适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第7章平面向量复数第3节平面向量的数量积课件新人教A版

这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第7章平面向量复数第3节平面向量的数量积课件新人教A版，共50页。PPT课件主要包含了强基础固本增分，研考点精准突破，目录索引，a⊥b，3投影向量，ACD等内容，欢迎下载使用。

1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
1.平面向量数量积的概念(1)向量的夹角
其中夹角为0时两向量同向共线,夹角为π时两向量反向共线
误区警示只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,
(2)平面向量的数量积已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量　　 　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs θ. 
两个向量的数量积是一个实数,不再是向量
数量积是一个实数,可正可负可0
规定:零向量与任一向量的数量积为　　　　. 
|a||b|cs θ
微思考两个向量的数量积大于0(或小于0),则夹角一定为锐角(或钝角)吗?
提示 不一定.当两个向量的夹角为0(或π)时,数量积也大于0(或小于0).
2.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
3.向量数量积的运算律
微点拨向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.
常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论:(1)a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立).(2)a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
4.两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
题组二回源教材5.(人教A版必修第二册23页习题6.2第11(2)题改编)已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,则|a+b|=　　　　. 
6.(人教A版必修第二册6.2.4节例10)设|a|=12,|b|=9,a·b= ,求a与b的夹角θ.
7.(人教A版必修第二册6.2.4节例12)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).
解 (a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cs θ-6|b|2 =62-6×4×cs 60°-6×42=-72.
题组三连线高考8.(2023·全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cs=(　　)
解析 ∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).则有cs
9.(2022·全国乙,文3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(　　)A.2B.3C.4D.5
10.(2021·全国乙,理14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　　　　　. 
解析 由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ=
考点一 平面向量数量积的运算
例1(2023·全国乙,文6)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则
[对点训练1](1)(2024·陕西咸阳模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,c=2a+b,且a,b夹角为120°,则a·c=(　　)A.0B.1C. D.2
解析 由向量a,b满足|a|=1,|b|=2,c=2a+b,且a,b夹角为120°,可得a·c=a·(2a+b)=2a2+a·b=2×12+1×2×cs 120°=2-1=1.
(2)(2024·辽宁教研联盟模拟)设M,N是圆O上两点,若MN=2,则=(　　)A.-4B.-2C.2D.4
(方法三)设MN中点为P,以MN所在直线为x轴,线段MN的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系,则M(-1,0),N(1,0),设O(0,-m),所以
考点二 平面向量数量积的应用(多考向探究预测)
考向1向量的模例2(1)(2024·华南师大附中模拟)已知向量a=(3,4),b=(4,m),且|a+b|=|a-b|,则|b|=(　　)A.3B.4C.5D.6
解析 ∵|a+b|=|a-b|,两边平方得(a+b)2=(a-b)2,展开整理得a·b=0.∴a·b=3×4+4m=0,解得m=-3.∴|b|= =5.
(2)(2023·新高考Ⅱ,13)已知向量a,b满足|a-b|= ,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　 . 
考向2向量的夹角例3(1)(2024·湖南长沙一中校考)已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,设向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a与b的夹角为(　　)
(2)已知非零向量a=(x,3x),b=(-2x,1),若a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是(　　)
变式探究(变条件)在本例(2)中,其他条件不变,若向量a与b的夹角为锐角时,则x的取值范围是　　　　. 
考向3向量的垂直例4(1)(2023·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　)A.λ+μ=1B.λ+μ=-1C.λμ=1D.λμ=-1
解析 (方法一)由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ). ∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.(方法二)由题意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0. ∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D.
(2)(2020·全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　)A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b
规律方法平面向量垂直问题的2个类型
[对点训练2](1)(2024·湖北黄冈模拟)已知向量a=(1,2),b=(m,3),若a⊥(2a-b),则a与b夹角的余弦值为(　　)
解析 因为a=(1,2),b=(m,3),所以2a-b=(2-m,1),又a⊥(2a-b),所以a·(2a-b) =1×(2-m)+2×1=0,解得m=4,所以b=(4,3).设a与b夹角为θ,则
(2)(多选题)(2024·山东滨州模拟)已知向量a=(1,m),b=(2,-4),则下列说法正确的是(　　)
A.若|a+b|= ,则m=5B.若a∥b,则m=-2C.若a⊥b,则m=-1D.若m=1,则向量a,b的夹角为钝角
解析 对于A,因为a=(1,m),b=(2,-4),所以a+b=(3,m-4),|a+b|= ,解得m=5或m=3,故A错误;对于B,因为a∥b,所以2m=-4,解得m=-2,故B正确;对于C,因为a⊥b,所以a·b=2-4m=0,解得m= ,故C错误;对于D,当m=1时,a=(1,1),a·b=2-4=-2<0,又因为此时a,b不共线,所以向量a,b的夹角为钝角,故D正确.故选BD.
(4)(2020·全国Ⅱ,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=　　　　　. 
考点三 投影向量及其应用
例5(2024·福建福州模拟)已知|b|=2|a|,若a与b的夹角为120°,则2a-b在b上的投影向量为(　　)
[对点训练3](2024·山东淄博模拟)已知向量a,b满足a·b=10,且b=(6,-8),则a在b上的投影向量为(　　)A.(-6,8)B.(6,-8)
考点四 平面向量的实际应用
例6(多选题)在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2夹角为θ(θ∈(0,π)),当两人拎起行李包时,下列结论中错误的有(　 　)A.|G|=|F1|+|F2|