适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量课时规范练57求空间角课件新人教A版

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1.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,SD⊥平面ABCD,线段AB,SC的中点分别为E,F,若异面直线EC与BF所成角的余弦值为 ,则SD=(　　)A.B.4C.2D.3
解析 如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DS分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.不妨设SD=t(t>0),则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),
m2=9>3,不符合题意,故B错误;设平面SAB的法向量为p=(x1,y1,z1),则
3.(2023·北京,16)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1, PC= .(1)求证:BC⊥平面PAB;(2)求二面角A-PC-B的大小.
(1)证明 因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,同理PA⊥AB,所以△PAB为直角三角形.
又因为BC⊥PA,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
(2)解 由(1)得BC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,则BC⊥AB,以A为坐标原点,直线AB为x轴,过点A且与BC平行的直线为y轴,直线AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0),
(1)证明 取AC的中点M,连接O2M,PM,如图.
所以四边形PO1O2M为平行四边形,则PM∥O1O2,又PM⊂平面PAC,O1O2⊄平面PAC,故O1O2∥平面PAC.
以O2为坐标原点,直线O2B,O2C,O2O1分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则有
5.(2024·江苏苏锡常镇模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1BA⊥平面ABC,侧面A1B1BA为菱形,∠ABB1= ,A1B⊥AC,AB=AC=2,E是AC的中点.(1)求证:A1B⊥平面AB1C;
(1)证明 因为四边形A1B1BA为菱形,所以A1B⊥AB1,又因为A1B⊥AC,AB1,AC⊂平面AB1C,AB1∩AC=A,所以A1B⊥平面AB1C.
所以B1O⊥AB.因为平面A1B1BA⊥平面ABC,平面A1B1BA∩平面ABC=AB,B1O⊂平面A1B1BA,所以B1O⊥平面ABC,所以B1O⊥AC,
又因为A1B⊥AC,B1O与A1B相交,所以AC⊥平面A1B1BA,所以AC⊥AB.取BC的中点D,连接OD,则OD∥AC.
6.(2024·浙江温州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,BC=2AD=2,∠PBA=∠CBA=60°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAC;(2)若点M在线段PB上,且直线AD与平面MAC所成角的正弦值为 ,求平面MBC与平面MAC夹角的余弦值.
因为AC2+AB2=BC2,所以AB⊥AC.又PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥PA.因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.
(2)解 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,又AB⊥AC,所以以A为坐标原点,以直线AB,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图.易知∠BAD=120°,