2023-2024学年江苏省盐城市五校联考高二（下）第一次学情调研数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市五校联考高二（下）第一次学情调研数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(8,−2,1)，b=(−4,1,k)，且a/​/b，那么实数k的值为( )
A. 12B. −12C. −2D. 2
2.已知a=(1,−2,1)，a+b=(−1,2,−1)，则b等于( )
A. (2,−4,2)B. (−2,4,−2)C. (−2,0,−2)D. (2,1,−3)
3.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c.点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于( )
A. 12a−23b+12c
B. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12c
D. 23a+23b−12c
4.已知椭圆x2t+12+y2t=1的离心率为 63，则椭圆的长轴长为( )
A. 12 2B. 6 2C. 3 2D. 6
5.若数列{an}满足a2=11，an+1=11−an，则a985=( )
A. 1110B. 11C. −110D. 1011
6.已知空间向量a=(3,0,4)，b=(−3,2,5)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 1125(−3,2,5)B. 1138(−3,2,5)C. 1125(3,0,4)D. 1138(3,0,4)
7.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，若AB=2AA1=2BC=2，E是CD的中点，则异面直线EB1与D1C所成角的余弦值为( )
A. 33B. 1515C. 13D. 15
8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP长度的取值范围为( )
A. [1, 2]
B. [1, 3]
C. [ 22, 2]
D. [ 62, 2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. a=(x,2,1),b=(4,−2+x,x),a与b夹角为钝角，则x的取值范围是(−∞,47)
B. 在空间直角坐标系中，已知点P(1,2,3)，点P关于坐标原点对称点的坐标为(−1,−2,−3)
C. 若对空间中任意一点O，有OP=14OA+14OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
D. 任意空间向量a,b,c满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
10.已知函数f(x)=xlnx，下列说法正确的是( )
A. f(x)的单调递减区间是(0,e)
B. f(x)在点(e2,f(e2)处的切线方程是x−4y+e2=0
C. 若方程alnx=x只有一个解，则a=e
D. 设g(x)=x2+a，若对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，则a≥e
11.如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E在同一个平面内.若点M在四边形BCDE内(包含边界)运动，N为AE的中点，则( )
A. 当M为DE的中点时，异面直线MN与CF所成角为π3
B. 当MN/​/平面ACD时，点M的轨迹长度为2 2
C. 当MA⊥ME时，点M到BC的距离可能为 3
D. 存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入Ω内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(2,2,1)，b=(1,−1, 2)，则a⋅b= ______．
13.若向量AB=(2,−2,1)，AC=(2,−1,3)，则|BC|= ．
14.用[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}满足：a1=43，an+1=λan2−μ(an−1)，n∈N*.若λ=0，μ=−2，则an= ______；若λ=μ=1，则[i=120241ai]= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,−3,2)，b=(−2,1,1)，O为坐标原点，点A(−3,−1,4)，B(−2,−2,2)．
(1)求|2a+b|；
(2)若点E在直线AB上，且OE⊥b，求点E的坐标．
16.(本小题15分)
等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn=1nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3−3ax−1在x=−1处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)当x∈[−2,1]时，求函数f(x)的最小值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(Ⅰ)证明：BM/​/平面PAD；
(Ⅱ)若PC= 5，PD=1，
(i)求二面角P−DM−B的余弦值；
(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知点M(x0,y0)为双曲线x22−y2=1上的动点．
(1)判断直线x0x2−y0y=1与双曲线的公共点个数，并说明理由；
(2)(i)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
(ii)将双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为x2a2−y2b2=0，请利用该方程证明如下命题：若T(m,n)为双曲线C上一点，直线l：mxa2−nyb2=1与C的两条渐近线分别交于点P、Q，则T为线段PQ的中点．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．
利用空间向量共线的坐标运算求解即可．
【解答】
解：∵向量a=(8,−2,1)，b=(−4,1,k)，且a/​/b，
∴−48=1−2=k1，∴k=−12，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的线性运算与坐标表示的应用问题，是基础题目．
根据空间向量的线性运算，求出向量b的坐标即可．
【解答】
解：∵a=(1,−2,1)，a+b=(−1,2,−1)，
∴b=a+b−a=(−1−1,2−(−2),−1−1)=(−2,4,−2)．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：如图，连接ON，
∵ON是BC的中点，∴ON=12OB+12OC，
∵OM=2MA，∴OM=23OA，
∴MN=ON−OM=12OB+12OC−23OA=−23a+12b+12c．
故选：B．
根据向量的加法和减法的三角形法则得到．
本题主要考查空间向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由椭圆的性质可得t+12>t，
所以a2=t+12，b2=t，
所以椭圆的离心率e=ca= 1−b2a2= 1−tt+12= 12t+12= 63，
解得t=6，即a2=6+12=18，
解得a=3 2，
所以椭圆长轴长为2a=6 2．
故选：B．
由椭圆的方程可得a，b的表达式，再由离心率的值，可得t的值，进而求出a的值，可得长轴长2a的大小．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵a2=11，an+1=11−an，∴11=11−a1
∴a1=1011，a3=11−11=−110，a4=11+110=1011，
∴{an}是周期为3的数列，故a985=a1=1011．
故选：D．
{an}是周期为3的数列，由此可得．
本题考查递推数列的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：向量a=(3,0,4)，b=(−3,2,5)，
则|a|=5，|b|= 38，a⋅b=11，
所以向量b在向量a上的投影向量为
|b|csa|a|=|b|a⋅b|a||b|a|a|= 38×115× 38×a5=1125a=1125(3,0,4)．
故选：C．
由向量b在向量a上的投影向量为|a|csb|b|，计算即可求出答案．
本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B1(1,2,1)，D1(0,0,1)，E(0,1,0)，C(0,2,0)，
∴EB1=(1,1,1),D1C=(0,2,−1)，
设异面直线EB1与D1C所成的角为θ，
则csθ=|EB1⋅D1C||EB1||D1C|=|1×0+1×2+1×(−1)| 12+12+12× 0+22+(−1)2= 1515．
故选：B．
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得EB1，D1C的坐标，由向量的夹角公式，计算可得所求值．
本题考查异面直线所成角的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设P(a,b,1)，CM=t∈[0,1]，
则M(0,1,t)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴AP=(a−1,b,1)，BD1=(−1,−1,1)，MD1=(0,−1,1−t)，
∵AP⊥平面MBD1，
∴AP⋅BD1=1−a−b+1=0AP⋅MD1=−b+1−t=0，解得a=1+tb=1−t，
∴P(1+t,1−t,1)，
|AP|= (1+t−1)2+(1−t)2+12= 2(t−12)2+32，
又∵t∈[0,1]，结合二次函数性质可得AP的取值范围为[ 62, 2].
故选：D．
建立空间直角坐标系，设CM=t，求出相应点的坐标，利用平面向量数量积的运算，结合AP⊥平面MBD1，可以求出点P的坐标，利用空间两点间距离公式，结合配方法求出线段AP长度的取值范围．
本题考查了利用配方法求线段的长的取值范围，考查了利用空间向量数量积的应用，考查了线面垂直的性质，考查了数学运算能力，是中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A：由a⋅b