安徽省部分省示范高中2024届高三开学联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省部分省示范高中2024届高三开学联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知向量,,若,则实数m的值为( )
A.B.C.D.8
2．复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四像限
3．已知直线l与曲线在点处的切线垂直,则直线l的斜率为( )
A.B.1C.D.2
4．已知正项数列满足,则( )
A.B.C.D.
5．已知抛物线的准线为,点P,Q在抛物线C上,且线段PQ的中点为,则直线PQ的方程为( )
A.B.C.D.
6．近期,哈尔滨这座“冰城”火了,2024年元旦假期三天接待游客300多万人次,神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘,这些英雄的后代讲述着英雄的故事,让哈尔滨大放异彩.现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化,每个景点至少安排1人,则不同的安排方法种数是( )
A.240B.420C.540D.900
7．如图,AB为圆锥SO底面圆的一条直径,点C为线段SA的中点,现沿SA将圆锥SO的侧面展开,所得的平面图形中为直角三角形,若,则圆锥SO的表面积为( )
A.B.C.D.
8．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式,其定义如下:设,则A,B两点间的曼哈顿距离,已知,点N在圆上运动,若点P满足,则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.直线为图象的一条对称轴
B.点为图象的一个对称中心
C.将的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称
D.在上单调递增
10．已知棱长为2的正方体中,动点在棱上,记平面截正方体所得的截面图形为,则( )
A.平面平面
B.不存在点M,使得直线平面
C.的最小值为
D.的周长随着线段DM长度的增大而增大
11．已知函数的定义域均为R,其中的图象关于点中心对称,的图象关于直线对称,,,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知集合,,则________.
13．在中,,且,则的面积为________;若,则________.
14．已知椭圆的左､右焦点分别为,,过的直线与交于M,N两点,若,且,则C的离心率为________.
四、解答题
15．2023年12月28日,小米汽车举行了技术发布会,首款产品SU7揭开神秘面纱,引起了广大车迷爱好者的热议,为了了解车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否具有相关性,某车迷协会随机抽取了200名车迷朋友进行调查,所得数据统计如下表所示.
（1）请根据小概率值的独立性检验,分析车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否有关;
（2）用频率估计概率,随机抽取两名车迷作深度访谈,记其中愿意购置该款汽车的人数为X,求X的分布列与期望.
参考公式:,其中.
16．如图,在正四棱锥中,,点O是AC的中点,点P在棱SD上(异于端点).
（1）若点P是棱SD的中点,求证:平面平面PAC;
（2）若二面角的余弦值为,求线段SP的长.
17．已知双曲线的左､右焦点分别为,,点在上,且的面积为.
（1）求双曲线C的方程;
（2）记点A在x轴上的射影为点B,过点B的直线l与C交于M,N两点.探究:是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
18．已知函数,其中k,.
（1）若,讨论在上的单调性;
（2）若存在正数k,使得,,且时,,求的取值范围.
19．基本不等式可以推广到一般的情形:对于n个正数,,…,,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当时,等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质:
①;
②为单调数列,则称数列具有性质P.
（1）若,求数列的最小项;
（2）若,记,判断数列是否具有性质P,并说明理由;
（3）若,求证:数列具有性质P.
参考答案
1．答案：A
解析：由向量,,因为,可得,解得.
故选:A.
2．答案：D
解析：,
则在复平面内对应的点为,位于第四象限.
故选:D.
3．答案：C
解析：由函数,可得,
则,所以直线l的斜率为.
故选:C.
4．答案：B
解析：依题意,,则数列是以为公比的等比数列,因此,
所以.
故选:B
5．答案：A
解析：由抛物线的准线为,可得,可得,所以,
设,,可得,且,
两式相减,可得,
可得,所以直线PQ的方程为,
即.
故选:A.
6．答案：C
解析：若三个景点安排的人数之比为,则有种安排方法;
若三个景点安排的人数之比为,则有种安排方法;
若三个景点安排的人数之比为,则有种安排方法,
故不同的安排方法种数是.
故选:C.
7．答案：B
解析：如图所示,作出展开图,可得,为锐角,故,
由,可得,即为等边三角形,所以,
则圆锥的侧面积为,底面积,
所以圆锥SO的表面积为.
故选:B.
8．答案：D
解析：如图所示,由圆,可得,
则圆心,半径,
设,则,可得点P的轨迹为如下所示的正方形,
其中,,则,,
则,所以的最大值为.
故选:D.
9．答案：AC
解析：A:,故A正确;
B:,故B错误;
C:将函数的图象向右平移个单位长度后,得到,偶函数,故C正确;
D:因为,所以,则函数在上先增后减,故D错误.
故选:AC.
10．答案：ACD
解析：由于正方体的对角面相互垂直,故A正确;
当点M与重合时,直线平面,故B错误;
将四边形翻折至与四边形共面,则,故C正确;
当时,为,且的周长为.
当时,为四边形,且四边形的周长为.
当时,如图,过点作,易得,所以为四边形,
设,四边形的周长为,则,
所以,令,解得,
所以在上单调递增,所以的周长随着线段长度的增大而增大,故D正确.
故选:ACD.
11．答案：BD
解析：由题意知,,
所以,所以,所以A错误;
又由,因为关于点中心对称,
所以,,所以,
又因为,所以,
所以函数是以4为周期的周期函数,所以,所以B正确;
由,所以C错误;
因为,,,,
所以,所以,所以D正确.
故选:BD.
12．答案：
解析：因为,
又,所以.
故答案为:
13．答案：4,/
解析：设角A,B,C所对边分别为a,b,c,
因为,由正弦定理可得,
又因为,则,
所以的面积;
当时,则,即,
由余弦定理可得,即,
所以,.
故答案为:4;.
14．答案：
解析：如图所示,作,垂足为E,
因为,所以,点E为的中点,
所以,,
因为,所以,
所以,
所以,
所以,
在直角中,由勾股定理可得,
整理得到,即,
因为,解得.
故答案为:.
15．答案：（1）认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关.
（2）分布列见解析,数学期望为.
解析：（1）零假设为:车迷们对该款汽车的购买意愿与性别无关.
根据表中数据可得,
根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,
即认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关.
（2）由题意得,随机抽取到1名愿意购置该款汽车的车迷的概率为,
故,
所以,
,
故X的分布列为
(或)
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题意得,正四棱锥所有棱长均为,
因为P是SD的中点,所以,,
因为,且AP,平面PAC,所以平面PAC,
又因为平面SAD,所以平面平面PAC.
（2）如图,连接OB,易知OB,OC,OS两两垂直,分别以,,为x轴､y轴､z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则,,,,
所以,.
设,,则,
所以,所以.
设平面PAC的法向量为,则,
令,则,所以平面PAC的一个法向量为.
易知平面SAC的法向量为,
设二面角的平面角为,
则,
即,解得或(不合题意,舍去),
此时.
17．答案：（1）
（2）,为定值.
解析：（1）设双曲线的焦距为,
由题意得,,
解得,故双曲线C的方程为.
（2）由题意得,,
当直线MN的斜率为零时,则.
当直线MN的斜率不为零时,设直线MN的方程为,点,,
联立,整理得,
则,解得且,
所以,,
所以
.
综上,,为定值.
18．答案：（1）答案见解析.
（2）
解析：（1）由题意得,,,.
若,则,此时在上单调递增;
若,则,此时在上单调递增;
若,则,此时在上单调递减;
若,则当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递减.
（2）由题意得,,使得函数在上单调递减,
.
令,
问题即转化为:,,.
①当时,,且单调递增,
易知,,不合题意,舍去.
②当时,因为,
在上单调递增,在上单调递减,
.
即,使得.
令,
故,
在上单调递减,且当时,,
.
综上所述,实数的取值范围为.
19．答案：（1）最小项为
（2）数列具有性质P,理由见解析.
（3）证明见解析
解析：（1）,当且仅当,即时,等号成立,
数列的最小项为.
（2）数列具有性质P.
,
,
数列满足条件①.
,,为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质P.
（3）先证数列满足条件①:
.
当时,
则,
数列满足条件①.
再证数列满足条件②:
(,等号取不到)
为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质P.
性别
购车意愿
合计
愿意购置该款汽车
不愿购置该款汽车
男性
100
20
120
女性
50
30
80
合计
150
50
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
P