重庆市2024届高三下学期2月月度质量检测数学试卷(含答案)

这是一份重庆市2024届高三下学期2月月度质量检测数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类,某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量;②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测;上述两项调查应采用的抽样方法是( )
A.①用简单随机抽样,②用分层随机抽样
B.①用简单随机抽样,②用简单随机抽样
C.①用分层随机抽样,②用简单随机抽样
D.①用分层随机抽样,②用分层随机抽样
2．下列函数既是奇函数,又在上单调递增的函数是( )
A.B.C.D.
3．已知是公比为2的等比数列,若,则( )
A.100B.80C.50D.40
4．若,则( )
A.B.C.D.
5．已知圆,直线与圆C交于A,B两点.若为直角三角形,则( )
D.
6．已知数列满足,,若,则正整数k的值是( )
A.8B.12C.16D.20
7．已知椭圆的左焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,点Q在直线上,若,,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
8．对于一个古典概型的样本空间和事件A,B,C,D,其中,,,,,,,,则( )
A.A与B不互斥B.A与D互斥但不对立
C.C与D互斥D.A与C相互独立
二、多项选择题
9．已知,若,且p是q的必要条件,则q可能为( )
A.的最小正周期为B.是图象的一条对称轴
C.在上单调递增D.在上没有零点
10．设奇函数与偶函数的定义域均为R,且在区间I上都是单调增函数,则( )
A.不具有奇偶性,且在区间I上是单调增函数
B.不具有奇偶性,且在区间I上的单调性不能确定
C.是奇函数,且在区间I上是单调增函数
D.是偶函数,且在区间I上的单调性不能确定
11．对于任意两个正数u,,记曲线与直线,,x轴围成的曲边梯形的面积为,并约定和,德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于,下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．若命题,为真命题,则m的取值范围为_____________.
13．已知,为方程的两个实数根,且,,,则的最大值为____________.
四、双空题
14．在多面体PABCQ中,,且QA,QB,QC两两垂直,则该多面体的外接球半径为____________,内切球半径为_____________.
五、解答题
15．已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同,其余完全相同）,某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次,每次抽取一个小球,从第一轮开始,若试验者在某轮中的两次均抽到白球,则该试验成功,并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同,其余完全相同）放入盒中,然后继续进行下一轮试验.
(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功,也停止试验）,记甲进行的试验轮数为随机变量X,求X的分布列和数学期望;
(2)若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第n轮不成功,也停止试验）,记乙在第轮使得试验成功的概率为,则乙能试验成功的概率为,证明：.
16．如图,是半球O的直径,,M,N是底面半圆弧上的两个三等分点,P是半球面上一点,且.
(1)证明：平面：
(2)若点P在底面圆内的射影恰在上,求直线与平面所成角的正弦值.
17．设,函数,.
(1)讨论函数的零点个数;
(2)若函数有两个零点,,试证明：.
18．已知抛物线：,直线,且点B,D在抛物线上.
(1)若点A,C在直线l上,且A,B,C,D四点构成菱形,求直线的方程;
(2)若点A为抛物线和直线l的交点（位于x轴下方）,点C在直线l上,且A,B,C,D四点构成矩形,求直线的斜率.
19．固定项链的两端,在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年,莱布尼茨等得出“悬链线”方程,其中c为参数.当时,就是双曲余弦函数,类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式,请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可,不要求证明）;
(2),不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若,试比较与的大小关系,并证明你的结论.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：D
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：A
解析：
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：AC
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：ABC
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：；
解析：
15．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意得,X的可能取值为1,2,3,
在第一轮中,试验者每次抽到白球的概率为,,
依题意,在第二轮中,盒中有一个白球,两个红球和一个黄球,每次摸到白球的概率为,,易知,
的分布列为：
的数学期望.
（2）证明：当时,不难知道,
,
,
由（1）可知,又,
,
.即.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）连接,,
因为M,N是底面半圆弧上的两个三等分点,
所以有,又因为,
所以,都为正三角形,所以,四边形是菱形,
记与的交点为Q,Q为和的中点,因为,
所以三角形为正三角形,所以,所以,
因为P是半球面上一点,是半球O的直径,所以,
因为,,平面,所以平面.
（2）因为点P在底面圆内的射影恰在上,
由（1）知Q为的中点,为正三角形,所以,
所以底面,因为四边形是菱形,所以,
即,,两两互相垂直,以点Q为坐标原点,,,分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,则,所以,
取,则,设直线与平面的所成角为,
所以,
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）或时,无零点;时,有一个零点;时,有两个零点
（2）见解析
解析：（1）,令,即,
当时,令,所以,
则即,
所以当或时,即或时,无解;
当时,即时,仅有一解;
当即时,有两解,
综上,或时,无零点;时,有一个零点;时,有两个零点.
（2）若有两个零点,,令,,则,为两解,
则,则,则,
由,可得,,则,
所以,所以,
由可得,
所以,则,
由在递减,可得,
所以,所以
令,则
要证成立,
即证：;
即证：,因为显然成立,故原式成立.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知,设直线.
联立得,
则,,,
则的中点在直线上,
代入可解得,,满足直线与抛物线有两个交点,
所以直线的方程为,即.

（2）当直线,的斜率为0或不存在时,均不满足题意.
由得或（舍去）,故.
方法一：当直线,的斜率存在且不为0时,设直线.
联立得,所以.
所以.同理得.
由的中点在直线上,
得,
即.
令,则,解得或.
当时,直线的斜率;
当时,直线的斜率不存在.
所以直线的斜率为.
方法二：设,,线段的中点,
则,.
由,得,即.
所以.
又
,
故可转化为,
即.解得或.
所以直线的斜率.
当时,斜率不存在;当时,斜率.
所以直线的斜率为.
19．答案：（1）
（2）
（3）见解析
解析：（1）.
（2）依题意,,不等式,
函数在上单调递增,,令,
显然函数在上单调递减,在上单调递增,,
又,于是,,
因此,,显然函数在上单调递减,
当时,,从而,
所以实数m的取值范围是.
（3）,.
依题意,,
,
当时,,,即,
于是,而,因此,
当时,,则,,
即,而,因此,
于是,,所以.
X
1
2
3
P