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2024年云南省昆明八中长城红鑫校区中考数学诊断试卷（四）（含解析）
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这是一份2024年云南省昆明八中长城红鑫校区中考数学诊断试卷（四）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，八年级抽取成绩的平均数等内容，欢迎下载使用。
1.四个实数−13，0，2， 3中，最大的数是( )
A. −13B. 0C. 2D. 3
2.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.我国自主研发的500m口径球面射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为2500000m2.用科学记数法表示数据250000为( )
A. 0.25×106B. 25×104C. 2.5×104D. 2.5×105
4.若分式1x+5在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠−5B. x≠0C. x≠5D. x>−5
5.下列计算结果，正确的是( )
A. (a2)3=a5B. 8=3 2C. 38=2D. cs30°=12
6.如图，已知AB//CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE.若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是( )
A. OA=OB
B. OA⊥OB
C. OA=OC
D. ∠OBA=∠OBC
8.一个正多边形的内角和为1080°，则这个正多边形的每个外角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 80°
9.不等式组2x≥x−1x+12>2x3的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
10.△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是( )
A. 54B. 36C. 27D. 21
11.已知关于x的一元二次方程kx2−(2k−1)x+k−2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k>−14B. k<14C. k>−14且k≠0D. k<14且k≠0
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=5，则tanB的值为( )
A. 513B. 1213C. 512D. 125
13.根据如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断反比例函数y=ax与一次函数y=bx+c的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
14.“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h，则依题意可列方程为( )
A. 63x+13=104xB. 63x+20=104xC. 63x−104x=13D. 63x−104x=20
15.如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为( )
A. 23π− 32
B. 23π− 3
C. 43π−2 3
D. 43π− 3
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.分解因式：2a2−4a+2= ．
17.在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−3,2)和B(m,−2)，则m的值为______．
18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC=140°那么∠CDE= ______°.
19.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为12，则四边形DBCE的面积为______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
20.先化简，再求值：a2+aa2−2a+1÷(2a−1−1a)，其中a=(13)−1−(−2)0．
四、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE．
22.(本小题7分)
某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
(数据分成5组，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)
b：七年级抽取成绩在70≤x<80这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，
77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
请结合以上信息完成下列问题：
(1)七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是______，并补全频数分布直方图；
(2)表中m的值为______；
(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______(填“甲”或“乙”)的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
23.(本小题6分)
“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
(1)甲每次做出“石头”手势的概率为____；
(2)用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
24.(本小题8分)
“人间烟火气，最抚凡人心.”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度.某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
(1)求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
(2)若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元.结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的23.两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
25.(本小题8分)
如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，点B的对应点为B′，B′C交AD于E点．AF//CB′交BC于F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB=4，BC=8，求EC的长．
26.(本小题8分)
已知关于x的二次函数y=mx2+(3m+1)x+3．
(1)求证：不论m为任何实数，方程mx2+(3m+1)x+3=0有实数根；
(2)若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，m为正整数，点P(x1,y1)与Q(x1+n,y2)在抛物线上(点P，Q不重合)，且y1=y2，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值．
27.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是Rt△ABC外接圆上的一点，且∠ACP=45°．
(1)如图1，求证：AP=BP；
(2)如图2，连接BP，AP.点M为弧AP上一点，过P作PD⊥BM于D点，求证：BD=MD+AM；
(3)如图3，点Q是AP上一动点(不与A，P重合)，连PQ，AQ，BQ.求BQ−AQPQ的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−13<0< 3<2，
∴在实数−13，0，2， 3中，最大的数是2，
故选：C．
根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．
本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．
2.【答案】D
【解析】解：这个组合体的左视图如下：
故选：D．
根据简单组合体的三视图的画法画出它的左视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提．
3.【答案】D
【解析】解：250000=2.5×105，
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：根据分式成立的条件，可得：x+5≠0，
∴x≠−5，
故选：A．
根据分式成立的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式成立的条件是分母不能为零是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A.(a2)=a6，所以A选项不符合题意；
B. 8= 4×2=2 2，所以B选项不符合题意；
C.38=2，所以C选项符合题意；
D.cs30°= 32，所以D选项不符合题意；
故选：C．
根据幂的乘方的运算法则对A选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据立方根对C选项进行判断；根据特殊角的三角函数值对D选项进行判断．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了幂的乘方与积的乘方．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C=20°，∠AEC=50°，
∴∠AEC=∠C+∠D，即50°=20°+∠D，
∴∠D=30°，
∵AB//CD，
∴∠A=∠D=30°．
故选：C．
由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠A的度数．
此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
故选：C．
由平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设它是n边形，则
(n−2)⋅180°=1080°，
解得n=8．
360°÷8=45°，
故选：B．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．
本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：2x≥x−1①x+12>2x3②，
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x<3，
∴原不等式组的解集为：−1≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质的应用是解题关键．
设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；
【解答】
解：设2对应的边是x，3对应的边是y，
∵△ABC∽△DEF，
∴2x=3y=412，
∴x=6，y=9，
∴△DEF的周长是27；
故选：C．
11.【答案】C
【解析】解：根据题意得：k≠0且Δ=−(2k−1)2−4k(k−2)>0，
解得：k>−14且k≠0．
故选：C．
利用一元二次方程的定义和判别式与根的关系可得：k≠0且Δ=−(2k−1)2−4k(k−2)>0，再求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
12.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，
tanB=ACBC=512，
故选：C．
根据正切函数的定义tanB=∠B的对边∠B的邻边求解即可．
本题考查三角函数，熟练掌握正切三角函数的定义：tanB=∠B的对边∠B的邻边是解题的关键．
13.【答案】A
【解析】解：由二次函数图象可知a>0，c<0，
由对称轴x=−b2a>0，可知b<0，
所以反比例函数y=ax的图象在一、三象限，一次函数y=bx+c经过二、三、四象限．
故选：A．
先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y=ax与一次函数y=bx+c的图象经过的象限即可．
本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
14.【答案】A
【解析】解：由题意可知，甲的速度为3x km/h，则乙的速度为4x km/h，
63x+2060=104x，
即63x+13=104x，
故选：A．
根据甲、乙的速度比是3：4，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前20min到达基地，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
15.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查扇形面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB= 3，进而求出阴影部分的面积．
【解答】
解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，
由题意可知：∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=BO=2
∴S扇形AOB=60π×22360=23π，
∵OC⊥AB，
∴∠OCA=90°，AC=1，
∴OC= 3，
∴S△AOB=12×2× 3= 3，
∴阴影部分的面积为：23π− 3，
故选：B．
16.【答案】2a−12
【解析】【分析】
此题主要考查了运用提取公因式法与公式法因式分解，首先提取公因式2，根据完全平方公式正确的分解因式是解决问题的关键．
【解答】
解：原式=2a2−2a+1=2a−12．
故答案为2a−12.
17.【答案】3
【解析】解：∵函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−3,2)，
∴k=−3×2=−6，
∴反比例函数的关系式为y=−6x，
又∵B(m,−2)在反比例函数的关系式为y=−6x的图象上，
∴m=−6−2=3，
故答案为：3．
将点A(−3,2)代入反比例函数y=kx可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点B(m,−2)代入计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
18.【答案】70
【解析】解：∵∠CDE+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠B，
∵∠B=12∠AOC=12×140°=70°，
∴∠CDE=70°．
故答案为：70．
由圆内接四边形的性质，得到∠B+∠ADC=180°，由邻补角的性质得到∠CDE+∠ADC=180°，因此∠CDE=∠B，由圆周角定理求出∠B=70°，得到∠CDE=70°．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是由圆内接四边形的性质推出∠CDE=∠B．
19.【答案】32
【解析】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=(12)2=14，
∵△ADE的面积为12，
∴△ABC的面积为2，
∴四边形DBCE的面积=2−12=32，
故答案为：32．
根据三角形中位线定理得到DE//BC，DE=12BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
20.【答案】解：a2+aa2−2a+1÷(2a−1−1a)
=a(a+1)(a−1)2÷2a−(a−1)a(a−1)
=a(a+1)(a−1)2⋅a(a−1)2a−a+1
=a(a+1)a−1⋅aa+1
=a2a−1，
当a=(13)−1−(−2)0=3−1=2时，原式=222−1=4．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
AB=DC∠B=∠CBF=CE
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴AF=DE．
【解析】本题考查了全等三角形的判定及性质；证明两边相等时，如果这两边不在同一个三角形中，通常是证明它们所在的三角形全等来证明它们相等，是一种很重要的方法．
要证明AF=DE，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABF≌△DCE，已知两边(由BE=CF得出BF=CE，AB=DC)及夹角(∠B=∠C)，由SAS可以证明．
22.【答案】解：(1)38．
频数直方图如图所示：
(2) 77；
(3)甲；
(4)400×850=64(人)，
即估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数为64．
【解析】【分析】
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
(1)根据各组人数求出60≤x<90的人数，并补全频数分布直方图；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断；
(4)用400乘样本中竞赛成绩90分及以上人数所占比例可得．
【解答】
解：(1)成绩在70≤x<80的人数为50−4−12−10−8=16(人)
成绩在60≤x<90的人数为12+16+10=38(人)，
故答案为：38，补全频数分布直方图见答案；
(2)第25，26名学生的成绩分别为77，77，所以m=77+772=77，
故答案为：77；
(3)∵78大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数．
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
故答案为：甲；
(4)见答案．
23.【答案】解：(1)13;
(2)画树状图得：
共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，
则乙不输的概率是69=23．
【解析】【分析】
本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】
解：(1)甲每次做出“石头”手势的概率为13；
故答案为：13；
(2)见答案．
24.【答案】解：(1)设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：5x+3y=1148x+6y=204，
解得：x=12y=18．
答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
(2)设购进腊梅m束，则购进百合(80−m)束，
根据题意得：12m+18(80−m)≤126080−m≥23m，
解得：30≤m≤48，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，则w=(20−12)m+(30−18)(80−m)，
即w=−4m+960，
∵−4<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=30时，w取得最小值，最小值=−4×30+960=840(元)，此时80−m=80−30=50(束)．
答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元．
【解析】(1)设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据“购进腊梅5束，百合3束，需要114元；购进腊梅8束，百合6束，需要204元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进腊梅m束，则购进百合(80−m)束，根据“购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的23”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每束花的销售利润×销售数量(购进数量)，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
25.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
由题意得：∠BCA=∠B′CA，
∴∠DAC=∠B′CA，
∴EA=EC，
∵AD//BC，AF//CE，
∴四边形AFCE为平行四边形．
又EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形．
(2)如图，在矩形ABCD中，∠ADC=∠AB′C=90°，AD=BC=B′C=8，AB=AB′=4，
设AE=CE=x，则EB′=(8−x)，
在Rt△AB′E中，∠AB′E=90°，AB′=4，
由勾股定理得：AB′2+B′E2=AE2，
即42+(8−x)2=x2，
∴x=5．
∴EC=5．
【解析】(1)在矩形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，可得∠DAC=∠BCA，根据题意可得EA=EC，再由题意可得四边形AFCE为平行四边形，即可求解；
(2)设AE=CE=x，则EB′=(8−x)，根据题意应用勾股定理即可求解．
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，翻折变换的性质，熟练掌握菱形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵函数y=mx2+(3m+1)x+3为二次函数，
∴m≠0，
∵Δ=(3m+1)2−12m=(3m−1)2≥0，
∴方程mx2+(3m+1)x+3=0总有实数根；
(2)解：令y=0，mx2+(3m+1)x+3=0，
解得x1=−3，x2=−1m，
∴抛物线与x轴的交点为(−3,0)，(−1m,0)，
∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
∴m=1，
∴抛物线为y=x2+4x+3；
∵点P(x1,y1)与Q(x1+n,y2)在抛物线y=x2+4x+3上，
∴y1=x12+4x1+3，y2=(x1+n)2+4(x1+n)+3，
∵y1=y2，
∴x12+4x1+3=(x1+n)2+4(x1+n)+3，
整理得2x1n+n2+4n=0，
∴n(2x1+n+4)=0，
∵点P，Q不重合，
∴n≠0，
∴2x1=−n−4，
∴4x12+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+6n⋅2x1+5n2+16n+8=(n+4)2+6n(−n−4)+5n2+16n+8=24．
【解析】(1)先计算根的判别式的值得到Δ=(3m−1)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
(2)解方程mx2+(3m+1)x+3=0得到抛物线与x轴的交点为(−3,0)，(−1m,0)，由于抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，于是得到m=1，从而得到抛物线解析式；利用二次函数图象上点的坐标特征得到y1=x12+4x1+3，y2=(x1+n)2+4(x1+n)+3，则x12+4x1+3=(x1+n)2+4(x1+n)+3，变形得到n(2x1+n+4)=0，由于n≠0，所以2x1=−n−4，然后把4x12+12x1n+5n2+16n+8变形为(2x1)2+6n⋅2x1+5n2+16n+8，再利用整体代入的方法化简代数式即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
27.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∴∠APB=90°，
∵AP=AP，
∴∠ACP=∠ABP=45°，
∴∠ABP=∠BAP=45°，
∴AP=BP；
(2)证明：作PE⊥AM，交AM的延长线于E，如图2，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∴∠AMB=90°，
∵PD⊥BM，
∴四边形PDME为矩形，
在△PBD和△PAE中，
∠PDB=∠PEA∠PBD=∠PAEPB=PA，
∴△PBD≌△PAE(AAS)，
∴PD=PE，BD=AE，
∴四边形PDME为正方形，
∴MD=ME，
∴BD=AE=ME+AM=MD+AM；
(3)解：作PD⊥BQ于D，如图3，
由(2)得BD=DQ+AQ，
∴BQ−AQ=BD+DQ−AQ=DQ+AQ+DQ−AQ=2DQ，
∴BQ−AQPQ=2DQPQ，
∵∠ACB=90°，∠ACP=45°，
∴∠BCP=45°
∴∠PQB=∠PAB=45°，
∴△PDQ为等腰直角三角形，
∴PQ= 2DQ，
∴BQ−AQPQ=2DQPQ=2DQ 2DQ= 2．
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质可得出结论；
(2)作PE⊥AM，交AM的延长线于E，如图2，证明△PBD≌△PAE(AAS)，由全等三角形的性质可得出PD=PE，BD=AE，证出四边形PDME为正方形，得出MD=ME，则可得出结论；
(3)作PD⊥BQ于D，如图3，由(2)得BD=DQ+AQ，证出△PDQ为等腰直角三角形，得出PQ= 2DQ，则可得出答案．
本题考是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长是解题的关键．年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79
1.四个实数−13，0，2， 3中，最大的数是( )
A. −13B. 0C. 2D. 3
2.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.我国自主研发的500m口径球面射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为2500000m2.用科学记数法表示数据250000为( )
A. 0.25×106B. 25×104C. 2.5×104D. 2.5×105
4.若分式1x+5在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠−5B. x≠0C. x≠5D. x>−5
5.下列计算结果，正确的是( )
A. (a2)3=a5B. 8=3 2C. 38=2D. cs30°=12
6.如图，已知AB//CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE.若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A=( )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是( )
A. OA=OB
B. OA⊥OB
C. OA=OC
D. ∠OBA=∠OBC
8.一个正多边形的内角和为1080°，则这个正多边形的每个外角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 80°
9.不等式组2x≥x−1x+12>2x3的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
10.△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是( )
A. 54B. 36C. 27D. 21
11.已知关于x的一元二次方程kx2−(2k−1)x+k−2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k>−14B. k<14C. k>−14且k≠0D. k<14且k≠0
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=5，则tanB的值为( )
A. 513B. 1213C. 512D. 125
13.根据如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断反比例函数y=ax与一次函数y=bx+c的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
14.“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h，则依题意可列方程为( )
A. 63x+13=104xB. 63x+20=104xC. 63x−104x=13D. 63x−104x=20
15.如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为( )
A. 23π− 32
B. 23π− 3
C. 43π−2 3
D. 43π− 3
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.分解因式：2a2−4a+2= ．
17.在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−3,2)和B(m,−2)，则m的值为______．
18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC=140°那么∠CDE= ______°.
19.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为12，则四边形DBCE的面积为______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
20.先化简，再求值：a2+aa2−2a+1÷(2a−1−1a)，其中a=(13)−1−(−2)0．
四、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE．
22.(本小题7分)
某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
(数据分成5组，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)
b：七年级抽取成绩在70≤x<80这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，
77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
请结合以上信息完成下列问题：
(1)七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是______，并补全频数分布直方图；
(2)表中m的值为______；
(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______(填“甲”或“乙”)的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
23.(本小题6分)
“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
(1)甲每次做出“石头”手势的概率为____；
(2)用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
24.(本小题8分)
“人间烟火气，最抚凡人心.”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度.某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
(1)求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
(2)若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元.结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的23.两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
25.(本小题8分)
如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，点B的对应点为B′，B′C交AD于E点．AF//CB′交BC于F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB=4，BC=8，求EC的长．
26.(本小题8分)
已知关于x的二次函数y=mx2+(3m+1)x+3．
(1)求证：不论m为任何实数，方程mx2+(3m+1)x+3=0有实数根；
(2)若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，m为正整数，点P(x1,y1)与Q(x1+n,y2)在抛物线上(点P，Q不重合)，且y1=y2，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值．
27.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是Rt△ABC外接圆上的一点，且∠ACP=45°．
(1)如图1，求证：AP=BP；
(2)如图2，连接BP，AP.点M为弧AP上一点，过P作PD⊥BM于D点，求证：BD=MD+AM；
(3)如图3，点Q是AP上一动点(不与A，P重合)，连PQ，AQ，BQ.求BQ−AQPQ的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−13<0< 3<2，
∴在实数−13，0，2， 3中，最大的数是2，
故选：C．
根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．
本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．
2.【答案】D
【解析】解：这个组合体的左视图如下：
故选：D．
根据简单组合体的三视图的画法画出它的左视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提．
3.【答案】D
【解析】解：250000=2.5×105，
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：根据分式成立的条件，可得：x+5≠0，
∴x≠−5，
故选：A．
根据分式成立的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式成立的条件是分母不能为零是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A.(a2)=a6，所以A选项不符合题意；
B. 8= 4×2=2 2，所以B选项不符合题意；
C.38=2，所以C选项符合题意；
D.cs30°= 32，所以D选项不符合题意；
故选：C．
根据幂的乘方的运算法则对A选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据立方根对C选项进行判断；根据特殊角的三角函数值对D选项进行判断．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了幂的乘方与积的乘方．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C=20°，∠AEC=50°，
∴∠AEC=∠C+∠D，即50°=20°+∠D，
∴∠D=30°，
∵AB//CD，
∴∠A=∠D=30°．
故选：C．
由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠A的度数．
此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
故选：C．
由平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设它是n边形，则
(n−2)⋅180°=1080°，
解得n=8．
360°÷8=45°，
故选：B．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．
本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：2x≥x−1①x+12>2x3②，
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x<3，
∴原不等式组的解集为：−1≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质的应用是解题关键．
设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；
【解答】
解：设2对应的边是x，3对应的边是y，
∵△ABC∽△DEF，
∴2x=3y=412，
∴x=6，y=9，
∴△DEF的周长是27；
故选：C．
11.【答案】C
【解析】解：根据题意得：k≠0且Δ=−(2k−1)2−4k(k−2)>0，
解得：k>−14且k≠0．
故选：C．
利用一元二次方程的定义和判别式与根的关系可得：k≠0且Δ=−(2k−1)2−4k(k−2)>0，再求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
12.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，
tanB=ACBC=512，
故选：C．
根据正切函数的定义tanB=∠B的对边∠B的邻边求解即可．
本题考查三角函数，熟练掌握正切三角函数的定义：tanB=∠B的对边∠B的邻边是解题的关键．
13.【答案】A
【解析】解：由二次函数图象可知a>0，c<0，
由对称轴x=−b2a>0，可知b<0，
所以反比例函数y=ax的图象在一、三象限，一次函数y=bx+c经过二、三、四象限．
故选：A．
先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y=ax与一次函数y=bx+c的图象经过的象限即可．
本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
14.【答案】A
【解析】解：由题意可知，甲的速度为3x km/h，则乙的速度为4x km/h，
63x+2060=104x，
即63x+13=104x，
故选：A．
根据甲、乙的速度比是3：4，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前20min到达基地，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
15.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查扇形面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB= 3，进而求出阴影部分的面积．
【解答】
解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，
由题意可知：∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=BO=2
∴S扇形AOB=60π×22360=23π，
∵OC⊥AB，
∴∠OCA=90°，AC=1，
∴OC= 3，
∴S△AOB=12×2× 3= 3，
∴阴影部分的面积为：23π− 3，
故选：B．
16.【答案】2a−12
【解析】【分析】
此题主要考查了运用提取公因式法与公式法因式分解，首先提取公因式2，根据完全平方公式正确的分解因式是解决问题的关键．
【解答】
解：原式=2a2−2a+1=2a−12．
故答案为2a−12.
17.【答案】3
【解析】解：∵函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−3,2)，
∴k=−3×2=−6，
∴反比例函数的关系式为y=−6x，
又∵B(m,−2)在反比例函数的关系式为y=−6x的图象上，
∴m=−6−2=3，
故答案为：3．
将点A(−3,2)代入反比例函数y=kx可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点B(m,−2)代入计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
18.【答案】70
【解析】解：∵∠CDE+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠B，
∵∠B=12∠AOC=12×140°=70°，
∴∠CDE=70°．
故答案为：70．
由圆内接四边形的性质，得到∠B+∠ADC=180°，由邻补角的性质得到∠CDE+∠ADC=180°，因此∠CDE=∠B，由圆周角定理求出∠B=70°，得到∠CDE=70°．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是由圆内接四边形的性质推出∠CDE=∠B．
19.【答案】32
【解析】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=(12)2=14，
∵△ADE的面积为12，
∴△ABC的面积为2，
∴四边形DBCE的面积=2−12=32，
故答案为：32．
根据三角形中位线定理得到DE//BC，DE=12BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
20.【答案】解：a2+aa2−2a+1÷(2a−1−1a)
=a(a+1)(a−1)2÷2a−(a−1)a(a−1)
=a(a+1)(a−1)2⋅a(a−1)2a−a+1
=a(a+1)a−1⋅aa+1
=a2a−1，
当a=(13)−1−(−2)0=3−1=2时，原式=222−1=4．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
AB=DC∠B=∠CBF=CE
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴AF=DE．
【解析】本题考查了全等三角形的判定及性质；证明两边相等时，如果这两边不在同一个三角形中，通常是证明它们所在的三角形全等来证明它们相等，是一种很重要的方法．
要证明AF=DE，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABF≌△DCE，已知两边(由BE=CF得出BF=CE，AB=DC)及夹角(∠B=∠C)，由SAS可以证明．
22.【答案】解：(1)38．
频数直方图如图所示：
(2) 77；
(3)甲；
(4)400×850=64(人)，
即估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数为64．
【解析】【分析】
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
(1)根据各组人数求出60≤x<90的人数，并补全频数分布直方图；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断；
(4)用400乘样本中竞赛成绩90分及以上人数所占比例可得．
【解答】
解：(1)成绩在70≤x<80的人数为50−4−12−10−8=16(人)
成绩在60≤x<90的人数为12+16+10=38(人)，
故答案为：38，补全频数分布直方图见答案；
(2)第25，26名学生的成绩分别为77，77，所以m=77+772=77，
故答案为：77；
(3)∵78大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数．
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
故答案为：甲；
(4)见答案．
23.【答案】解：(1)13;
(2)画树状图得：
共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，
则乙不输的概率是69=23．
【解析】【分析】
本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】
解：(1)甲每次做出“石头”手势的概率为13；
故答案为：13；
(2)见答案．
24.【答案】解：(1)设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：5x+3y=1148x+6y=204，
解得：x=12y=18．
答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
(2)设购进腊梅m束，则购进百合(80−m)束，
根据题意得：12m+18(80−m)≤126080−m≥23m，
解得：30≤m≤48，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，则w=(20−12)m+(30−18)(80−m)，
即w=−4m+960，
∵−4<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=30时，w取得最小值，最小值=−4×30+960=840(元)，此时80−m=80−30=50(束)．
答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元．
【解析】(1)设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据“购进腊梅5束，百合3束，需要114元；购进腊梅8束，百合6束，需要204元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进腊梅m束，则购进百合(80−m)束，根据“购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的23”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每束花的销售利润×销售数量(购进数量)，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
25.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
由题意得：∠BCA=∠B′CA，
∴∠DAC=∠B′CA，
∴EA=EC，
∵AD//BC，AF//CE，
∴四边形AFCE为平行四边形．
又EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形．
(2)如图，在矩形ABCD中，∠ADC=∠AB′C=90°，AD=BC=B′C=8，AB=AB′=4，
设AE=CE=x，则EB′=(8−x)，
在Rt△AB′E中，∠AB′E=90°，AB′=4，
由勾股定理得：AB′2+B′E2=AE2，
即42+(8−x)2=x2，
∴x=5．
∴EC=5．
【解析】(1)在矩形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，可得∠DAC=∠BCA，根据题意可得EA=EC，再由题意可得四边形AFCE为平行四边形，即可求解；
(2)设AE=CE=x，则EB′=(8−x)，根据题意应用勾股定理即可求解．
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，翻折变换的性质，熟练掌握菱形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵函数y=mx2+(3m+1)x+3为二次函数，
∴m≠0，
∵Δ=(3m+1)2−12m=(3m−1)2≥0，
∴方程mx2+(3m+1)x+3=0总有实数根；
(2)解：令y=0，mx2+(3m+1)x+3=0，
解得x1=−3，x2=−1m，
∴抛物线与x轴的交点为(−3,0)，(−1m,0)，
∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
∴m=1，
∴抛物线为y=x2+4x+3；
∵点P(x1,y1)与Q(x1+n,y2)在抛物线y=x2+4x+3上，
∴y1=x12+4x1+3，y2=(x1+n)2+4(x1+n)+3，
∵y1=y2，
∴x12+4x1+3=(x1+n)2+4(x1+n)+3，
整理得2x1n+n2+4n=0，
∴n(2x1+n+4)=0，
∵点P，Q不重合，
∴n≠0，
∴2x1=−n−4，
∴4x12+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+6n⋅2x1+5n2+16n+8=(n+4)2+6n(−n−4)+5n2+16n+8=24．
【解析】(1)先计算根的判别式的值得到Δ=(3m−1)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
(2)解方程mx2+(3m+1)x+3=0得到抛物线与x轴的交点为(−3,0)，(−1m,0)，由于抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，于是得到m=1，从而得到抛物线解析式；利用二次函数图象上点的坐标特征得到y1=x12+4x1+3，y2=(x1+n)2+4(x1+n)+3，则x12+4x1+3=(x1+n)2+4(x1+n)+3，变形得到n(2x1+n+4)=0，由于n≠0，所以2x1=−n−4，然后把4x12+12x1n+5n2+16n+8变形为(2x1)2+6n⋅2x1+5n2+16n+8，再利用整体代入的方法化简代数式即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
27.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∴∠APB=90°，
∵AP=AP，
∴∠ACP=∠ABP=45°，
∴∠ABP=∠BAP=45°，
∴AP=BP；
(2)证明：作PE⊥AM，交AM的延长线于E，如图2，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∴∠AMB=90°，
∵PD⊥BM，
∴四边形PDME为矩形，
在△PBD和△PAE中，
∠PDB=∠PEA∠PBD=∠PAEPB=PA，
∴△PBD≌△PAE(AAS)，
∴PD=PE，BD=AE，
∴四边形PDME为正方形，
∴MD=ME，
∴BD=AE=ME+AM=MD+AM；
(3)解：作PD⊥BQ于D，如图3，
由(2)得BD=DQ+AQ，
∴BQ−AQ=BD+DQ−AQ=DQ+AQ+DQ−AQ=2DQ，
∴BQ−AQPQ=2DQPQ，
∵∠ACB=90°，∠ACP=45°，
∴∠BCP=45°
∴∠PQB=∠PAB=45°，
∴△PDQ为等腰直角三角形，
∴PQ= 2DQ，
∴BQ−AQPQ=2DQPQ=2DQ 2DQ= 2．
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质可得出结论；
(2)作PE⊥AM，交AM的延长线于E，如图2，证明△PBD≌△PAE(AAS)，由全等三角形的性质可得出PD=PE，BD=AE，证出四边形PDME为正方形，得出MD=ME，则可得出结论；
(3)作PD⊥BQ于D，如图3，由(2)得BD=DQ+AQ，证出△PDQ为等腰直角三角形，得出PQ= 2DQ，则可得出答案．
本题考是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长是解题的关键．年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79
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