中考数学一轮复习题型归纳专练专题22 二次函数（2份打包，原卷版+解析版）

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题型一 y=ax2与y=ax2+k的图像与性质
1．点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别把点，代入抛物线解析式，再由，列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵点，都在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴
解得：．
故选：D
2．已知，是二次函数图象上的两点，则下列命题正确的是（ ）
A．若，时，则B．若，时，则
C．若，时，则D．若，时，则
【答案】D
【分析】根据是二次函数图象上的两点，最终得出，根据绝对值的性质，同正同负时得到，再分别求出的取值范围即可求解．
【详解】解：在上，
，
，
，
，
当绝对值里面同为正时，得，
，
，
，
当绝对值里面同为负时，得，
，
，
，
故，时，，
故选：D．
3．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象开口向上，距离对称轴越远函数值越大即可比较．
【详解】解：∵函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴距离对称轴越远函数值越大．
∵，，到y轴的距离依次为：2，0，1，
∴．
故选C．
4．抛物线的顶点坐标是_________．
【答案】
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可．
【详解】解：，
∴顶点坐标是．
故答案为：．
5．如图，在平面直角坐标系中，的边OA在x轴上，，，抛物线与OB交于C点，过点C作交AB于D点．若CD过的重心G，则点G的坐标为___________．
【答案】
【分析】连接，延长与交于点E，设B点坐标为（2，b），根据三角形的重心用b表示G点坐标，再用b表示直线的解析式，进而求得与抛物线的交点C，然后根据轴列出方程求得b的值，便可写出G点坐标．
【详解】解：连接，延长与交于点E，则，
设B点坐标为，
∵G是的重心，
∴，
∴G点横坐标，
G点横坐标，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，或，
∴，
∵轴，
∴，
解得（舍）或，
∴，
故答案为：．
题型二 y=a（x-h）2与y=a（x-h）2+k的图像与性质
1．设函数，．直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据题意分别画出的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：∵直线的图象与函数，的图象分别交于点，，
A. 若，如图所示，
则
B. 若，如图所示，
则
则，
故B选项不合题意，
C. 若，如图所示，
∴，故C选项正确，D选项不正确；
故选：C．
7．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小D．顶点坐标为
【答案】D
【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
【详解】对于二次函数，，则开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
故A，B选项错误，D选项正确，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大先增大后减小，故C选项错误，
故选：D．
8．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是
D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】由抛物线的表达式和二次函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：中，
的系数为，，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为，C错误；
函数图象的对称轴为，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大，D正确．
故选：D．
9．抛物线的顶点坐标是_____．
【答案】
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故答案为：．
10．二次函数的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为______．
【答案】或
【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答．
【详解】解：∵二次函数表达式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴或，
∵，
∴，
解得：或．
故答案为：或．
题型三 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
1．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】分别判断a、b、c的符号，即可判断①；根据图象与x轴交点个数，即可判断②；把代入即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可判断④；根据该函数的开口方向判断其增减性，即可判断⑤．
【详解】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与y轴相交于正半轴，
∴，
∴，故①不正确；
②∵函数图象与x轴有两个交点，
∴，故②正确；
③∵该函数图象经过点，对称轴为直线，
∴该函数与x轴另一个交点坐标为，
∴当时，，故③正确；
④∵对称轴为直线，函数开口向下，
∴当时，y有最大值，
把代入得：，
把代入得：，
∵，
∴，则，故④正确；
⑤∵函数开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵对称轴为直线，，
∴，故⑤不正确，
综上：正确的有②③④．
故选：B．
2．已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．⑥，其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质求出，，进而可判断①；根据根的二次函数与坐标轴的交点可判断②；根据特殊点的函数值和二次函数的对称性可判断③；对称轴为直线可判断④；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤；根据特殊点的函数值和平方差公式可判断⑥．
【详解】①抛物线的开口向下：，对称轴为直线，∴，
∵抛物线与轴交于正半轴：；
∴，故①错误；
②∵抛物线与轴有两个交点：，故②正确；
③∵对称轴为直线，
∴与时y的值相等，
∵时，，
∴时，，
∵，
∴，
∴，故③错误；
④对称轴为直线，∴，故④错误；
⑤∵顶点坐标：，
∴当且仅当时，，
∴有两个相等的实数根．故⑤正确；
⑥由图可知：，
∴，
∴；故⑥正确；
综上：正确的是②⑤⑥，共3个．
故选C．
3．设二次函数，（m，n是实数，）的最小值分别为p，q，则（ ）
A．若，则，B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据对称轴公式求出和的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，进而得出，，结合条件得出，列出方程求解即可．
【详解】解：由两函数表达式可知，
函数的对称轴为，
函数的对称轴为，
∵二次函数，（m，n是实数，）的最小值分别为p，q
∴两函数图象均开口向上，即，两函数均在对称轴上取到最小值，
则有，
若，则有
解得：或（舍去），
将代入p，q得：，
故选：D．
4．若抛物线M：与抛物线：关于y轴对称，则_____．
【答案】
【分析】抛物线M：与抛物线：关于轴对称，即，写出对应系数的值即可
【详解】解：∵抛物线M：与抛物线：关于y轴对称，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
5．已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】由确定抛线开口向上，如图所示，利用待定系数法求得线段的解析式为，再由抛物线与线段有两个不相同的交点，联立，将其转化为一元二次方程为，从而抛物线与线段有两个不相同的交点，即一元二次方程为有两个不同的实数根，得到，要使抛物线与线段有两个不相同的交点，则必须满足：当和时，抛物线上对应的点都应该在线段上方或与M，N重合，但时，抛物线上对应的点必在线段上方，得到只需满足即可，解不等式得即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点与对称轴的距离比点与对称轴的距离更远，如果抛线开口向下，那么，这与题意不符，
∴抛线开口向上，如图所示：
设直线的解析式为，则依题意可得，解得，
线段的解析式为，
∵抛物线与线段有两个不相同的交点，
∴依题意可得，可化为一元二次方程为，
∵抛物线与线段有两个不相同的交点，即一元二次方程为有两个不同的实数根，
，即，解不等式组得，
又要使抛物线与线段有两个不相同的交点，则必须满足：当和时，抛物线上对应的点都应该在线段上方或与M，N重合，但时，抛物线上对应的点必在线段上方，
只需满足即可，解得，
综上所述：当时，抛物线与线段有两个不相同的交点，
故答案为：．
题型四 二次函数的图像与系数的关系
1．如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①，②，③，④，⑤其中结论正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，由图可知对称轴，当时，，当时，，当时，，进而对各个结论进行判断．
【详解】解：由抛物线的开口向下知，
与轴的交点为在轴的正半轴上，得，
∵对称轴为，，
∴，
∴，故②正确；
由图可知，当时，，
∴，故①正确；
由图可知，抛物线顶点的纵坐标大于2，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
由图可知，当时，，当时，，
∴，，
∴，
由，，得，即，
由，，得，
∴，故④正确；
，，
∴，
∴，
即，故⑤正确；
综上可知，正确的结论有5个．
故选A．
2．如图，二次函数 与轴交点的横坐标为与轴正半轴的交点为，，，则下列结论正确的是( )
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线与坐标轴的交点判断A选项，根据当时，，判断B选项，根据开口方向以及对称轴，与轴的交点，判断C选项，根据可得对称轴，继而判断D选项，即可求解．
【详解】由图象可知，抛物线与轴有两个交点，
∴，
故A错误，不符合题意；
由图象可知当时，，
故B错误，不符合题意；
∵抛物线开口方向向下，
．
抛物线与轴的交点是，和，，其中，
对称轴，
．
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故C错误，不符合题意；
∵，，
，
，
，
即，
故D正确，符合题意．
故选：D．
3．抛物线（）的部分图象如图，则下列说法：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数（）的图象和系数、、的关系解答即可．
【详解】∵抛物线（）的图象开口向上，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，
抛物线（）的图象与轴交于，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线（）的图象与轴有两个交点，
∴，
∴，故③正确；
∵根据抛物线（）的图象可知，
时，，
∴，故④正确；
故选：D
4．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是________．（请将正确结论的序号填在横线上）
【答案】①②③④
【分析】根据二次函数与x轴有两个不同的交点，即可判断①；根据二次函数开口方向，与与y轴交于y轴正半轴，对称轴为直线，即可判断②③；根据当时，即可判断④．
【详解】解：由函数图象可知，二次函数与x轴有两个不同的交点，
∴，故①正确；
∵二次函数开口向下，与y轴交于y轴正半轴，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故②，③正确；
∵当时，，
∴，故④正确；
∴正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
5．二次函数的部分图象如图，图象过点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有______（填序号）．
【答案】①③
【分析】根据二次函数的对称轴为直线即可判断①；把代入，再根据图象即可判断②；根据图象可知函数经过点，再根据①中的 ，即可判断③；根据函数的对称轴和增减性即可判断④；根据函数开口向下，对称轴为直线可得，当时，函数取得最大值，即可判断⑤．
【详解】解：①∵该函数对称轴为直线，
∴，整理得：，
∴，
故①正确，符合题意；
②把代入，
由图可知，当时，函数值小于0，
∴，则，
故②不正确，不符合题意；
③由图可知，当时，，
把代入，
由①可得：，
∴，
故③正确，符合题意；
④由图可知，当时，y的值随x值的增大而增大，
故④不正确，不符合题意；
⑤把代入得：，
把代入得：，
∵当时，函数取得最大值，
∴，即，
故⑤不正确，不符合题意；
故答案为：①③．
题型五 二次函数的对称性
1．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，然后根据抛物线的增减性和对称性判断即可．
【详解】解：∵，，
∴对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴，
根据二次函数图象的对称性可知，点，关于对称轴对称，
∴，
∴，
故选：C．
2．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
下列判断正确的是（ ）A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据表格中数据，可以求出抛物线的对称轴，再根据对称性即可得到大小关系．
【详解】解：由表格可以得到：抛物线对称轴为，
∵
∴
故选C．
3．已知抛物线（，为常数）经过不同的两点，那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线经过不同两点的纵坐标为m相同，得，求出抛物线的顶点坐标为，再把A、B、C、D选项代入计算，即可得答案．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过不同两点的纵坐标为m相同，
抛物线的对称轴为
，
而抛物线的顶点纵坐标为：，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，故A选项不符合题意，
当时，，故B选项符合题意，
当时，，故C选项不符合题意，
当时，，故D选项不符合题意，
故选：B．
4．若函数经过点和，则该函数的对轴称是直线_____．
【答案】
【分析】根据点和关于对称轴对称，求出对称轴即可．
【详解】解：∵经过点和，
∴和的函数值相同，
∴点和关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线；
故答案为：．
5．二次函数图象的对称轴为__________．
【答案】直线
【分析】（方法1）令，求出两个对称的点的坐标，利用抛物线上对称的点的坐标求出对称轴；（方法2）利用先将二次函数的表达式化成一般形式，再利用求对称轴的公式求解即可．
【详解】（方法1）∵令，
则，，
∴该二次函数图象上两个对称的点的坐标分别为，，
∴该二次函数图象的对称轴为直线．
故答案为：直线．
（方法2）∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线．
故答案为：直线．
题型六 二次函数的最值
1．若关于的方程有两个实根，则的最大值是（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系得出，，根据方程解的定义得出，将，，代入整理得出，根据方程有两个实数根得出，根据m的范围求出最大值即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个实根，
∴，，，
即，
∴
，
∵关于的方程有两个实根，
∴，
即，
∵当时，的值随m的增大而增大，
∴当时，有最大值，且最大值为：，
即的最大值为4，故B正确．
故选：B．
2．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（ ）
A．或3B．－1或1C．0或2D．2或4
【答案】A
【分析】求出函数值为4时的自变量值，再根据开口方向，得到关于a的方程，解之即可．
【详解】解：∵函数在上的最小值为4，
∴令，
解得：或，
∵，
∴函数图象开口向上，
∴或，
∴或，
故选A．
3．二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图像的开口方向向下，对称轴为，该函数的最大值为，由题意可解得，根据函数图像可知的值越小，其对称轴越靠左，满足的的值越小，故令即可求得的最大值．
【详解】解：∵函数，且，
∴该函数图像的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图像的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，
∴满足的的最大值为，
即的最大值为．
故选：D．
4．二次函数的最小值是_____．
【答案】
【分析】根据配方法化为顶点式即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴当时，最小值为，
故答案为：．
5．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离不大于3，则n的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据点P到y轴的距离不大于3，得到，根据二次函数的性质，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
∵点P到y轴的距离不大于3，
∴，
∵，抛物线的对称轴为直线；
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∵，
∴当时，有最小值：；当时，有最大值：；
∴；
故答案为：．
题型七 待定系数法求二次函数解析式
1．二次函数的图象过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将，，代入，求出a，b，c的值，从而得出该抛物线开口向下，对称轴为，再根据离对称轴水平距离的大小即可得到答案．
【详解】将，，代入，
得：，解得：，
∴该抛物线开口向下，对称轴为．
∵离对称轴最远，离对称轴最近，
∴．
故选B．
2．如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标，再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可．
【详解】解：将，分别代入得，
解得
，
，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，抛物线顶点为最低点，
，
解得，
当时，点P为最低点，
将代入得，
解得(舍)，，
或，
故选：D．
3．“人一定要有梦想，万一实现了呢？”巩立姣的这句赛后感言在网络上广为流传，激励了许多正在拼搏的人．如图是她在铅球练习中的一次掷球，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离抛掷点水平距离3米时达到最高，此时铅球离地面2.5米．如图，以水平面为轴，她所站位置的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，则她掷铅球的运动路线的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意设出抛物线解析式为，再把点的坐标代入解析式求出的值即可．
【详解】解：根据题意得：，，
设抛物线解析式为，
将点的坐标代入解析式得：，
解得：，
巩立姣掷铅球的运动路线的函数表达式为，
故选：A．
4．已知一次函数的图像与轴的交点为，若二次函数的图像经过点，则二次函数的解析式为________．
【答案】
【分析】一次函数的图像与轴的交点为，可求出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数即可求解．
【详解】解：根据题意得，当时，，
∴点的坐标为，
把点的坐标代入二次函数得，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为，
故答案为：．
5．已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴的交点坐标为，则该抛物线的解析式为______________．
【答案】
【分析】根据已知信息直接设该抛物线的顶点式，然后代入，求解即可．
【详解】解：由题意，设该抛物线解析式为，，
将代入得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
题型八 二次函数图像的平移
1．将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线，则，的值分别是( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的抛物线解析式为，即，
∴，，
故选C．
2．将抛物线通过一次平移可得到抛物线，对这一平移过程描述正确的是（ ）
A．向上平移5个单位长度B．向下平移5个单位长度
C．向左平移5个单位长度D．向右平移5个单位长度
【答案】C
【分析】根据函数图像的平移法则，结合已知抛物线的解析式即可得到答案．
【详解】解：将抛物线通过一次平移可得到抛物线，
由到的变化，由函数图像平移法则知，将抛物线向左平移5个单位长度即可得到抛物线，
故选：C．
3．将二次函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到二次函数的图像，则、、的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数图像的平移法则：左加右减、上加下减按要求平移后将两个函数解析式对比即可得到答案．
【详解】解：将二次函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到二次函数，与为同一个解析式，
，解得，
故选：D．
4．将抛物线向左平移2个単位．再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为______．
【答案】
【分析】根据二次函数图象平移的规律：“上加下减” ，“左加右减”，再进行求解即可得．
【详解】解：根据“上加下减”的原则可知，抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为；
根据“左加右减”的原则可知，抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为．
故答案为．
5．将二次函数的图象先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到的函数图象的解析式为________________________．
【答案】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“上加下减”“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象先向上平移2个单位，所得函数的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象先向右平移3个单位所得函数的解析式为：．
故答案为：
题型九 二次函数与一元二次方程的关系
1．如图，若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图象的对称性求解即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
故选：C．
2．二次函数的图象如图所示．下列结论:①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数图象与系数的关系、根的个数与判别式的关系解决此题．
【详解】解：由图象可知开口向上，则，故①正确，该二次函数的对称轴为直线，所以；故②正确；
因为该二次函数的图象与x轴有两个交点，所以，故③正确；
当时，则，故④正确；
故选D
3．如果关于的分式方程有整数解，且二次函数的图象与轴有交点，那么符合条件的所有整数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】先利用二次函数的图象与x轴有交点得到m的取值范围，解分式方程，结合m的取值范围与题意求出所有符合条件的m值即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴且，
解得：且，
解分式方程得，
∵分式方程有可能产生增根2，
∴，
∴，
∵关于x的分式方程有整数解，
∴或或，
解得或或或或或，
又∵且，，
∴或，
∴符合条件的所有整数的个数为2，
故选：A．
4．如图，已知二次函数的图象经过点，点，该图象与轴的另一个交点为C，则的长为________．
【答案】3
【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，求出b、c的值，得出函数解析式，求出函数与x轴的交点，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，点，
∴代入得：，
解得：，
即，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：3．
5．抛物线的部分图象如图所示，则关于的方程的解是_____．
【答案】,
【分析】根据抛物线与轴交点坐标求得，再根据抛物线的对称轴求得，将、代入方程，解方程即可．
【详解】∵抛物线与轴的交点为，
将点代入抛物线，得：,
∵对称轴为，
∴，
解得：，
∴方程为，即，
∴方程的解为，，
故答案为：，．
题型十 图像法确定一元二次方程的近似根
1．小星利用表格中的数据，估算一元二次方程的根，
由此可以确定，方程的一个根的大致范围是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．
【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间．故选：C．
2．在估算一元二次方程的根时，小彬列表如右：由此可估算方程的一个根x的范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答．
【详解】解：由表可知，
当时，，
当时，，
∴方程的一个根x的范围是，
故选：B．
3．一元二次方程的两个根分别为和4，若二次函数与轴的交点为，，则对于，的范围描述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用将向上平移3个单位得到，即可求解．
【详解】解：将向上平移3个单位得到，
而抛物线开口向上，
则，在和4之间，
故选：C．
4．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为________（精确到0.1）．
【答案】 或1.7
【分析】抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根．
【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、，
又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根，
∴方程的两个近似根是 或1.7．
故答案为： 或1.7
5．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1
【分析】根据抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），可得方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即可求解．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），
∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，
∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
题型十一 二次函数与不等式的关系
1．如图是二次函数的图像，则不等式的解集是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集．
【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为，
由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上，
由图可知，当或时，对应的y值小于3，
因此的解集为：或．
故选D．
2．我们规定：形如的函数叫作“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于轴对称；
②不等式的解集是或；
③方程有两个实数解时．正确的是（ ）
A．①②．B．②③．C．①③．D．①②③．
【答案】A
【分析】根据函数图象直接判断A，根据二次函数与坐标轴的交点分析，根据对称性可得轴与轴左边的交点为，即可判断B，根据图象可知当或时，原方程有两个实数根，据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可知，此图像关于轴对称，故①正确；
②对称性可得轴与轴左边的交点为，则不等式即的解集是或，故②正确；
③∵，当时，，顶点坐标为和，且与轴交于点，
∴当或时，方程有两个实数解，
故③不正确，故选：A．
3．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立与，得方程，
即
抛物线与直线有两个交点，
，
解得，
当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
．
故选D．
4．如图，已知抛物线 与直线相交于两点，则不等式的取值范围是________．
【答案】
【分析】由图像可求得的解集，即可获得答案．
【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点，
∴由图可知，的解集为，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
5．如图，一次函数的图像与二次函数的图像交于两点，则当时，x的取值范围为_______．
【答案】
【分析】根据题意可知当一次函数图象在二次函数图象上方的部分的自变量的取值，即为不等式的解集，根据两个函数图象的交点的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵一次函数的图像与二次函数的图像交于两点，
∴当时，x的取值范围为，
故答案为：．
题型十二 二次函数的实际应用
1．如图，正方形的边长为，动点沿的路径移动，过点作交正方形的一边于点，则的面积与点运动的路程之间形成的函数关系图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分点在上和点在上两种情况讨论，分别列出面积与点运动的路程之间形成的函数关系式，即可判断函数图像．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
当点在上时，即，，
点在上时，即，，
∴函数图象是：开口向上和开口向下的两段二次函数的图象，
故选：B．
2．如图，当某运动员以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．下列结论不正确的是（ ）
A．小球从飞出到落地要用
B．小球飞行的最大高度为
C．当小球飞出时间从到时，飞行的高度随时间的增大而减小
D．当小球飞出时间从到时，飞行的高度随时间的增大而减小
【答案】C
【分析】根据解析式，令，解方程，即可判断A，将解析式化为顶点式，进而即可求解．
【详解】解：由题意，，令，即，
解得：，
∴小球从飞出到落地要用，故A正确，不符合题意；
∵，最大值为，故B正确，符合题意；
∴对称轴为直线，开口向下，当时，飞行的高度随着时间的增大而增大，故C错误，不符合题意；
当时，飞行的高度随时间的增大而减小，故D正确，不符合题意；
故选：C．
3．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m，当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（ ）
A．5mB．mC．10mD．m
【答案】C
【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．
【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意得，M点坐标为，A点坐标为，B点坐标为，
设中间大抛物线的函数式为
代入三点的坐标可得：
解得：
∴函数式为
∴令米，
代入解析式得，，
∴可得米．
故选：C．
4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽______．
【答案】
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和长为的一半，为2米，
抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度为米
故答案是：
5．一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是_____．
【答案】
【分析】根据题意，令，解方程即可求解．
【详解】解：依题意，令中，，
即，
整理得：
解得：（舍去），
∴这名男生抛实心球的成绩是，
故答案为：．
题型十三 二次函数的综合
1．如图，抛物线与x轴分别交于点，点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
(3)点在抛物线上，当m取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为，点B的坐标为
(2)
(3)时，最大
【分析】（1）把点A和点C的坐标代入，求出b和c即可；
（2）先求出该抛物线的对称轴为直线，设，再根据两点之间的距离公式，列出方程求解即可；
（3）作于Q，交于点D，先用待定系数法求解直线的解析式，即可将点D和点M的坐标表示出来，最后根据三角形的面积公式，列出面积的表达式即可求解．
【详解】（1）解：由二次函数的图象经过和两点，
得，
解得．
则抛物线的解析式为．
∵令，有，
解得，，．
则该抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为．
（2）∵抛物线的对称轴为直线．
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
（3）如图2，
作于Q，交于点D，
∵，，
设直线的函数解析式为，
将点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴．
∵点在抛物线上，
∴．
∴．
∴，
∴当时，最大．
2．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点、点B，交y轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点E为第一象限抛物线上一点，过点E作轴，垂足为点M，交直线于点N，设点B的横坐标为m，长为d，求d与m的函数关系式(不要求写出自变量m的取值范围)；
(3)如图2，在(2)的条件下，直线经过点A，且与y轴交于点D．点F为线段上的一点，连接交x轴正半轴于点G，当时，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)(，)
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）先求出点B的坐标，然后再运用待定系数法确定直线解析式，设，则，最后根据即可解答；
（3）先求出点D的坐标，再求出的值，过点F作轴于点H，证明可得，再在在上取点K，使得，连接，然后说明，再在中运用勾股定理可得；设F，则，根据点N在直线上列式求得t，进而确定点N的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线经过点、点B，
令，
∴，解得，
∴
设直线解析式为
∵
∴，解得：
∴直线BC解析式为:
设，则
∴，即．
（3）解：直线交y轴于点D，当时，
∴
又∵
∴，
∴
过点F作轴于点H，
∵轴于点M，
∴
又∵
∴，
∴
在上取点K，使得，连接
∵，
∴
∴，
又∵
∴，
∴，
在中，，
∴
又∵，
∴，解得
设F，则，
∴
∴，
∴点N的坐标是，
又∵点N在直线上
∴，解得
当时，，
∴点N坐标是(，)．
3．二次函数的图象，与轴交于原点和点，顶点的坐标为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过，两点可画无数条抛物线，设顶点为，过点向轴、轴作垂线，垂足为点，．求当所得的四边形为正方形时的二次函数表达式；
(3)点在（1）中求出的二次函数图象上，且点的坐标为，是否存在的面积为2，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或．
【分析】（1）设抛物线解析式为：，将代入待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出对称轴为直线，或，设抛物线解析式为：，将代入待定系数法求解析式即可求解；
（3）直线的解析式为：，设，则，求得，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点的坐标为；
设抛物线解析式为：，
∵抛物线与轴交于原点，将代入得，
∴
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵抛物线过，两点，
∴对称轴为直线，
依题意，四边形为正方形
∴或
∴设抛物线解析式为：
∵抛物线与轴交于原点，
∴或
解得或，
∴抛物线的解析式为或
综上所述，解析式为：或
（3）解：∵，，
设直线的解析式为：，
，
∴直线的解析式为：，
设，则
∴
∵的面积为2，
∴
即
解得：,
当时，，则
当时，，则
当时，，则
当时，，则
综上所述：或或或．
4．阅读下面的问题及其解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．
(1)填写下面的空格．
(2)将函数的图象沿轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 ．
(3)将函数 ，，是常数，的图象先向左平移个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式．
【答案】(1)，y，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据材料可得将向右平移个单位后，坐标为，再将坐标代入原函数解析式．
（2）设函数的图象的任意点坐标为，求出点沿轴翻折后坐标，进而求解．
（3）设变换后新的函数图像上任意点的坐标为然后将点绕原点旋转，再沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得出点变换后的坐标代入原解析式求解．
【详解】（1）解：将向右平移个单位后，坐标为，
平移后的图象对应的函数表达式为，
故答案为：，y，．
（2）设函数的图象的任意点坐标为，将关于轴翻折后得到，
∴翻折后的图象对应的函数表达式为．
故答案为：．
（3）方法一
设变换后新的函数图像上任意点的坐标为．
将点绕原点旋转，得点．
将点沿轴翻折，得点．
将点向右平移个单位长度，得点．
因为点在函数的图像上，
所以．
即所得到的图像对应的函数表达式是．
方法二
原函数可化为．
将函数的图像向左平移1个单位长度，得函数的图像．
将函数的图像沿y轴翻折，得函数的图像．
将函数的图像绕原点旋转180°，得函数的图像．
∴所得到的图像对应的函数表达式是．
5．城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地竖直高度为．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，
(1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
(3)当时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由．
【答案】(1)喷出水的最大射程为；
(2)点的坐标为；
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为0时的x的值即可求喷出水的最大射程；
（2）根据对称轴为直线可得点的对称点为，则是由向左平移得到的，即可求出点B的坐标；
（3）当时，，则，求出当时的函数值，即可判断．
【详解】（1）解：如图1，由题意得是外边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴外边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
（2）∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴是由向左平移得到的，
由（1）可得，
∴点的坐标为；
（3）∵当时，，则，
∴点F的横坐标为6，
把代入，
∴所以不能浇灌到整个绿化带．
题型十四 二次函数与几何的综合
1．已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得、两点到直线的距离相等，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)点为轴上一动点，以为旋转中心，把线段逆时针旋转，得到线段，其中点的对应点为点，当抛物线的对称轴刚好经过中点时，求此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意分与相交与平行两种情况分析，分别求解即可；
（3）设的中点为，的中点为，，由，抛物线的对称轴为直线，设与轴交于点，过点作于点，连接，证明，根据，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，两点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为：；
（2）解：由，令，解得：，
∴,
①当与相交时，如图，
过点作的垂线，则，
在与中，
∴
∴，
∴为的中点，
∵,
∴,
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为：，
∴
解得：或
∴,
②当时，点到的距离相等，
∵,
设直线的解析式为,
则
解得：
∴直线的解析式为
设直线的解析式为，
将点代入得，，
解得：
∴直线的解析式为，
∴
解得：或
∴，
综上所述，或
（3）解：如图所示，设的中点为，的中点为，，
由，抛物线的对称轴为直线，
设与轴交于点，过点作于点，连接，
由（2）可知，
∵以为旋转中心，把线段逆时针旋转，且点在上，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴
∴
∴，
解得：，
∴．
2．抛物线经过点，，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点，且在第二象限．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，过点P作轴交直线于点M，作轴交直线于点N，求的最大值；
(3)如图2，连接，，，，设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将，，代入函数表达式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的表达式，设，求出M，N的坐标，得到的长，利用二次函数的最值求解即可；
（3）设，求出直线的表达式，根据与y轴交点得到点D坐标，根据三角形面积计算方法得到，，根据，得到方程，解之可得点P坐标．
【详解】（1）解：将，，代入，
得，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）设直线的表达式为：，
将，代入，得：
，解得：，
∴直线的表达式为：，
设，，
则在中，令，
则，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴当时，的最大值为；
（3）设，
∵P在第二象限，
∴，
∵，，，
设直线的表达式为，
则，解得：，
∴直线的表达式为，
令，则，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
解得：（舍）或，
∴点P的坐标为．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧)，与轴交于点，顶点为．
(1)请直接写出点的坐标．
(2)如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标；
(3)如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为以为底角的等腰三角形?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当的周长最小，点的坐标为 ；
(3)的坐标为：或或
【分析】(1)根据抛物线的与轴有两个交点可到一元二次方程，由此可得坐标，再根据函数解析式即可求得；
(2)根据轴对称的性质即可求得当的最小值时点的坐标；
(3)根据等腰三角形的性质分情况讨论即可得到点坐标．
【详解】（1）解：在中，令有
解得：，，
∵在的左侧，
∴，，
在中，令时，则，
∴，
∵，
∴顶点：；
（2）解：作点关于轴对称的点，连接交轴于点，此时的周长最小，如图：
∵，
∴．
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴直线的解析式为，
在中，令时，解得，，
∴，
∴当的周长最小，点的坐标为，
（3）解：存在，设，
∵，
∴，
①当时，如图：
∴，解或，
∴或
②当时．如图：
∴，解得，
∴
综上所述，的坐标为：
或或．
4．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B，且与x轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)若点P在平面内，点Q在直线上，平面内是否存在点P使得以O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)，，，；
【分析】（1）根据直线解析式求出点B的坐标，将B、C两点坐标代入解析式即可得到答案；
（2）连接，表示出M的坐标，根据列出S与m的函数关系式，最后根据函数性质即可得到答案；
（3）设点，分、、分别为对角线三类讨论，根据对角线互相平分得到点P的坐标， 最后根据菱形的邻边相等即可得到答案；
【详解】（1）解：当时，，
∴点B的坐标为，
将，代入抛物线解析式可得，
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）解：连接，
∵点M的横坐标为m，
∴，
当时，
，解得，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，S最大，
；
（3）解：设点，
①当为对角线时，
∵O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形，
∴与互相平分，，
∴点P的坐标为，
解得：，
∴；
②当为对角线时，
∵O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形，
∴与互相平分，，
∴点P的坐标为，
∴，
解得：，
∴，；
③当为对角线时，
∵O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形，
∴与互相平分，，
∴P的坐标为，
∴，
解得： （与B重合舍去），，
∴；
综上所述存在4点使以O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形：，，，；
5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，且．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为抛物线第一象限上一点，连接交y轴于点D，作轴于点E，设点E的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，作轴，点F在直线下方的第一象限内，连接、，若四边形的面积为8，且，求P点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)P点的坐标为或．
【分析】（1）先求出得，进而利用待定系数法即可求解；
（2）先求出，，再证，利用相似三角形的性质即可得解；
（3）延长交轴于点，先证，进而得，，再证，利用相似三角形的性质得，从而利用四边形的面积为，即可得，从而即可求解．
【详解】（1）解：抛物线中，令，则，
∴，
∴，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线中，令，则，
解得或，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∵轴轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∵点为抛物线第一象限上一点，
∴，
∴与的函数关系式为；
（3）解：延长交轴于点，
∵轴轴，轴，轴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，即，
解得或，
当时，，点，
当时，，点，
∴点的坐标为或．
x
0
1
2
3
y
1
m
n
1
x
…
0
1.1
1.2
1.3
1.4
…
…
－2
－0.68
－0.32
0.08
0.52
…
x
1
问题：将函数的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？