中考数学一轮复习题型归纳专练专题23 反比例函数（2份打包，原卷版+解析版）

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题型演练
题型一 根据定义判断是否是反比例函数
1．下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据反比例函数的三种形式判断即可．
【详解】解：反比例函数的三种形式为：
① SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ），② SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ），③ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ），
由此可知：只有 SKIPIF 1 < 0 不是反比例函数，其它都是反比例函数，
故选：C．
2．下列属于反比例函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义进行判断．
【详解】解：A．由原式得到 SKIPIF 1 < 0 ，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意；
B．该函数式表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成正比例关系，故本选项不符合题意；
C．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意；
D．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．下列函数，① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，④ SKIPIF 1 < 0 是反比例函数的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据反比例函数定义直接逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，是正比例函数，
③ SKIPIF 1 < 0 是反比例函数，
④ SKIPIF 1 < 0 不是反比例函数，
故选B．
4．函数① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ；⑥ SKIPIF 1 < 0 ；⑦ SKIPIF 1 < 0 和⑧ SKIPIF 1 < 0 中，是y关于x的反比例函数的有：__________（填序号）．
【答案】②③⑧
【分析】根据反比例函数的定义：形如 SKIPIF 1 < 0 的函数，由此可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
函数① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ；⑥ SKIPIF 1 < 0 ；⑦ SKIPIF 1 < 0 和⑧ SKIPIF 1 < 0 中，是y关于x的反比例函数的有②③⑧；
故答案为②③⑧．
题型二 求反比例函数值
1．下列各点不在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】将选项中的点的横坐标代入解析式中求出y值，若等于点的纵坐标，则该点在函数图象上，若不等于则不在，进而可作出判断．
【详解】解：A、当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，不符合题意；
B、当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，符合题意；
C、当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，不符合题意；
D、当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，不符合题意；
故选：B．
2．下列各点中，不在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的是（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函数图象上，反之则不在.
【详解】A选项中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故该选项不符合题意；
B选项中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故该选项不符合题意；
C选项中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故该选项符合题意；
D选项中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故该选项不符合题意；
故选C
3．已知反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，则它的图象不经过点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照k即可得出结论．
【详解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，故反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
B、 SKIPIF 1 < 0 ，故反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象不经过点 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，故反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
D、 SKIPIF 1 < 0 ，故反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
故选：B．
4．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，某反比例函数的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据函数解析式求出点的坐标．
【详解】解：设反比例函数的解析式是 SKIPIF 1 < 0
∵反比例函数经过点 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
∵反比例函数经过点 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
5．已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系是______________________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分别把点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入反比例函数 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可比较出大小．
【详解】解：∵点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型三 反比例函数的图像问题
1．如图1，已知A，B是反比例函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）图像上的两点， SKIPIF 1 < 0 轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿 SKIPIF 1 < 0 （图中“ SKIPIF 1 < 0 ”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为M．设三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致如图2，则k的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【分析】当点P在 SKIPIF 1 < 0 上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P从点A到点B的过程中，三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积S是定值 SKIPIF 1 < 0 ，再根据此时的面积为4，列式计算，即可求解．
【详解】解：由图1可知，点P从点A到点B的过程中，三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积S是定值 SKIPIF 1 < 0 ，
由图2可知：点P从点A到点B的过程中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
2．反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质， SKIPIF 1 < 0 时，图象在一、三象限，进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴图象分布在第一、三象限，即：
故选C．
3．在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在三个不同的象限，若反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过其中两点则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．-1C．-6D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件得到点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，求得点 SKIPIF 1 < 0 一定在第三象限，由于反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过其中两点，于是得到反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是得到结论．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在第二象限， SKIPIF 1 < 0 在第一象限，且点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在三个不同象限，
又 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在第三象限，
SKIPIF 1 < 0 反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过其中两点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点在该反比例函数图象上，
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： SKIPIF 1 < 0 ）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为 SKIPIF 1 < 0 时，电流是________A．
【答案】12
【分析】设该反比函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，根据当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得该反比函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，再把 SKIPIF 1 < 0 代入，即可求出电流I．
【详解】解：设该反比函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设该反比函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即电流为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：12．
5．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线在第一象限交于点C，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）点A的坐标是______；
（2） SKIPIF 1 < 0 的面积是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据点B的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点A的坐标；
（2）根据反比例函数的中心对称性求出点C的坐标，再用割补法即可求得 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【详解】（1）∵点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
（2）如图，过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴，过点C作 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于点G，过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴，过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于点E， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点F．
∵直线BO与双曲线在第一象限交于点C，点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型四 判断反比例函数的增减性
1．关于反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图像与坐标轴没有交点
D．若点 SKIPIF 1 < 0 都在函数图像上，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】当 SKIPIF 1 < 0 时，图象分别位于第一、三象限，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当 SKIPIF 1 < 0 时，图象分别位于第二、四象限，在同一个象限，y随x的增大而增大．
【详解】解：A、因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以反比例函数y SKIPIF 1 < 0 （k＞0），的图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；
B、反比例函数 SKIPIF 1 < 0 （k＞0）的图象是双曲线，经过第一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，故本选项符合题意；
C、该函数图象与坐标轴无限接近，但无交点，故本选项不符合题意；
D、若点 SKIPIF 1 < 0 都在函数图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故不符合题意；
故选：B．
2．下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小
B．平分弦的直线垂直于弦
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D． SKIPIF 1 < 0 的半径为5，若点P在 SKIPIF 1 < 0 外，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，然后依据定义可以判断各个选项中的说法是否正确，从而得出答案．
【详解】解：A.函数 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小是必然事件，故选项A符合题意；
B.因为平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以平分弦的直线垂直于弦是随机事件，故选项B不符合题意；
C. 因为过半径的外端，垂直于圆的半径的直线是圆的切线，所以垂直于圆的半径的直线是圆的切线是随机事件，故选项C不符合题意；
D. SKIPIF 1 < 0 的半径为5，若点P在⊙O外，则 SKIPIF 1 < 0 是随机事件，因为 SKIPIF 1 < 0 的长度只要大于5即可，故 SKIPIF 1 < 0 是随机事件，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据反比例数解析式得出反比例函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，据此即可求解．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，
∵点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在第三象限， SKIPIF 1 < 0 在第一象限，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
4．反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，y的取值范围为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意，结合反比例函数图像与性质，由反比例函数增减性即可得到答案．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 反比例函数 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 反比例函数图像在第一、三象限，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，在第一象限内 SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则这个函数的图象在每个象限内 SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而______．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定 SKIPIF 1 < 0 的正负，然后根据反比例函数的性质进行判断．
【详解】解：∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内， SKIPIF 1 < 0 的值随 SKIPIF 1 < 0 的值增大而增大．
故答案为：增大．
题型五 判断反比例函数图像所在象限
1．对于反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点 SKIPIF 1 < 0 B．图象位于第一、第三象限
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小D．当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、在 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴反比例函数图象位于第一、三象限，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、在 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、在 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：D.
2．关于反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列叙述正确的是（ ）
A．在每个象限内，y随x的增大而增大B．函数图象在第一、三象限
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 D．其图象既是轴对称图形也是中心对称图形
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象和性质解答；
【详解】解：A、因为反比例函数的图象是双曲线，当 SKIPIF 1 < 0 时，图象位于第二、四象限，在每个象限内 SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大，本选项正确，符合题意；
B、当 SKIPIF 1 < 0 时，图象位于第二、四象限，本选项错误，不符合题意；
C、当 SKIPIF 1 < 0 时，在第二象限 SKIPIF 1 < 0 ，在第四象限 SKIPIF 1 < 0 ，本选项错误，不符合题意；
D、反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，不是轴对称图形，本选项错误，不符合题意；
故选：A．
3．关于反比例函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法不正确的是（ ）
A．y随x增大而增大B．图象分别在第二、四象限
C．该反比例函数图象与坐标轴无交点D．图象经过点 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴图象过二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数图象与坐标轴无交点；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，选项B、C、D正确，不符合题意；选项A错误，符合题意；
故选A．
4．反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________ SKIPIF 1 < 0 （填“＜，＝，＞”）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据点 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数经过第二、四象限，进而即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数经过第二、四象限
又反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 点在第二象限， SKIPIF 1 < 0 点在第四象限，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上．
（1）该反比例函数的图像位于第___________象限；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系是___________．
【答案】 二、四 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】答题空1根据反比例函数性质直接得到答案；根据反比例函数增减性及所在象限性质直接可得答题空2答案．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像位于二、四象限，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 时 y随x增而增大且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：二、四， SKIPIF 1 < 0 ．
题型六 反比例函数系数k的几何意义
1．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，若点A在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，点B在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则k的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴于点C，过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，直接利用相似三角形的判定与性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
【详解】解：过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴于点C，过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵若点A在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
2．如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是非零常数， SKIPIF 1 < 0 ）的图象交于点M，N，与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是非零常数， SKIPIF 1 < 0 ）的图象交于点B，连接 SKIPIF 1 < 0 ． 若四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为3，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．3B．-3C． SKIPIF 1 < 0 D．6
【答案】A
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图象均在第一象限，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵点M、N均在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是非零常数， SKIPIF 1 < 0 ）的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵矩形 SKIPIF 1 < 0 的顶点B在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是非零常数， SKIPIF 1 < 0 ）的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
3．如图，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 所在直线垂直 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．5B．6C．10D．16
【答案】A
【分析】作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据题意分别表示出 SKIPIF 1 < 0 的长，计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，
，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所在直线垂直 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
4．反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，点A是图象上任一点， SKIPIF 1 < 0 轴于点B，点C是y轴上任一点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为1，则k的值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设点A的坐标，再根据 SKIPIF 1 < 0 列出关系式，进而得出答案．
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
点A在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：－2.
5．如图，已知在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_____．
【答案】12
【分析】过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点D，根据等腰三角形的性质，可知点D是 SKIPIF 1 < 0 的中点，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的面积，进一步可得 SKIPIF 1 < 0 的面积，再根据反比例函数系数k的几何意义，即可求出k的值．
【详解】解：解：过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点D，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点C，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：12．
题型七 求反比例函数的解析式
1．若反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象上有两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入反比例函数得出： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再代入求值即可．
【详解】解：将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入反比例函数得出： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
2．下列各点，在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】将每个选项中的坐标代入反比例函数解析式中，能够使得等式成立的选项则在函数图象上．
【详解】解：A、将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中得： SKIPIF 1 < 0 ，故本选项不符合题意；
B、 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中得： SKIPIF 1 < 0 ，故本选项符合题意；
C、 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中得： SKIPIF 1 < 0 ，故本选项不符合题意；
D、 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中得： SKIPIF 1 < 0 ，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于点A，将直线 SKIPIF 1 < 0 向上平移1个单位长度后，与y轴交于C，与双曲线交于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则k的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．－7C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，点M是y轴正半轴上的一点，过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点F，证明 SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 的长，判定四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据反比例函数的性质列出等式计算即可．
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，点M是y轴正半轴上的一点，
如图，过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴于点D，过点B作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点F，
根据平移的性质，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，直线 SKIPIF 1 < 0 与y轴交于点C，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵A、B都是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选C．
4．如图，在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恰好经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据平行四边形的性质和点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再把点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 并解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图像上的两个点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】2
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征可得出 SKIPIF 1 < 0 ，对等式进行化简可得出结论．
【详解】解：∵点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图像上的两个点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理得， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2．
题型八 反比例函数与一次函数的综合判断
1．二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则一次函数 SKIPIF 1 < 0 和反比例函数 SKIPIF 1 < 0 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，得出 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交点在y轴的负半轴，得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】解：因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，得出 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交点在y轴的正半轴，得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，
所以一次函数 SKIPIF 1 < 0 经过一、二、三象限，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 经过一、三象限，
故选：B
2．在同一平面直角坐标系中，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可．
【详解】解：当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象在一、三象限，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过一、三、四象限，故A、B选项都不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象在二、四象限，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过一、二、四象限，故C选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：C．
3．对于不为零的两个实数a，b，如果规定： SKIPIF 1 < 0 ，那么函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根据规定得出 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再利用一次函数和反比例函数的图像性质即可求解．
【详解】由题意得，这是一个分段函数图象，
SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
4．如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相交于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，则自变量 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围．
【详解】由图像知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，一次函数在反比例函数上方，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
5．如图，函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 图像的交于点P，点P的纵坐标为4， SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为点B，点M是函数 SKIPIF 1 < 0 图像上一动点（不与P点重合），过点M作 SKIPIF 1 < 0 于点D，若 SKIPIF 1 < 0 ，点M的坐标是________．
【答案】（12，2）
【分析】过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，证得△PGD≅△DHM(AAS)，得PG=DH，DG=MH，设D(m， SKIPIF 1 < 0 )，表示出点M的坐标，从而得出m的方程，解方程即可．
【详解】解：过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，如图所示，
∵△PMD是等腰直角三角形，
∴PD=DM，
∵∠PDG+∠MDH＝90°， ∠PDG+∠DPG=90°，
∴∠DPG=∠MDH，
∵∠G=∠H，
∴△PGD≅△DHM(AAS)，
∴PG=DH，DG=MH，
∵点P的纵坐标为4，
∴将y=4代入 SKIPIF 1 < 0 ，得x=6，
∴P点坐标为（6，4），
将P（6，4），代入 SKIPIF 1 < 0 ，得：k=24，
∴反比例函数解析式为： SKIPIF 1 < 0
设D(m， SKIPIF 1 < 0 )，
∴DG=m-6，PG= SKIPIF 1 < 0 ，
∴MH＝m-6，DH= SKIPIF 1 < 0 ，
∴M（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
∵点M在反比例 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当m＝6时，M（6，4）(舍去)， 当m=10时，M（12，2），
故答案为：（12，2）．
题型九 一次函数与反比例函数的交点问题
1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则代数式 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用整体思想代入 SKIPIF 1 < 0 ，求值即可．
【详解】解：∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
故选A．
2．在同一直角坐标系中，若正比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有公共点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象的性质即可求解．
【详解】解：∵正比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有公共点，
∴ SKIPIF 1 < 0 同号，
∴ SKIPIF 1 < 0
故选：D．
3．如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 在反比例函数图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 在反比例函数图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
4．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象交于A、B两点，过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴于点C，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则k的值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由对称性可知点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 轴，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 进行求解即可．
【详解】解：设点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象交于A、B两点，
∴点B与点A关于原点对称，
∴点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．如图，正比例函数 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为________．
【答案】8
【分析】先求出两函数交点坐标，即可求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积，通过同底等高，判断 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，最后直接求解即可．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 正比例函数 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为：8
题型十 实际问题与反比例函数
1．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强生态文明建设，某工厂自今年1月份开始限产进行治污改造，其月利润 SKIPIF 1 < 0 （万元）与月份 SKIPIF 1 < 0 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
B．治污改造完成前后共有5个月的利润不超过100万元
C．10月份该厂利润达到190万元
D．4月份的利润为50万元
【答案】B
【分析】直接利用已知点求出一次函数和反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 反比例函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
设一次函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入一次函数解析式为：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 一次函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
A.改造完成后，从5月到7月，利润从40万增加到100万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不符合题意；
B.当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，则只有3、4、5、6共4个月的利润低于100万元，故此选项错误，符合题意；
C.当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此10月份该厂利润达到190万元，故此选项正确，不符合题意；
D. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此4月份的利润为50万元，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
2．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力 SKIPIF 1 < 0 阻力臂 SKIPIF 1 < 0 动力 SKIPIF 1 < 0 动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则这一杠杆的动力 SKIPIF 1 < 0 和动力臂 SKIPIF 1 < 0 之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接利用阻力 SKIPIF 1 < 0 阻力臂 SKIPIF 1 < 0 动力 SKIPIF 1 < 0 动力臂，进而得出动力 SKIPIF 1 < 0 关于动力臂 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式，从而确定其图象即可．
【详解】解：∵阻力 SKIPIF 1 < 0 阻力臂 SKIPIF 1 < 0 动力 SKIPIF 1 < 0 动力臂，且阻力和阻力臂分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
∴动力 SKIPIF 1 < 0 关于动力臂 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，是反比例函数，
又∵动力臂 SKIPIF 1 < 0 ，
故B选项符合题意．
故选：B．
3．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 SKIPIF 1 < 0 （m为1～4的整数），函数 SKIPIF 1 < 0 的图象为曲线L，若曲线L使得 SKIPIF 1 < 0 ，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 四个点的坐标，分别求出 SKIPIF 1 < 0 过个点时的 SKIPIF 1 < 0 值，可得结果．
【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴若曲线L使得 SKIPIF 1 < 0 ，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围是： SKIPIF 1 < 0 ；
故选D．
4．饮水机中原有水的温度为 SKIPIF 1 < 0 ，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温 SKIPIF 1 < 0 与开机时间 SKIPIF 1 < 0 分满足一次函数关系)，当加热到 SKIPIF 1 < 0 时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温 SKIPIF 1 < 0 与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至 SKIPIF 1 < 0 时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后 SKIPIF 1 < 0 分钟时，水的温度是______ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当 SKIPIF 1 < 0 时，水温 SKIPIF 1 < 0 与开机时间x的函数关系式；由点 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法即可求出当 SKIPIF 1 < 0 时，水温 SKIPIF 1 < 0 与开机时间 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式，再将 SKIPIF 1 < 0 代入该函数关系式中求出x值即可，由 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论．
【详解】解：当 SKIPIF 1 < 0 时，设水温 SKIPIF 1 < 0 与开机时间 SKIPIF 1 < 0 的函数关系为： SKIPIF 1 < 0 ，
依据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故此函数解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为： SKIPIF 1 < 0 ，
依据题意，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y（m）是其横截面积x（ SKIPIF 1 < 0 ）的反比例函数，其图象如图所示．当钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是___________ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】观察图象可知，双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 ，求出反比例函数的解析式，再求出 SKIPIF 1 < 0 时的 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0
由图象可知：双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，
∵钢丝总长度不少于80m，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，钢丝的横截面积最大为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
题型十一 反比例函数与几何综合
1．如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为C，求 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2)5
【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据一次函数确定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合图形，计算三角形面积即可．
【详解】（1）解：∵点 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 的图像上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴反比例函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图像上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0
∴一次函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵一次函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为底，则 SKIPIF 1 < 0 边上的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
2．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为A．反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点C，交 SKIPIF 1 < 0 于点D．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求k的值；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)5；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 的长，再利用勾股定理得出 SKIPIF 1 < 0 的长，得出C点坐标即可得出答案；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，首先表示出D，C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用勾股定理得出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【详解】（1）解：作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为E，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点C在 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
SKIPIF 1 < 0 ，
（2）解：设A点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，C两点的坐标分别为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点C，D都在 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为F，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
3．如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像交于点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)填空：一次函数的解析式为______，反比例函数的解析式为______；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）把点 SKIPIF 1 < 0 代入一次函数，反比例函数即可求解；
（2）如图所示（见详解），点 SKIPIF 1 < 0 在一次函数 SKIPIF 1 < 0 上，设 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此联立方程求解即可．
【详解】（1）解：点 SKIPIF 1 < 0 代入一次函数 SKIPIF 1 < 0 与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：如图所示，一次函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∴令一次函数 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 在一次函数 SKIPIF 1 < 0 上，
∴设 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得， SKIPIF 1 < 0 ，解方程得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
4．如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 分别与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相交于点D、E， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点F．
(1)若点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求点D、E、F的坐标；
(2)求证：点F是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
【分析】（1）根据题意可得D点横坐标为4，E点纵坐标为2，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再求出直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的解
析式，再联立，即可求解；
（2）设点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再求出直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再联立，可得到点
F的坐标，再求出 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得： SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，
∵点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴D点横坐标为4，E点纵坐标为2，
∵点D、E在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：设点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴D点横坐标为a，E点纵坐标为b，
∵点D、E在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点F是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点 SKIPIF 1 < 0 在x轴上，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过A点．
(1)求k的值；
(2)以 SKIPIF 1 < 0 为直角边作等腰直角 SKIPIF 1 < 0 ，过点C作 SKIPIF 1 < 0 轴交反比例函数的图象于点E，求E点坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）过点A作 SKIPIF 1 < 0 于H点，根据等腰三角形三线合一的性质求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角函数求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到点A的坐标，即可求出k；
（2）过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入函数解析式即可得到点E的坐标．
【详解】（1）解：过点A作 SKIPIF 1 < 0 于H点，
∵点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过A点．
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过点A作 SKIPIF 1 < 0 轴，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵等腰直角 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
6．综合与探究
如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系．反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值与点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 轴上找一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的周长最小，并求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上的一个动点，点 SKIPIF 1 < 0 是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）直接将点E的坐标代入反比例函数的解析式，求出k，再求点F的坐标即可；
（2）作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的周长最小，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，通过证明 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，有两点间距离公式分别表示出 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为菱形的一边，则有两种情况，① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为菱形的对角线，则有 SKIPIF 1 < 0 ，分别建立方程求解即可．
【详解】（1）把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的周长最小．
方法一：
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：
设 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，
得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为菱形的一边，则有两种情况，讨论如下：
① SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 为菱形的对角线，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上，点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
7．小明和大白两位同学在自主学习中遇到了一个数学综合题如下：如图①，在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴上，顶点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上，顶点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长是一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的两根， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．你能为他们解决下面（1）、（2）两个问題吗？请写出你的解答过程．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)在完成上述两个问题后，小明继续探究，他想：在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形与以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形相似呢？结果发现确实存在，解答如下：
如图②，设在 SKIPIF 1 < 0 轴下方存在一点 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
大白说，满足条件的点图中还有，你认可大白的说法吗？若认可，请把满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标都求出来；若不认可，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)认可， SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）求出一元二次方程的根，即可得解；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，待定系数法，求出反比例函数解析式即可；
（3）分点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴，在线段 SKIPIF 1 < 0 上，和线段 SKIPIF 1 < 0 的上方，三种情况，分类讨论进行求解即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去）；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：认可；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴时： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴时：
①点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时：
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
②点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上方时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上：点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
8．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上的一动点， SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，交线段 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，交线段 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)点E的坐标为 ，点F的坐标为 (用a，b的式子表示)；
(2)当点 SKIPIF 1 < 0 运动且线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均与线段 SKIPIF 1 < 0 有交点时，在下列 SKIPIF 1 < 0 个问题中任选一题探究；
① SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由；
② SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．
(3) SKIPIF 1 < 0 的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 一定相似，理由见解析，②BE、EF、FA这三条线段能组成一个直角三角形，理由见解析
(3) SKIPIF 1 < 0 的大小不变，为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据点 SKIPIF 1 < 0 的坐标得出 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标以及 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，分别代入一次函数即可求解；
（2）①根据（1）的坐标，得出 SKIPIF 1 < 0 ，继而得出 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断 SKIPIF 1 < 0 ，继而证明 SKIPIF 1 < 0 ；
②根据点的坐标得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理的逆定理来进行判断即可求解；
（3）同（2）①得 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】（1）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）① SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 一定相似，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 这三条线段能组成一个直角三角形；
（3） SKIPIF 1 < 0 的大小不变，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的大小不变，为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E，过点D作 SKIPIF 1 < 0 轴于点F， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点G（4，3）．
(1)当点D恰好是 SKIPIF 1 < 0 中点时，求此时点C的横坐标；
(2)如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如图3，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，点G恰好落在边 SKIPIF 1 < 0 上的点H处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)2；(2)见解析；(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】根据点 SKIPIF 1 < 0 坐标求出点 SKIPIF 1 < 0 坐标，代入表达式即可；（2）根据点坐标表示线段长度，证明 SKIPIF 1 < 0 即可；（3）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，构造一线三直角模型，根据相似列比例式，解出比例式即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 点D是FG中点
SKIPIF 1 < 0 点D（4， SKIPIF 1 < 0 ），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得： SKIPIF 1 < 0
即反比例函数的表达式为： SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得： SKIPIF 1 < 0
即此时点C的横坐标是2
（2）解：设点D（4， SKIPIF 1 < 0 ），C（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
同理可得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（3）解：过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点N，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即点C、D的坐标分别为（ SKIPIF 1 < 0 ，3）、（4， SKIPIF 1 < 0 ）
则 SKIPIF 1 < 0 ①
∵ SKIPIF 1 < 0 ∠CHD＝90°
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ②
联立①②并解得： SKIPIF 1 < 0
则点D（4， SKIPIF 1 < 0 ）
将点D的坐标代入反比例函数表达式得： SKIPIF 1 < 0
故反比例函数的表达式为： SKIPIF 1 < 0
10．如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴上，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求反比例函数的表达式及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
(3)在（ SKIPIF 1 < 0 ）的条件下，若点 SKIPIF 1 < 0 是反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上的一点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积恰好等于矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积，求 SKIPIF 1 < 0 点的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）设反比例函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，由B点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，D点为 SKIPIF 1 < 0 的中点，得 SKIPIF 1 < 0 ，将D点坐标代入 SKIPIF 1 < 0 中，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式.由E点的横坐标为2，代入 SKIPIF 1 < 0 中即可求出E点的纵坐标.
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，列比例式求出 SKIPIF 1 < 0 的长，则可知 SKIPIF 1 < 0 的长，则可求出F点的坐标.设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标代入求出 SKIPIF 1 < 0 的值即可知直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式.
（3）过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，由 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的长，则可知P点的横坐标，将P点的横坐标代入 SKIPIF 1 < 0 中，则可求出P点的纵坐标.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 轴，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 反比例函数的表达式 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标与点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标相等为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， 解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴．
由（ SKIPIF 1 < 0 ）有，直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 矩形 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴上，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 的面积恰好等于矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上的一点，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．