吉林省2024春九年级数学下学期期末学情评估试卷（华东师大版）

这是一份吉林省2024春九年级数学下学期期末学情评估试卷（华东师大版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．二次函数y＝－(x＋3)2＋9的图象的顶点坐标是( )
A．(－3，9) B．(3，9) C．(9，3) D．(9，－3)
2．下列调查适合采用普查的是( )
A．调查某综艺节目的收视情况
B．调查神舟十六号载人飞船的零部件合格情况
C．调查一个大型池塘中现有鱼的数量
D．调查某城市的空气质量
3．若A(－1，7)、B(5，7)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两点，则该抛物线的对称轴是( )
A．直线x＝1
B．直线x＝2
C．直线x＝3
D．直线x＝4
4．如图，C、D是⊙O上两点，且位于直径AB两侧，连结BC、CD、BD，若∠ABC＝25°，则∠BDC的度数为( )
A．85° B．75° C．70° D．65°
5．若A(－3，y1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，y2))，C(2，y3)在二次函数y＝x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的两点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为( )
A．38° B．28° C．30° D．40°
7．如图，⊙O的直径为6，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则eq \(AB,\s\up8(︵))的长为( )
A.eq \f(5π,3) B.eq \f(10π,3) C.eq \f(13π,6) D.eq \f(13π,3)
8．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝－x2＋x＋6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新图象记为G(如图所示)，当直线y＝－x＋m与图象G有4个交点时，m的取值范围是( )
A．－eq \f(25,4)＜m＜3
B．－eq \f(25,4)＜m＜－2
C．－2＜m＜3
D．－6＜m＜－2
二、填空题(每题3分，共18分)
9．为了解某市参加中考的32 000名学生的体重情况，随机抽查了其中1 600名学生的体重进行统计分析，则该抽样调查中样本容量是________．
10．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
11．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，过点D作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径是________cm.
12．在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋mx＋3的图象过点(4，3)，当0≤x≤a 时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是________．
13．2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪)，如图①.在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80 m时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20 m，喷水口A、B距地面均为4 m．若两辆消防车同时后退10 m，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面________m.
14．如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连结OM，则OM的最大值为________．
三、解答题(第15，16题每题5分，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22题10分，其余每题12分，共78分)
15．如图，已知C、D是以AB为直径的⊙O上的两点，连结BC、OC、OD、AD、CD，若OD∥BC，求证：AD＝CD.
16．如图，平面直角坐标系中有一条圆心角为90°的圆弧，且该圆弧经过点A(0，4)，B(－4，4)，C(－6，2)．
(1)作出该圆弧所在圆的圆心M，并写出点M的坐标；
(2)连结AM，CM，求扇形AMC的面积．
17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(1，0)和B(0，－3)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)求此二次函数图象的顶点坐标；
(3)此二次函数图象经过平移，能得到二次函数y＝(x＋5)2－2的图象吗？若能，请直接写出平移方法；若不能，请说明理由．
18．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，点E为⊙O上一点，AD＝DE，延长DE，交AB的延长线于点C.
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若AC＝6，∠C＝30°，求线段EC的长．
19．为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校2 500名学生都参加的“安全知识”考试．阅卷后，学校团委随机抽取了100份考卷进行统计分析，发现考试成绩x(分)的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．

请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝________，b＝________，n＝________；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)该校对考试成绩为90＜x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比为1∶3∶6，请你估计全校获得二等奖的学生有多少名．
20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2－3x与x轴交于点A和点O，与y轴垂直的直线l交该抛物线于点B和点C，设点B的纵坐标为n.
(1)求线段OA的长；
(2)当函数值y随x增大而增大时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)当线段BC的长小于OA时，直接写出n的取值范围．
21．金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该大米成本为每千克12元，销售价格不低于成本，且不超过22元/kg，根据各销售渠道的反馈，发现该大米一天的销售量y(kg)是该天的售价x(元/kg)的一次函数，部分数据如表：
(1)求一天的销售量y(kg)与售价x(元/kg)之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)若某天销售这种大米获利3 250元，则这天该大米的售价为多少？
(3)该大米售价定为多少时，当天获利最大？最大利润为多少？
22．(1)【感悟】
如图①，把直角三角尺的直角顶点O放在破损圆形玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，连结MN，则线段MN为圆形玻璃镜的直径．此结论体现的数学道理是________________________．
(2)【应用】
如图②，A、B、C三点在⊙O上，且∠ACB＝90°，过点A作AD垂直于⊙O的切线CD，垂足为D，若AC＝4，BC＝3，求AD的长．
(3)【拓展】
如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在△ABC外作等腰直角三角形ACD，点E为BC的中点，连结DE，请直接写出∠ADE＋∠DEC的度数．
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC的中点，直线OD与⊙O相交于E、F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连结PA、PC、AF，且∠PCA＝∠ABC.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)求证：EF2＝4OD·OP；
(3)若BC＝8，tan∠AFP＝eq \f(2,3)，求DE的长．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(－1，0)、Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)))在抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c上，点C为该抛物线的顶点．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m.
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)连结BP，当BP⊥y轴时，顺次连结点A、B、C、P，求四边形ABCP的面积；
(3)当m＞0时，设该抛物线在点B与点P之间(包含点B和点P)的部分图象的最低点和最高点到x轴的距离分别为k、n，若k－n＝2，求m的取值范围；
(4)当点P在第四象限时，作点P关于点O的对称点Q，以PQ为对角线构造矩形PMQN，该矩形的边均与坐标轴垂直，且点A、B在该矩形的内部．设抛物线在该矩形内部及边界的图象为G，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，最低点在该矩形边所在的直线记为l，若点C到直线l的距离等于eq \f(1,7)d，直接写出m的值．
答案
一、1.A 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C
8．D 点拨：如图，设图象G与x轴交点为A，B，当y＝0时，－x2＋x＋6＝0，
解得x1＝－2，x2＝3，则A(－2，0)，B(3，0)．
由题意得当－2≤x≤3时，图象G的表达式为y＝x2－x－6.
当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，2＋m＝0，解得m＝－2；
当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x2－x－6(－2≤x≤3)有唯一公共点时，方程x2－x－6＝－x＋m有两个相等的实数根，则易得m＝－6，所以当直线y＝－x＋m与图象G有4个交点时，m的取值范围为－6＜m＜－2.
二、9.1 600 10.－1＜x＜3
11．50 12.2≤a≤4 13.19 14.eq \r(2)＋eq \f(1,2)
三、15.证明：∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.
∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠OCB，
∴∠AOD＝∠COD，∴AD＝CD.
16．解：(1)如图，连结AB、BC，分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线交于点M.点M的坐标为(－2，0)．
(2)如图，圆弧所在圆的半径为eq \r(22＋42)＝2 eq \r(5)，
∴S扇形AMC＝eq \f(90×π×（2 \r(5)）2,360)＝5π.
17．解：(1)把A(1，0)和B(0，－3)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋b＋c＝0，,c＝－3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝－3，))
∴此二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3.
(2)∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴此二次函数图象的顶点坐标为(－1，－4)．
(3)能．(平移方法不唯一)将此二次函数图象先向左平移4个单位，再向上平移2个单位．
18．(1)证明：连结AE、OE.
∵AD＝DE，AO＝EO，
∴∠DAE＝∠DEA，∠OAE＝∠AEO，∴∠DAO＝∠DEO.
∵AD⊥AB，∴∠DAO＝90°，∴∠DEO＝90°，∴OE⊥CD.
又∵OE是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．
(2)解：设⊙O的半径为r，则OC＝AC－OA＝6－r，由(1)可得∠OEC＝90°.
∵∠C＝30°，∴OE＝eq \f(1,2)OC，
∴r＝eq \f(1,2)(6－r)，解得r＝2，∴OC＝6－2＝4，
∴EC＝eq \r(OC2－OE2)＝eq \r(42－22)＝2 eq \r(3).
19．解：(1)10；25；0.25
(2)补全的频数分布直方图如图所示．
(3)因为2 500×0.12×eq \f(3,1＋3＋6)＝90(名)，
所以估计全校获得二等奖的学生有90名．
20．解：(1)令y＝0，则x2－3x＝0.解得x1＝0(舍去)，x2＝3.
∴点A的坐标为(3，0)．∴OA＝3.
(2)x的取值范围为x＞eq \f(3,2).
(3)当线段BC的长小于OA时，n的取值范围为－eq \f(9,4)＜n＜0.
21．解：(1)设一天的销售量y(kg)与售价x(元/kg)之间的函数关系式为y＝kx＋b，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(14k＋b＝800，,16k＋b＝700，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－50，,b＝1 500，))所以一天的销售量y(kg)与售价x(元/kg)之间的函数关系式为y＝－50x＋1 500(12≤x≤22)．
(2)由题意，得(x－12)(－50x＋1 500)＝3 250，解得x＝17或x＝25(舍)，
所以这天该大米的售价为17元/kg.
(3)设当天获利w元，由题意，得w＝(x－12)(－50x＋1 500)＝－50(x－21)2＋4 050，因为－50＜0，
所以当x＝21时，w有最大值4 050，即该大米售价定为21元/kg时，当天获利最大，最大利润为4 050元．
22．解：(1)【感悟】90°的圆周角所对的弦是圆的直径
(2)【应用】连结AB，CO，如图．
∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(42＋32)＝5.
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC.
∵∠ADC＝90°＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，
∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)，即eq \f(AD,4)＝eq \f(4,5)，∴AD＝eq \f(16,5).
(3)【拓展】∠ADE＋∠DEC＝105°.
23．(1)证明：∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，∴PD是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝90°.
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA＋∠CAB＝90°，
∴∠PAC＋∠CAB＝90°，即AB⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
(2)证明：由(1)知∠ODA＝∠OAP＝90°.
又∵∠AOD＝∠POA，
∴Rt△AOD∽Rt△POA，
∴eq \f(OA,OP)＝eq \f(OD,OA)，
∴OA2＝OD·OP.
又∵OA＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)EF，
∴eq \f(1,4)EF2＝OD·OP，即EF2＝4OD·OP.
(3)解：设AD＝2a(a＞0)，在Rt△ADF中，
∵tan∠AFD＝eq \f(AD,DF)＝eq \f(2,3)，
∴DF＝3a.
∵∠ADO＝∠ACB＝90°，∠DAO＝∠CAB，
∴△ADO∽△ACB，∴eq \f(OD,BC)＝eq \f(OA,AB)＝eq \f(1,2)，∴OD＝eq \f(1,2)BC＝4，
∴AO＝OE＝OF＝3a－4.
∵OD2＋AD2＝AO2，∴42＋(2a)2＝(3a－4)2，
解得a＝eq \f(24,5)或a＝0(舍去)，
∴DE＝OE－OD＝3a－4－4＝eq \f(32,5).
24．解：(1)∵点A(－1，0)、Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)))在抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×（－1）2－b＋c＝0，,c＝－\f(5,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－2，,c＝－\f(5,2)，))
∴该抛物线对应的函数关系式为y＝eq \f(1,2)x2－2x－eq \f(5,2).
(2)如图，∵y＝eq \f(1,2)x2－2x－eq \f(5,2)＝eq \f(1,2)(x－2)2－eq \f(9,2)，
∴该抛物线的顶点坐标为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(9,2)))，
∵BP⊥y轴，
∴点B与点P关于直线x＝2对称，∴BP＝4，
∴四边形ABCP的面积为eq \f(1,2)×4×eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)－\f(5,2)))＝9.
(3)①当0＜m＜2时，k＝－eq \f(1,2)m2＋2m＋eq \f(5,2)，n＝eq \f(5,2).
∵k－n＝2，
∴－eq \f(1,2)m2＋2m＋eq \f(5,2)－eq \f(5,2)＝2，
解得m1＝m2＝2(舍去)；
②当2≤m≤4时，k＝eq \f(9,2)，n＝eq \f(5,2)，
∴k－n＝2，
∴m的取值范围为2≤m≤4；
③当4＜m＜5时，k＝eq \f(9,2)，n＝－eq \f(1,2)m2＋2m＋eq \f(5,2).
∵k－n＝2，∴eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)m2＋2m＋\f(5,2)))＝2，
解得m1＝0(舍去)，m2＝4(舍去)；
④当m≥5时，k＝eq \f(9,2)，n＝eq \f(1,2)m2－2m－eq \f(5,2).
∵k－n＝2，
∴eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m2－2m－\f(5,2)))＝2，
解得m1＝2＋eq \r(14)，m2＝2－eq \r(14)(舍去)．
综上所述，m的取值范围为2≤m≤4或m＝2＋eq \r(14).
(4)eq \f(14,11)或2＋eq \r(2)或eq \f(－3＋\r(85),2). 成绩x(分)
频数(人数)
频率
50＜x≤60
a
0.1
60＜x≤70
18
0.18
70＜x≤80
b
n
80＜x≤90
35
0.35
90＜x≤100
12
0.12
合计
100
1
售价x(元/kg)
…
14
16
18
…
销售量y(kg)
…
800
700
600
…