2023-2024学年广西示范性高中高二（下）调研数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广西示范性高中高二（下）调研数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线l1：3x+3my+1=0和l2：(m−2)x+3y+m=0.若l1//l2，则m的值为( )
A. −1B. 3C. 1或3D. −1或3
2.函数f(x)=x−lnx的单调递减区间是( )
A. (0,1)B. (0,+∞)
C. (1,+∞)D. (−∞,0)∪(1,+∞)
3.已知椭圆C：x29+y25=1，F1，F2分别是椭圆C的焦点，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AB|=4，则|AF2|+|BF2|=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4.圆(x−2)2+(y+1)2=4与圆(x+2)2+(y−2)2=9的公切线有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
5.在数列{an}中，an=1−1an−1(n≥2)，a1=2，则a10=( )
A. 2B. 12C. −12D. −1
6.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，AB=a，AD=b，AA1=c，则D1E=( )
A. a−12b+c
B. a−12b−c
C. a+32b+c
D. 12a+12b−c
7.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，n∈N*，都有SnTn=2n+34n−3，则a8b8的值为( )
A. 3765B. 1929C. 919D. 1119
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2的直线交双曲线C右支于A，B两点，且|AF2|=3|F2B|，|AB|=|AF1|，则C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )
A. 函数f(x)在x=−2处取得极大值
B. 函数f(x)在x=1处取得极值
C. 函数f(x)在区间(−2,3)上单调递减
D. 函数f(x)的图象在x=0处的切线斜率大于零
10.已知直线l：mx−y+2−4m=0(m∈R)与圆D：x2+y2−2x−24=0交于A，B两点，则( )
A. 圆D的面积为25πB. l过定点(4,2)
C. △ABD面积的最大值为2 39D. 4 3≤|AB|≤10
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是AC的中点，点Q满足B1Q=λB1C，λ∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A. PQ/​/平面A1C1D
B. PQ与A1D所成角的取值范围为(π6,π2]
C. |AQ|+|C1Q|的最小值为2+ 2
D. 三棱锥B−PCQ外接球体积的最小值为4π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线y=3x2的焦点到准线的距离为______．
13.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为______
14.已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=lnx+2的公切线，则a+b的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4=7，S5=3a2+16．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=1an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知圆C经过A(5,1)，B(−1,−7)两点，且圆心C在直线l：x+y+1=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点A的直线l0被圆C截得的弦长为8，求直线l0的方程．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为6的等边三角形，CC1=6，∠ACC1=60°，D，E分别是线段AC，CC1的中点，平面ABC⊥平面C1CAA1．
(1)求证：A1C⊥平面BDE；
(2)若点P为线段B1C1上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为y=c(exc+e−xc)2，其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数ch(x)=ex+e−x2，类似地我们可以定义双曲正弦函数sh(x)=ex−e−x2.它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，(sinx)′=csx，(csx)′=−sinx，请写出sh(x)，ch(x)具有的类似的性质(不需要证明)；
(2)当x>0时，sh(x)>ax恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求f(x)=ch(x)−csx−x2的最小值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2 3，左、右顶点分别为A，B，过点M(−12,0)的直线与椭圆相交于不同的两点P，Q(异于A，B)，且AM=35MB．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AP，QB的斜率分别为k1，k2，且k1=λk2，求λ的值；
(3)设△PQA和△PQB的面积分别为S1，S2，求|S1−S2|的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由l1//l2，则有3×3−3m(m−2)=0，且3m×m≠1×3，
解得m=3．
故选：B．
写出两条直线平行的充要条件，可得m的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：函数y=x−lnx的导数为y=1−1x，
令y′=1−1x<0，得x<1
∴结合函数的定义域，得当x∈(0,1)时，函数为单调减函数．
因此，函数y=x−lnx的单调递减区间是(0,1)
故选：A．
求出函数的导数为y′，再解y′<0得x的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．
本题给出含有对数的基本函数，求函数的减区间，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：椭圆方程为x29+y25=1，
∴a=3，b= 5，c=2，
由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=6，|BF1|+|BF2|=6，
又|AF1|+|BF1|=|AB|=4，
∴|AF2|+|BF2|=8．
故选：D．
根据椭圆的定义可求|AF1|+|AF2|，|BF1|+|BF2|，结合条件可求|AF2|+|BF2|.
本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：圆(x−2)2+(y+1)2=4的圆心为A(2,−1)，半径为r=2，
圆(x+2)2+(y−2)2=9的圆心为B(−2,2)，半径为R=3，
∵|AB|= (2+2)2+(−1−2)2=5=r+R，故两圆外切，
∴圆(x−2)2+(y+1)2=4与圆(x+2)2+(y−2)2=9的公切线有3条．
故选：C．
根据已知条件，结合两圆的位置关系，即可求解．
本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意，a1=2，a2=1−1a1=12，a3=1−1a2=−1，a4=1−1a3=2，
故数列{an}的周期为3，
故a10=a7=a4=a1=2．
故选：A．
逐项计算，再根据数列的周期性求解即可．
本题主要考查了数列的递推式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：在平行六面体中，CC1=AA1，D1C1=AB，BC=AD，
又因为AB=a，AD=b，AA1=c，
由题意可知，D1E=D1C1+C1C+12CB=a+c−12b．
故选：A．
在平行六面体中，可知相等向量，再由向量的加法，可得D1E的表达式．
本题考查向量的运算性质的应用及平行六面体的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn且SnTn=2n+34n−3，
所以a8b8=2a82b8=a1+a15b1+b15=15×(a1+a15)215×(b1+b15)2=S15T15=2×15+34×15−3=1119．
故选：D．
利用等差数列的性质与前n项和公式即可得解．
本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
8.【答案】A
【解析】解：由已知可设|F2B|=n，则|AF2|=3n，|AF1|=|AB|=4n，
由双曲线的定义有2a=|AF1|−|AF2|=n，
所以|BF1|=2a+|BF2|=4a，|AB|=8a，
在△AF1B中，cs∠F1BA=12|BF1||AB|=2a8a=14，
在△BF1F2中，由余弦定理得4a2+16a2−2⋅2a⋅4a⋅14=4c2，
解得c2=4a2，即ca=2，双曲线C的离心率为2．
故选：A．
由题意及双曲线的定义可求得cs∠F1BA，在△BF1F2中，由余弦定理可得a与c的关系，可求得离心率e=ca．
本题主要考查了双曲线定义和简单性质，主要考查了离心率的求法，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：结合函数图象可知，当x<−2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当−2故x=−2时，函数取得极大值，A正确，B错误，C正确，D错误．
故选：AC．
利用导数与单调性及及值关系检验各选项即可判断．
本题主要考查了导数与单调性及及值关系的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：圆D：x2+y2−2x−24=0的圆心D(1,0)，半径r=5，圆的面积为πr2=25π，故A正确；
直线l：mx−y+2−4m=0(m∈R)，即为m(x−4)+2−y=0，由x−4=02−y=0，解得x=4y=2，可得直线l恒过定点P(4,2)，故B正确；
△ABD面积为S=12|AD|⋅|BD|⋅sin∠ADB=252sin∠ADB，若∠ADB=π2，可得圆心到直线l的距离为5 22，
由5 22=|m−0+2−4m| 1+m2，解得m=−1或−177，则△ABD面积最大值为252，故C错误；
直线l恒过定点P(4,2)，且P在圆D内，则|AB|的最大值为2r=10，最小值为2 25−|PD|2=2 25−13=4 3，故D正确．
故选：ABD．
求得圆D的圆心和半径，以及直线l恒过的定点P(4,2)，对各个选项一一判断可得结论．
本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：选项A，连接AB1，
∵AC/​/A1C1，AC⊂平面ACB1，A1C1⊄平面ACB1，
∴A1C1/​/平面ACB1，同理可得A1D//平面ACB1，
∵A1C1∩A1D=A1，A1D⊂平面A1C1D，A1C1⊂平面A1C1D，
∴平面A1C1D/​/平面ACB1，PQ⊂平面ACB1，
∴PQ/​/平面A1C1D，则选项A正确；
选项B，连接B1P，如下图，
∵A1D/​/B1C，∴PQ与A1D所成角就是PQ与B1C所成的角，
∵Q为线段B1C上的点，且不包括端点，PQ与B1C所成的角的最大值为π2，
B1P= 6,PC= 2,B1C=2 2，则B1P2+PC2=B1C2，即B1P⊥PC，
∴∠PB1C=π6,∠B1CP=π3，∴PQ与B1C所成的角的最小值为π6，但是取不到，
∴PQ与B1C所成的角的取值范围为(π6,π2]，即PQ与A1D所成角的取值范围为(π6,π2]，则B正确；
选项C，将平面B1AC和平面C1B1C展开在同一平面内，连接AC1角B1C于点Q，如下图，
此时|AQ|+|C1Q|有最小值|AC1|，
而△C1B1A≅△C1CA，
∴Q为B1C的中点，∴|AC1|=|AQ|+|C1Q|= 6+ 2，则C错误；
选项D，由已知得VB−PCQ=VQ−PBC，
作BC的中点E，连接PE，PB、QE，
∵PC⊥PB，∴PE=EB=EC，
∵三棱锥B−PCQ外接球体积最小，∴Q在PQ⊥QC处，
∴QE=BE=EC，
∴点E为三棱锥B−PCQ外接球的球心，
∴R=BE=12BC=1，
∴三棱锥B−PCQ外接球体积的最小值为V=43πR3=43π，则D正确．
故选：ABD．
根据面面平行的性质判定选项A；通过异面直线所成角的定义可知，PQ与A1D所成角即为PQ与B1C所成的角，在Rt△B1PC即可确定PQ与A1D所成角的取值范围，可判断选项B；将平面B1AC和平面C1B1C展开在同一平面内，即可求出|AQ|+|C1Q|的最小值，可判断选项C；由VB−PCQ=VQ−PBC和外接球体积最小即可确定球心的位置，利用球的体积公式求解，可判断选项D．
本题考查了立体几何的综合应用，属于难题．
12.【答案】16
【解析】解：抛物线的标准方程为x2=13y，
所以2p=13，即p=16，
所以焦点到准线的距离为p=16．
故答案为：16．
求出抛物线的标准方程，可得p的值，进而求出焦点到准线的距离的大小．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】3
【解析】解：设塔的顶层共有a1盏灯，
则数列{an}公比为2的等比数列，
∴S7=a1(1−27)1−2=381，
解得a1=3．
故答案为：3．
设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】2
【解析】解：设(t,et)是f(x)图像上的一点，f′(x)=ex，
所以f(x)在点(t,et)处的切线方程为y−et=et(x−t)，y=etx+(1−t)et①，
令g′(x)=1x=et，解得x=e−t，
g(e−t)=lne−t+2=2−t，所以2−t−ete−t−t=et，
1−t=(1−t)et，所以t=0或t=1(此时①为y=ex，b=0，不符合题意，舍去)，
所以t=0，此时①可化为y−1=1×(x−0)，y=x+1，
所以a+b=1+1=2．
故答案为：2．
由f(x)求得切线方程，结合该切线也是g(x)的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y=ax+b，从而求得正确答案．
本题考查利用导数求函数的切线，方程思想，化归转化思想，属中档题．
15.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
依题意得a1+3d=75a1+10d=3(a1+d)+16，
解得a1=1d=2，
所以数列{an}的通项公式是an=a1+(n−1)d=2n−1；
(2)由(1)知，bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Tn=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．
【解析】(1)利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出；
(2)利用“裂项相消求和”方法即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式和裂项相消求和，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为圆心C在直线l1：x+y+1=0上，所以设C(a,−a−1)．
又因为圆C经过点A(5,1)，B(−1,−7)，
所以(5−a)2+(−1−a−1)2=(a+1)2+(−1−a+7)2，解得a=2，即圆心C(2,−3)．
半径r= (5−2)2+(−3−1)2=5，因此圆C的标准方程为(x−2)2+(y+3)2=25；
(2)因为直线l0被圆C所截得的弦长为8，所以由垂径定理得圆心C(2,−3)到直线l0的距离为 52−42=3．
①当直线l0的斜率不存在时，直线l2：x=5满足要求；
②当直线l0的斜率存在时，不妨设直线l0的方程为y−1=k(x−5)，即kx−y−5k+1=0，
由圆心C(2,−3)到直线l0的距离d=|2k+3−5k+1| k2+1=3，解得k=724，因此直线l0的方程为7x−24y−11=0．
综上所述，直线l0的方程为7x−24y−11=0或x=5．
【解析】(1)设C(a,−a−1).圆C经过点A(5,1)，B(−1,−7)，列出方程转化求解圆心与半径，即可得到圆的方程．
(2)求解圆心C(2,−3)到直线l0的距离．①当直线l0的斜率不存在时，直线l2：x=5满足要求．②当直线l0的斜率存在时，即kx−y−5k+1=0，由圆心C(2,−3)到直线l0的距离，解得k=724，即可得到直线l0的方程．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
17.【答案】(1)证明：如图，

连接AC1，四边形CC1A1A是菱形，
则A1C⊥AC1，又D，E分别为AC，CC1的中点，
所以DE/​/AC1，
故A 1C⊥DE，又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
则BD⊥AC，又平面ABC⊥平面CC1A1A，平面ABC∩平面CC1A1A=AC，BD⊂平面ABC，
所以BD⊥平面CC1A1A，又A1C⊂平面CC1A1A，
故BD⊥A1C，又A1C⊥DE，BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，
所以A1C⊥平面BDE；
(2)解：AC=CC1=6,∠ACC1=60°,△C1CA为等边三角形，
D是AC的中点，则C1D⊥AC，由(1)得BD⊥平面CC1A1A，
以D为原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0),B(3 3,0,0),C1(0,0,3 3),C(0,−3,0),A1(0,6,3 3)，
C1P=12CB=(3 32,32,0)，则P(3 32,32,3 3)，
所以DB=(3 3,0,0),DP=(3 32,32,3 3)，
设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DB=3 3x=0，且n⋅DP=3 32x+32y+3 3z=0，
取z=1，所以n=(0,−2 3,1)，
由(1)得m=CA1=(0,9,3 3)是平面BDE的一个法向量，
|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=15 36 3× 13=5 1326，
即平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值为5 1326．
【解析】(1)连接AC1，根据已知可得A1C⊥DE，BD⊥AC，再由面面垂直的性质有BD⊥A1C，最后利用线面垂直的判定证结论：
(2)由题设，构建空间直角坐标系，向量法求面面角的余弦值．
本题考查了线面垂直的证明，空间垂直的转化，面面角的向量求法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)求导易知(sh(x))′=ch(x)，(ch(x))′=sh(x)．
(2)构造函数F(x)=sh(x)−ax，x∈[0,+∞)，由(1)可知F′(x)=ch(x)−a，
①当a≤1时，由ch(x)=ex+e−x2≥ ex⋅e−x=1≥a，
可知，F′(x)≥0，故F(x)单调递增，
此时F(x)≥F(0)=0，故对任意x>0，sh(x)>ax恒成立，满足题意；
②当a>1时，令G(x)=F′(x)，x∈[0,+∞)，
则G′(x)=sh(x)≥0，可知G(x)单调递增，
由G(0)=1−a<0与G(ln(2a))=14a>0可知，
存在唯一x0∈(0,ln(2a))，使得G(x0)=0，
故当x∈(0,x0)时，F′(x)=G(x)则F(x)在(0,x0)内单调递减，
故对任意x∈(0,x0)，F(x)综上所述，实数a的取值范围为(−∞,1]．
(3)f(x)=ch(x)−csx−x2，f′(x)=sh(x)+sinx−2x，
令g(x)=f′(x)，则g′(x)=ch(x)+csx−2；
令h(x)=g′(x)，则h′(x)=sh(x)−sinx，
当x∈[0,+∞)时，由(2)可知，sh(x)≥x，
则h′(x)=sh(x)−sinx≥x−sinx，
令u(x)=x−sinx，则u′(x)=1−csx≥0，故u(x)在[0,+∞)内单调递增，
则h′(x)≥u(x)≥u(0)=0，故h(x)在[0,+∞)内单调递增，
则g′(x)=h(x)≥h(0)=0，故g(x)在[0,+∞)内单调递增，
则f′(x)=g(x)≥g(0)=0，故f(x)在[0,+∞)内单调递增，
因为f(−x)=ch(−x)−cs(−x)−(−x)2=chx−csx−x2=f(x)，
即f(x)为偶函数，故f(x)在(−∞,0]内单调递减，
则f(x)min=f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最小值0．
【解析】(1)求导即可得结论；
(2)构造函数F(x)=sh(x)−ax，求导，并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解；
(3)多次求导最终判断函数f(x)单调在[0,+∞)内单调递增，且函数为偶函数从而确定最小值．
本题主要考查函数恒成立问题，考查类比推理，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意知，2c= 3，所以c= 3，设A(−a,0)，B(a,0)，
由M(−12,0)，得AM=(−12+a,0)，MB=(a+12,0)，
因为AM=35MB，所以−12+a=35(a+12)，整理得，25a=45，解得a=2，
所以b= a2−c2=1，椭圆C的标准方程为x24+y2=1．
(2)由题意知，点M(−12,0)在椭圆内，直线PQ与椭圆相交，
且直线PQ的斜率可以不存在，但不为0，
设直线PQ的方程为x=ty−12，点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，
由x=ty−12x2+4y2=4，消去x，整理得4(t2+4)y2−4ty−15=0，
由根与系数的关系知，y1+y2=tt2+4，y1y2=−154(t2+4)，所以y1y2=−154t(y1+y2)，
计算k1k2=y1x1+2⋅x2−2y2=(ty2−12−2)y1(ty1−12+2)y2=ty1y2−52y1ty1y2+32y2=−154(y1+y2)−52y1−154(y1+y2)+32y2=−54(5y1+3y2)−34(5y1+3y2)=53，
即k1=53k2，所以λ的值为53．
(3)由题意，计算|S1−S2|=12×||AM|−|BM||×|y1−y2|=12× (y1+y2)2−4y1y2
=12 (tt2+4)2+15t2+4= 4t2+15t2+4
=4 4t2+15(4t2+15)+1=4 4t2+15+1 4t2+15，
因为t2≥0，所以 4t2+15≥ 15，
因为函数f(x)=x+1x在[ 15,+∞)上单调递增，所以 4t2+15+1 4t2+15≥ 15+1 15=16 15，当且仅当t=0时等号成立；
所以|S1−S2|≤416 15= 154，当且仅当t=0时等号成立，
因此，|S1−S2|的最大值为 154．
【解析】(1)由题意求出c，a和b，即可得出椭圆C的标准方程．
(2)由点M在椭圆内，直线PQ与椭圆相交，可设直线PQ的方程为x=ty−12，与椭圆方程联立，消去x，得关于y得二次方程，利用根与系数的关系求出λ的值．
(3)由题意计算|S1−S2|的解析式，利用基本不等式即可求出最大值．
本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了推理与运算能力和转化思想，是难题．