIPIF 1 < 0 作⊙ SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线与点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)直线 SKIPIF 1 < 0 与⊙ SKIPIF 1 < 0 相切吗？并说明理由；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)相切，见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先证得： SKIPIF 1 < 0 ，再证 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出答案；
（2）设半径为 SKIPIF 1 < 0 ；则： SKIPIF 1 < 0 ，即可求得半径，再在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可．
【详解】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 切线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切．
（2）设半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
则： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
变式3-1．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中，∠ SKIPIF 1 < 0 =45°， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的⊙ SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)判断直线 SKIPIF 1 < 0 与⊙ SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 SKIPIF 1 < 0 从而可得结论；
（2）如图，连接OD，先证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOD的面积，减去扇形AOD的面积即可．
（1）
证明： SKIPIF 1 < 0 ∠ SKIPIF 1 < 0 =45°， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线．
（2）
如图，连接OD，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．
变式3-2．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）连接OA，根据 SKIPIF 1 < 0 和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据阴影部分的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴扇形BOC的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴阴影部分的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为 SKIPIF 1 < 0 是解题的关键．
变式3-3．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示， SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在⊙ SKIPIF 1 < 0 上，顶点 SKIPIF 1 < 0 在⊙ SKIPIF 1 < 0 外，边 SKIPIF 1 < 0 与⊙ SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：直线 SKIPIF 1 < 0 是⊙ SKIPIF 1 < 0 的切线；
(2)若线段 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求⊙ SKIPIF 1 < 0 的半径的长度．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，再由OD∥BC，可得CB⊥OB，即可求证；
（2）①根据∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，可得∠BAC=∠ODB，即可求证；②根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，再由勾股定理，即可求解．
(1)
证明∶∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，
∴OD⊥OB，
∵OD∥BC，
∴CB⊥OB，
∵OB为半径，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 是⊙ SKIPIF 1 < 0 的切线；
(2)
解：①∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，
∴∠ODB=45°，
∴∠BAC=∠ODB，
∵∠ABD=∠DBE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
即⊙ SKIPIF 1 < 0 的半径的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式3-4．（2022·四川南充·中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径，点C是 SKIPIF 1 < 0 上一点，点D是 SKIPIF 1 < 0 外一点， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)见解析；
(2)3
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；
（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到 SKIPIF 1 < 0 ，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO,
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠BCD=∠ACO，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∴OC⊥CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线．
（2）解：过点O作OF⊥BC于F，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，
∴BE=BC-CE=1.5x，
∵∠C=90°，
∴AC= SKIPIF 1 < 0 ，
∵OA=OB，OF∥AC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．
变式3-5．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD SKIPIF 1 < 0 OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到AD SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD SKIPIF 1 < 0 OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6，
∴AC＝12，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
变式3-6．（2022·山东潍坊·中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线 SKIPIF 1 < 0 方向泻至水渠 SKIPIF 1 < 0 ，水渠 SKIPIF 1 < 0 所在直线与水面 SKIPIF 1 < 0 平行；设筒车为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于P，Q两点，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于B，C两点，恰有 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线；
(2)筒车的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到 SKIPIF 1 < 0 ，参考值： SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】(1)答案见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可证 SKIPIF 1 < 0 ，可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用等量代换即可证明 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又根据 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，故可得到 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交PQ于E，于是在等腰 SKIPIF 1 < 0 中，根据锐角三角函数求出 SKIPIF 1 < 0 长，进而求出最大深度 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）
证明：连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接BM，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又∵∠D=∠D，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线；
（2）
解：如图所示，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交PQ于E，
SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查圆的切线的判断，等腰三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握公式定理并且灵活应用是解题的关键．
考查题型四 切线的性质定理
典例4．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )
A．25°B．35°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据切线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，∠ABC＝25°，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 AB是⊙O的直径，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．
变式4-1．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
【答案】C
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF故选：C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
变式4-2．（2022·广东深圳·统考中考真题）如图所示，已知三角形 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，BC为 SKIPIF 1 < 0 切线， SKIPIF 1 < 0 为切点， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 面积之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．
【详解】解：如图取 SKIPIF 1 < 0 中点O，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 是圆O的直径．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 与圆O相切．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵点O是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案是：1∶2．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
变式4-3．（2022·重庆·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线，B为切点，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长度是（ ）
A．3B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】连接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用 SKIPIF 1 < 0 ＝tan30°，即可求出AB的长度．
【详解】解：连接OB，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等腰三角形，
∴∠OBD＝∠D，
∵∠AOB是△OBD的一个外角，
∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AO＝2OB＝AC＋OC，
∵OB＝OC，
∴OB＝AC＝3，
∵ SKIPIF 1 < 0 ＝tan30°，
∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
【点睛】此题考查了切线的性质定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，求出∠A＝30°是解决此题的关键．
变式4-4．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不倒翁的鼻尖正好是圆心 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为PA、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．
【详解】连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=28°，
∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∴∠APB=56°．
故选：C
【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．
变式4-5．（2022·四川自贡·统考中考真题） SKIPIF 1 < 0 为⊙ SKIPIF 1 < 0 外一点， SKIPIF 1 < 0 与⊙ SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】连接OT，根据切线的性质求出求 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 利用含 SKIPIF 1 < 0 的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可．
【详解】解：连接OT，如下图．
∵ SKIPIF 1 < 0 与⊙ SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，含 SKIPIF 1 < 0 的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键．
变式4-6．（2022·宁夏·中考真题）把量角器和含 SKIPIF 1 < 0 角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度 SKIPIF 1 < 0 处，短直角边过量角器外沿刻度 SKIPIF 1 < 0 处（即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．则阴影部分的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵外圆弧与斜边相切，
∴∠BEO＝90°，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据勾股定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键．
变式4-7．（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的弦，过点A的切线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________°．
【答案】35
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，首先根据圆周角定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据圆周角定理即可求得．
【详解】解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：35．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
变式4-8．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
【详解】解：连接OA，
①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，
设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∵AC=2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，
解得：r= SKIPIF 1 < 0 ，
即AD=AO= SKIPIF 1 < 0 ；
②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵ SKIPIF 1 < 0 AO•AC= SKIPIF 1 < 0 OC•AD，
∴AD= SKIPIF 1 < 0 ，
∵AO= SKIPIF 1 < 0 ，AC=2，OC=4-r= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD= SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，AD的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
变式4-9．（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，半径为1的 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内平移（ SKIPIF 1 < 0 可以与该三角形的边相切），则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设直线AO交 SKIPIF 1 < 0 于M点（M在O点右边），当 SKIPIF 1 < 0 与AB、BC相切时，AM即为点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 上的点的最大距离．
【详解】设直线AO交 SKIPIF 1 < 0 于M点（M在O点右边），则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最大值为AM的长度
当 SKIPIF 1 < 0 与AB、BC相切时，AM最长
设切点分别为D、F，连接OB，如图
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 与AB、BC相切
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 的半径为1
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查切线的性质、特殊角度三角函数值、勾股定理，解题的关键是确定点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 上的点的最大距离的图形．
变式4-10．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙ SKIPIF 1 < 0 于点A，长边与⊙ SKIPIF 1 < 0 相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则⊙ SKIPIF 1 < 0 的半径为_____ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与 SKIPIF 1 < 0 相切于点B，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形ACBD为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
考查题型五 利用切线长定理求解与证明
典例5．（2021·青海西宁·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 的内切圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别相切于点D，E，F，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．
【详解】解：连接OD，如图：
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理，则
SKIPIF 1 < 0 ，
设半径为r，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴阴影部分的面积为： SKIPIF 1 < 0 ；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
变式5-1．（2020·湖南永州·中考真题）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，A，B为切点，线段 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M．给出下列四种说法：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③四边形 SKIPIF 1 < 0 有外接圆；④M是 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．
【详解】如图， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，
SKIPIF 1 < 0 故①正确，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 故②正确，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，
SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
所以：以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆，则 SKIPIF 1 < 0 共圆，故③正确，
SKIPIF 1 < 0 M是 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是 SKIPIF 1 < 0 个，
故选C．
【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键．
变式5-2．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用切线长定理求得⊙O的半径，根据S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE列式计算即可求解．
【详解】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，
解得x=1，
∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE
= SKIPIF 1 < 0 ×3×4- SKIPIF 1 < 0 ×1×1
=5- SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：5- SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了切线长定理，扇形的面积公式，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
变式5-3．（2020·四川眉山·统考中考真题）如图，点 SKIPIF 1 < 0 为⊙ SKIPIF 1 < 0 外一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为切点．连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】连接OB，在 SKIPIF 1 < 0 中应用勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 的半径为3，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，对应线段成比例即可求解．
【详解】解：连接OB，
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的半径为r，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查切线长定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理的应用等内容，作出合适的辅助线是解题的关键．
变式5-4．（2022·江西·统考中考真题）（1）课本再现：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所对的圆心角， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）知识应用：如图4，若 SKIPIF 1 < 0 的半径为2， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 相切于点A，B， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；
（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长．
【详解】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB= SKIPIF 1 < 0 ∠AOB；
如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB= SKIPIF 1 < 0 ∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO= SKIPIF 1 < 0 ∠APB= SKIPIF 1 < 0 （180°-120°）=30°，
∵OA=2，
∴OP=2OA=4，
∴PA= SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．
变式5-5．（2020·广东·统考中考真题）如图1，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为优弧 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据角平分线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据圆的切线的判定、切线长定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据相似三角形的判定与性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，又根据相似三角形的判定与性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】（1）如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
即OE是 SKIPIF 1 < 0 的半径
∴直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切；
（2）如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延长线于点 SKIPIF 1 < 0
由圆周角定理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 AD、BC都是 SKIPIF 1 < 0 的切线
由切线长定理得： SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
考查题型六 三角形外接圆的相关计算
典例6．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，
∴CD= SKIPIF 1 < 0 AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=( SKIPIF 1 < 0 AD)2+32，
∴AD=2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴OA=OB= SKIPIF 1 < 0 AD= SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
变式6-1．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 是等边 SKIPIF 1 < 0 的外接圆，点 SKIPIF 1 < 0 是弧 SKIPIF 1 < 0 上一动点（不与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③当 SKIPIF 1 < 0 最长时， SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一动点，可得 SKIPIF 1 < 0 不一定等于 SKIPIF 1 < 0 ，故②错误；当 SKIPIF 1 < 0 最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由 SKIPIF 1 < 0 是等边 SKIPIF 1 < 0 的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一动点，
∴ SKIPIF 1 < 0 不一定等于 SKIPIF 1 < 0 ，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当 SKIPIF 1 < 0 最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等边 SKIPIF 1 < 0 的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
变式6-2．（2021·山东滨州·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外接圆，CD是 SKIPIF 1 < 0 的直径．若 SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cs∠ABC的值．
【详解】解：连接AD，如右图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD= SKIPIF 1 < 0 =8，
∴cs∠ADC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cs∠ABC的值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cs∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．
变式6-3．（2021·西藏·统考中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40°B．55°C．70°D．110°
【答案】B
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA SKIPIF 1 < 0 ，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA SKIPIF 1 < 0 ，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA SKIPIF 1 < 0 （180°﹣70°）＝55°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式6-4．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内接三角形．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的半径是______．
【答案】1
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，根据圆周角定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
变式6-5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是 SKIPIF 1 < 0 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除 SKIPIF 1 < 0 外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．
【答案】△ADC、△BDC、△ABD
【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．
【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为： SKIPIF 1 < 0 ，
则外接圆半径 SKIPIF 1 < 0 ，
图中D点到O点距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
图中E点到O点距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．
【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键．
变式6-6．（2021·河南·统考中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均在小正方形的顶点上，且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先找到 SKIPIF 1 < 0 的圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为 SKIPIF 1 < 0 的圆心O，
从图中可得： SKIPIF 1 < 0 的半径为OB=5，
连接OC，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠BOC=2 SKIPIF 1 < 0 22.5°=45°，
SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查了弧长公式，找到 SKIPIF 1 < 0 的圆心是解题的关键．
考查题型七 三角形内切圆的相关计算
典例7．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，根据切线长定理设 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合已知条件表示出 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵BD＝10，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
变式7-1．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形材料 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∠BAD=90°，
∴△EAD∽△EBC，∠B=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴EB=32cm，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设这个圆的圆心为O，与EB，BC，EC分别相切于F，G，H，
∴OF=OG=OH，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴此圆的半径为8cm，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
变式7-2．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，等边 SKIPIF 1 < 0 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边 SKIPIF 1 < 0 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD= SKIPIF 1 < 0 ，同时在Rt△BOD中，OD= SKIPIF 1 < 0 ，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案．
【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，
在等边三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD= SKIPIF 1 < 0 ∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD= SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴圆中的黑色部分的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键．
变式7-3．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心， SKIPIF 1 < 0 的延长线和 SKIPIF 1 < 0 的外接圆相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；③若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；连接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到∠BEC=120°，故②正确； SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 成立，故③正确；根据点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心和三角形的外角的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由圆周角定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到∠DBE=∠BED，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，
∴∠BEC=120°，故②正确；
∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴线段AD经过圆心O，
∴ SKIPIF 1 < 0 成立，故③正确；
∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠DBE=∠BED，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故④正确；
∴正确的有4个．
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．
变式7-4．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 SKIPIF 1 < 0 上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65°B．60°C．58°D．50°
【答案】B
【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF= SKIPIF 1 < 0 ∠EOF=60°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式7-5．（2020·山东济宁·中考真题）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）
A．4 SKIPIF 1 < 0 B．2 SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2 SKIPIF 1 < 0 ，CD=2，于是求出△DBC的面积．
【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+ SKIPIF 1 < 0 ∠A=90°+ SKIPIF 1 < 0 ×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=2 SKIPIF 1 < 0 ，CD=2，
∴△DBC的面积为 SKIPIF 1 < 0 CD•BH= SKIPIF 1 < 0 ×2×2 SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0 .
故选B.
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
变式7-6．（2022·四川宜宾·统考中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．
【答案】289
【分析】设直角三角形的三边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，较长的直角边为 SKIPIF 1 < 0 较短的直角边为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，根据小正方的面积为49，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而计算 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，较长的直角边为 SKIPIF 1 < 0 较短的直角边为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为斜边，
SKIPIF 1 < 0 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ③，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
大正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于 SKIPIF 1 < 0 是解题的关键．
变式7-7．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图所示的网格由边长为 SKIPIF 1 < 0 个单位长度的小正方形组成，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、在直角坐标系中的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 内心的坐标为______．
【答案】（2，3）
【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．
【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB= SKIPIF 1 < 0 ，AC= SKIPIF 1 < 0 ，BC= SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠BAC=90°，
设BC的关系式为：y=kx+b，
代入B SKIPIF 1 < 0 ，C SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC： SKIPIF 1 < 0 ，
当y=0时，x=3，即G（3,0），
∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，
设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF为正方形，
S△ABC= SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即AE=EM= SKIPIF 1 < 0 ，
∴BE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴BM= SKIPIF 1 < 0 ，
∵B（-3，3），
∴M（2，3），
故答案为：（2，3）．
【点睛】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可．
变式7-8．（2020·四川达州·中考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 的三边a、b、c满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径=____．
【答案】1
【分析】先将 SKIPIF 1 < 0 变形成 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据非负性的性质求得a、b、c的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形，最后根据直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 =0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
∴ SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径= SKIPIF 1 < 0 =1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了非负数性质的应用、勾股定理逆定理的应用以及直角三角形内切圆的求法，掌握直角三角形内切圆半径的求法以及求得a、b、c的值是解答本题的关键．
变式7-9．（2020·青海·统考中考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的半径为__________．
【答案】1
【详解】如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=4-r，AF=AD=3-r，
∴4-r+3-r=5，
∴r=1．
∴△ABC的内切圆的半径为 1．
变式7-10．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）已知： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出 SKIPIF 1 < 0 内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)如果 SKIPIF 1 < 0 的周长为14 SKIPIF 1 < 0 ，内切圆的半径为1.3 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)9.1
【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；
（2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积．
【详解】（1）解：如下图所示，O为所求作点，
（2）解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵内切圆的半径为1.3 SKIPIF 1 < 0 ，
∴OD=OF=OE=1.3，
∵三角形ABC的周长为14，
∴AB+BC+AC=14，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故三角形ABC的面积为9.1．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．
考查题型八 圆与圆的位置关系
典例8．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
【答案】C
【分析】连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧 SKIPIF 1 < 0 所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．
【详解】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，
∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，
∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，
∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，
∴优弧 SKIPIF 1 < 0 所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
∴花坛的周长为2× SKIPIF 1 < 0 ＝8π（米），
故选：C．
【点睛】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
变式8-1．（2022·湖北武汉·统考一模）如图，在平面内 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两外切，其中 SKIPIF 1 < 0 的半径为8， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．10C．13D．15
【答案】A
【分析】当半径为R的圆形纸片与三个圆相切时，R的值最小，根据两圆相切的性质求解即可．
【详解】解：如图，当 SKIPIF 1 < 0 与三个已知圆相切时，R的值最小，
∵四个圆相切， SKIPIF 1 < 0 的半径为8， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的半径都为5， SKIPIF 1 < 0 的半径为R．
∴O1O2= O1O3=5+8=13，OO2= OO3=R-5，O1O=R-8，O2O3=5+5=10，
∴O1O⊥O2O3，设垂足为I，
∴IO2=5，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
故选： A．
【点睛】本题考查了相切圆的性质和勾股定理，解题关键是明确两圆相切时，圆心距与半径的关系，根据勾股定理列出方程．
变式8-2．（2022·上海黄浦·统考二模）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤5
【答案】D
【分析】求得⊙B在⊙O内部且有唯一公共点时⊙B的半径和⊙O在⊙B内部且有唯一公共点时⊙B的半径，根据图形即可求得．
【详解】解：如图，当⊙B在⊙O内部且有唯一公共点时，⊙B的半径为：3-2=1，
当⊙O在⊙B内部且有唯一公共点时，⊙B的半径为3+2＝5，
∴如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是1≤r≤5，
故答案为：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握数形结合和分类讨论思想的应用．
变式8-3．（2022·上海杨浦·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．不能确定
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 的长，根据AD=2CD，求得 SKIPIF 1 < 0 的长，根据DE∥BC，证明 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的长，勾股定理求得CE的长，进而比较圆心距与半径和，根据圆与圆的位置关系进行判断即可．
【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 AD=2CD，AC=6，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 DE∥BC，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交．
故选C．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
变式8-4．（2022·上海崇明·统考二模） SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离．
【答案】D
【分析】根据三角形的三边长确定两圆的圆心距，与两圆的半径的和比较后即可确定正确的选项．
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵三个圆的半径长都等于2，
∴任意两圆的圆心距都是4，
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的两边的长求得第三边的长，然后根据两圆的半径之和和两圆的圆心距的大小关系确定两圆的位置关系，难度不大．
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外

点在圆的外部
点在外
点在圆上
点在圆周上
点在上
点在圆内

点在圆的内部
点在内
位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
直线与圆没有公共点
直线与相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
直线与相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
直线与相交
位置关系
图形
定义
性质及判定
外离
图1
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
两圆外离
外切
图2
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
两圆外切
相交
图3
两个圆有两个公共点．
两圆相交
内切
图4
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．
两圆内切
内含
图5
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．
两圆内含