2024省海林朝鲜族中学高二上学期第二次月考试题数学含解析

这是一份2024省海林朝鲜族中学高二上学期第二次月考试题数学含解析，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题(每小题5分，共20分），解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题5分 共60分）
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 直线的倾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3. 已知第一象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
5. 焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为
A. B. C. D.
6. 过点，的直线斜率为（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
7. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 过拋物线的焦点F作斜率为1的直线l，交抛物线C于A，B两点，则弦长=（ ）
A. B. C. D.
9. 棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为
A. B. C. D.
10. 已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
11. 已知椭圆，为其左、右焦点，，为短轴一个端点，三角形（为坐标原点）的面积为，则椭圆的长轴长为（ ）
A. 4B. 8C. D.
12. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、填空题(每小题5分，共20分）
13. 若焦点在y轴上的椭圆的离心率为,则m的值为________.
14. 已知直线与直线垂直，则______.
15. 双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为______.
16. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点的直线AB与椭圆交于A，B两点，则的周长为______．
三、解答题（17题10分，其它每小题12分，共70分）
17. 求焦点坐标为、，且过点的椭圆方程.
18. 已知双曲线的离心率为，求该双曲线的渐近线方程.
19. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，求.
20. 已知双曲线焦点为，且该双曲线过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上的点满足，求的面积．
21. 已知椭圆：过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围．
22. 已知椭圆与抛物线y2＝x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,1)直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求△AOB的面积．
2023-2024学年度第一学期
高二年级数学学科第二次考试（必修+选择性必修一）
一、单项选择题（每小题5分 共60分）
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化抛物线方程为标准方程，从而可求解.
【详解】化抛物线方程为标准方程，所以焦点坐标为.
故选：C
2. 直线的倾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】
将直线方程化为斜截式方程得直线斜率为，进而得倾斜角是120°.
【详解】解：将直线方程化为斜截式方程得：，
所以直线的斜率为，
所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角是120°.
故选：C.
3. 已知是第一象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得的值.
【详解】因为是第一象限角，则.
故选：B.
4. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数的性质可得，即可求函数定义域.
【详解】由题设，有，可得，
∴函数的定义域为.
故选：A.
5. 焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用椭圆的简单性质列出方程求解即可.
【详解】解:焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,
可得,,即,解得, ,
所求椭圆方程为.
所以A选项是正确的.
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，利用椭圆的性质求解基本量，相对简单.
6. 过点，的直线斜率为（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】
分析】将P、Q点坐标代入斜率公式，即可求得答案.
【详解】因为，，
所以过P、Q的直线的斜率，
故选：B
7. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件利用一元二次不等式解法直接求解即可作答.
【详解】解不等式得：或，
所以不等式的解集为.
故选：C
8. 过拋物线的焦点F作斜率为1的直线l，交抛物线C于A，B两点，则弦长=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出直线方程，联立抛物线求得，，再应用相交弦的弦长公式求即可.
【详解】由题设，，则直线l为，联立抛物线得，
∴，，则，
∴.
故选：B
9. 棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.
【详解】设长方体的外接球半径为，由题意可知：
，则：，
该长方体的外接球的表面积为.
本题选择B选项.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
10. 已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据半径的平方等于弦长一半的平方加圆心到直线的距离的平方，即可求出答案.
【详解】圆心到直线的距离，弦长的一半为1，.
故选：A.
11. 已知椭圆，为其左、右焦点，，为短轴的一个端点，三角形（为坐标原点）的面积为，则椭圆的长轴长为（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据已知求出b，c, 再求出a得解.
【详解】由题得，，又，
解得，，
所以长轴长为8.
故选：B
【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
12. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.
故选：D.
二、填空题(每小题5分，共20分）
13. 若焦点在y轴上的椭圆的离心率为,则m的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆离心率的定义求出离心率和已知相等从而得结果.
【详解】因为焦点在y轴上，由椭圆方程可知：，
，即，
故答案为：.
14. 已知直线与直线垂直，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】若直线与直线垂直,则,进而求解.
【详解】由题,因为两直线垂直,
所以,
所以
故答案为:1
【点睛】本题考查由两直线垂直求参数,属于基础题.
15. 双曲线上点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为______.
【答案】2或22
【解析】
【分析】设双曲线1的左右焦点分别为F1，F2，利用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||＝2a＝10，即可求得答案．
【详解】设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c，不妨令|PF1|＝12（12＞a+c＝5），
∴点P可能在左支，也可能在右支，
由||PF1|﹣|PF2||＝2a＝10得：
|12﹣|PF2||＝10，
∴|PF2|＝22或2．
∴点P到另一个焦点的距离是22或2．
故答案为：2或22．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，解答要细心审题与准确规范．
16. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点的直线AB与椭圆交于A，B两点，则的周长为______．
【答案】16
【解析】
【分析】先由椭圆方程得到长半轴，再由椭圆的定义即可求出结果.
【详解】椭圆的，
三角形的周长．
故答案为16．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，熟记椭圆定义即可，属于基础题型.
三、解答题（17题10分，其它每小题12分，共70分）
17. 求焦点坐标为、，且过点的椭圆方程.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，直接可求出，进而可求出，即可得到结果.
【详解】因为椭圆的焦点坐标为，，所以，
又椭圆过点，所以，，
所以，椭圆方程为 .
18. 已知双曲线的离心率为，求该双曲线的渐近线方程.
【答案】
【解析】
【分析】通过离心率可得的值，通过的关系可得的值，进而可得渐近线方程.
【详解】根据题意，双曲线的离心率为，所以，所以，
由，得，所以双曲线方程为，
因此该双曲线的渐近线为.
故答案为：.
19. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，求.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用抛物线的定义即可求出结果.
【详解】设焦点为F，则，
又因为，所以.
20. 已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上的点满足，求的面积．
【答案】（1）（2）4
【解析】
【分析】
（1）设双曲线的方程为，运用双曲线的定义，以及两点的距离公式可得，结合，，的关系，可得，，即可得到所求双曲线的方程；
（2）由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式，化简可得所求值．
【详解】（1）设双曲线的方程为，
由，，且该双曲线过点，可得
，
，又，，
双曲线的标准方程为；
（2）由，得，
．
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用勾股定理和定义法解题，考查运算能力．
21. 已知椭圆：过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意得,再由离心率求出，进而得出，即可得到椭圆的方程．
（2）设直线的方程：，，，联立直线与椭圆的方程得到关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，的值和，即①，根据线段中点，写出线段的垂直平分线的方程为，将点代入，得，代入①式即可得到的取值范围．
【详解】（1）因为椭圆过点，
且离心率为，
所以椭圆的方程为：．
（2）设直线的方程：，，，
联立直线与椭圆的方程联立得：
.
整理得：①
，，
.
因为线段中点，
所以线段的垂直平分线的方程为，
又因为线段的垂直平分线过点，
所以，即，
所以，
代入①式得：，
整理得：，即
解得或，
所以的取值范围为：．
【点睛】本题第一问考查椭圆方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于较难题.
22. 已知椭圆与抛物线y2＝x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求△AOB的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】试题分析:(1)先求椭圆焦点得c，再根据离心率列方程组可得a＝2，b2＝2 (2)将OP视为底，根据三角形面积公式得S＝ |OP|·|x1－x2|，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简得|x1－x2|，最后根据解出k，代入解得△AOB的面积．
试题解析：解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可得c＝，又e＝＝，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝2，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝2，得
设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得
(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－.
将x1＝－2x2代入上式整理可得， 2＝，
解得k2＝.
∴△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2|
＝＝·＝.