2023-2024学年陕西省安康市高新中学高三（下）月考数学试卷（理科）（2月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省安康市高新中学高三（下）月考数学试卷（理科）（2月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|x2≤x}，B={x|x3−x=0}，则( )
A. A⫋BB. A⫌BC. A=BD. A∩B=⌀
2.已知复数z满足zi−5=6i，则z的虚部为( )
A. 5B. −5C. 5iD. −5i
3.执行如图的程序框图，输出的结果为( )
A. (4,3)B. (6,5)C. (12,7)D. (30,11)
4.若函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的最小正周期为6π，则f(x)的图象的一条对称轴方程为( )
A. x=π2B. x=2π3C. x=πD. x=2π
5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4a1+a3=5，则a4a2=( )
A. 4B. 5C. 16D. 25
6.“5cs2α+5sin2α+1=0”是“tanα=−12”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.在区间[0,5]内随机取一个实数a，则关于x的不等式x2+(2−a)x−2a0,b>0)的右焦点为F，过F且与一条渐近线平行的直线与C的右支及另一条渐近线分别交于B，D两点，若FB=BD，则C的渐近线方程为( )
A. y=±2xB. y=± 3xC. y=±xD. y=± 2x
11.已知△ABC中，AB=6，C=π3，若△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则DA⋅DB的最大值为( )
A. −19825B. −9925C. −6625D. −3325
12.若函数f(x)=ex+λx(2−x)e1−x在(0,+∞)上没有零点，则实数λ的取值范围为( )
A. (−∞,−e3)∪(e39,+∞)B. (−e3,e39)
C. (−∞,−e)∪(e432,+∞)D. (−e,e432)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆锥的底面半径为1，体积为2 2π3，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为______．
14.已知数列{an}中，a1=1，且an+1(an+1)+1=0，则{an}的前12项和为______．
15.已知正实数m，n满足(m−1)(m+n)=(1+n)(1−n)，则m+n的最大值为______．
16.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线l：x=−12，直线l′：y=kx+m(k≠0)与抛物线C交于M，N两点，P为线段MN的中点，则下列说法中正确的为______.(填写所有正确说法的序号)
①若m=−k2，则以MN为直径的圆与l相交；
②若m=−2k，则OM⊥ON(O为坐标原点)；
③过点M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，若l1，l2交于点A，则AP⊥l；
④若|MN|=1，则点P到直线l的距离大于等于58．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinBsinA+sinAsinB−4csC=0．
(1)证明：a2+b2=2c2；
(2)若csB=sin2BsinAsinC，求csA的值．
18.(本小题12分)
如图所示，在三棱锥S−ABC中，SA=SC=AB2=2，AC=BC=2 2，SB=2 3.(1)求证：平面SAC⊥平面ABC；
(2)若DS=15BS，求直线CD与平面SAB所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了n(n≥2)次试验，假设小王每次试验成功的概率为p(0b>0)的离心率为 32，直线l过C的上顶点与右顶点且与圆O：x2+y2=45相切．
(1)求C的方程．
(2)过C上一点A(x0,y0)作圆O的两条切线l1，l2(均不与坐标轴垂直)，l1，l2与C的另一个交点分别为M(x1,y1)，N(x2,y2).证明：
①直线AM，AN的斜率之积为定值；
②x1+x2=0．
22.(本小题12分)
已知平面直角坐标系xOy中，直线l过坐标原点且倾斜角为α.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2−4ρsin(θ+π6)+1=0．
(Ⅰ)求l的极坐标方程以及C的直角坐标方程；
(Ⅱ)若α∈(0,π2)，l与C交于M，N两点，设|OM|+|ON|=λ|OM||ON|，求λ的最大值．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|x+m|+|2x−3|．
(Ⅰ)若m=2，求不等式f(x)>10的解集；
(Ⅱ)若对任意x≥3，不等式f(x)≤x2恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：依题意，A={x∈N|0≤x≤1}={0,1}，B={x|x3−x=0}={−1,0,1}，所以A⫋B．
故选：A．
解出集合A，B，再判断包含关系．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可得：z=5+6ii=6−5i，
所以z的虚部为−5．
故选：B．
根据复数的除法运算求z，进而可得结果．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：第一次循环：s=1×1=1，t=1+1=2，x=1，y=2，x−y=−1，不满足x−y>1，循环继续，
第二次循环：s=1×2=2，t=1+2=3，x=2，y=3，x−y=−1，不满足x−y>1，循环继续，
第三次循环：s=2×3=6，t=2+3=5，x=6，y=5，x−y=1，不满足x−y>1，循环继续，
第四次循环：s=6×5=30，t=6+5=11，x=30，y=11，x−y=19，满足x−y=1，跳出循环，
故输出的结果为(30,11)．
故选：D．
根据程序框图，依次求出每次循环，即可求解．
本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意可得函数的周期为T=2πω=6π，则ω=13，
所以f(x)=sin(13x−π6)，
令13x−π6=π2+kπ,k∈Z，解得x=2π+3kπ，k∈Z，故D正确．
故选：D．
利用周期求出ω的值，再根据正弦函数的对称性即可求解．
本题考查了正弦函数的对称性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
由S4a1+a3=a1+a2+a3+a4a1+a3=a1+a3+(a1+a3)qa1+a3=1+q=5，得q=4，
所以a4a2=q2=16．
故选：C．
根据a2+a4=(a1+a3)q可得S4a1+a3=1+q=5，从而q=4，进一步根据a4a2=q2进行求解即可．
本题考查等比数列的性质，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：5cs2α+5sin2α+1=0⇔5(cs2α−sin2α)+10sinαcsα+cs2α+sin2α=0
⇔3cs2α−2sin2α+5sinαcsα=0，
显然csα≠0，则2tan2α−5tanα−3=0，解得tanα=−12或tanα=3．
所以“5cs2α+5sin2α+1=0”是“tanα=−12”的必要不充分条件．
故选：B．
利用三角恒等变换得到tanα=−12或tanα=3，从而得到答案．
本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，x2+(2−a)x−2a