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湖北省2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试题
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这是一份湖北省2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试题，共9页。试卷主要包含了若成等比数列，则公比为，在中，，则，已知函数，则下列判断正确的是，已知为坐标原点，点等内容，欢迎下载使用。
命题学校：石家庄市第二中学
命题人：宛昭勋 刘越起 刘俊男 审题人：刘英娟
考试时间：2024年3月20日下午15：00—17：00 试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
3．样本数据的第70百分位数次为（ ）
A．7 B．9 C．9.5 D．10
4．若成等比数列，则公比为（ ）
A． B． C． D．2
5．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则（ ）
A． B． C． D．1
7．已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的方程为为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．是偶函数 D．在区间上单调递增
10．已知为坐标原点，点．若点满足，则下列判断错误的是（ ）
A． B．面积的最大值为
C． D．
11．已知正方体的棱长为是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，则下列判断正确的是（ ）
A．时，截面面积为 B．时，
C．随着的增大先减小后增大 D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．是任处的切线方程，则_________。
13．1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹。已知点，动点满足，则面积的最大值为_________。
14．已知是实数，满足，当取得最大值时，_________。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
设数列为等差数列，前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前项和为，求。
16．（本小题满分15分）
兵乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目。已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜。
（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据）
17．（本小题满分15分）
已知三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，平面与底面的交线为直线．
（1）若，证明：；
（2）若三棱锥的体积为为交线上的动点，若直线与平面的夹角为，求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线的方程为，其中，）是双曲线上一点，直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为，双曲线在点处的两条切线记为与交于点，线段的中点为，设直线的斜率分别为。
（1）证明：；
（2）求的值。
19．（本小题满分17分）
记，若，满足：对任意，均有，则称为函数在上“最接近”直线．已知函数．
（1）若，证明：对任意；
（2）若，证明：在上的“最接近”直线为：，其中且为二次方程的根。
2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）
数学试题参考答案及多维细目表
1．【答案】B
【解析】．
，故选B．
2．【答案】A
【解析】．
．故选A．
3．【答案】D
【解析】数据，11，12的第70百分位数为10．故选D。
4．【答案】B
【解析】成等比数列．，即，。
，公比为，故选B．
5．【答案】C
【解析】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总安排数为，甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同排列数为，设过件为甲、乙、丙三个同学所报活动各不相同，．故选C。
6．【答穼】C
【解析】，两式相减，得．由正弦定理，得，故选C。
7．【答案】C
【解析】如图，连接，交于点，易多为的外心。
進接．交于点，易知平而三棱锥的外接球球心在上。
设的外接四四心为平面，且。
设的外接圆半径为．三棱锥的外接球半径为。
设．
又．
．
设，设．则．
又易知．故选C。
8．【答案】B
【解析】设，直线方程为：，联立直线与抛物线方程，可得．
又，故是方程的解。
将代入方程，得。
，即．故选B．
9．【答案】AD
10．【答穼】ACD
【解析】落，则点在劣弧上，或者在优弧上。
或者，故A错误；，故B正确；取，故C错误；
点在劣弧上时，．点在优弧上时．错误．故选ACD．
11．【答案】BCD
【解析】如图1，当时，截面为正六边形．且棱长为，故截面面积为错误；
由对称性可知．当时．平面分两部分体积相等，B正确；
如图2．当从0变化到1时．截面从四边形变化至五边形（其中为靠近点的三等分点）．被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C正确．
取最大值时对应为，或时情形．计算可知讨．时，的最大值为，故D正确。故选BCD。
12．【答案】
13．【答案】3
14．【答案】5
【解析】．
．
．
取等条件：或
15．（1）略。
（2）。11分
。13分
16．略。
17．解：由题意：∵，∴分别为棱的中点，∴。2分
．4分
为等边三角形，为中点．
．
又平面，
平面．6分
平而7分
（2）如图，在底面内过点作的平行线即面与底面的交线．
由题意可得，即。8分
故底面的面积为。
设底面上的高为，则，于是．
注意到侧面是边长为2的正三角形，取中点．
连接，则，从而平面．9分
取中点，连接，则。
于是，以点为坐标原点．分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，12分
于是．．
设平面的一个法向是为。
则即
解得即14分
由线面所成角的定义可知15分
18．解：（1）证明：．3分
又任双曲线上，．
5分
由可知 7分
（2）略
19．略。题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
D
B
C
C
题号
7
8
9
10
11
答案
C
B
AD
ACD
BCD
命题学校：石家庄市第二中学
命题人：宛昭勋 刘越起 刘俊男 审题人：刘英娟
考试时间：2024年3月20日下午15：00—17：00 试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
3．样本数据的第70百分位数次为（ ）
A．7 B．9 C．9.5 D．10
4．若成等比数列，则公比为（ ）
A． B． C． D．2
5．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则（ ）
A． B． C． D．1
7．已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的方程为为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．是偶函数 D．在区间上单调递增
10．已知为坐标原点，点．若点满足，则下列判断错误的是（ ）
A． B．面积的最大值为
C． D．
11．已知正方体的棱长为是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，则下列判断正确的是（ ）
A．时，截面面积为 B．时，
C．随着的增大先减小后增大 D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．是任处的切线方程，则_________。
13．1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹。已知点，动点满足，则面积的最大值为_________。
14．已知是实数，满足，当取得最大值时，_________。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
设数列为等差数列，前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前项和为，求。
16．（本小题满分15分）
兵乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目。已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜。
（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据）
17．（本小题满分15分）
已知三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，平面与底面的交线为直线．
（1）若，证明：；
（2）若三棱锥的体积为为交线上的动点，若直线与平面的夹角为，求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线的方程为，其中，）是双曲线上一点，直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为，双曲线在点处的两条切线记为与交于点，线段的中点为，设直线的斜率分别为。
（1）证明：；
（2）求的值。
19．（本小题满分17分）
记，若，满足：对任意，均有，则称为函数在上“最接近”直线．已知函数．
（1）若，证明：对任意；
（2）若，证明：在上的“最接近”直线为：，其中且为二次方程的根。
2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）
数学试题参考答案及多维细目表
1．【答案】B
【解析】．
，故选B．
2．【答案】A
【解析】．
．故选A．
3．【答案】D
【解析】数据，11，12的第70百分位数为10．故选D。
4．【答案】B
【解析】成等比数列．，即，。
，公比为，故选B．
5．【答案】C
【解析】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总安排数为，甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同排列数为，设过件为甲、乙、丙三个同学所报活动各不相同，．故选C。
6．【答穼】C
【解析】，两式相减，得．由正弦定理，得，故选C。
7．【答案】C
【解析】如图，连接，交于点，易多为的外心。
進接．交于点，易知平而三棱锥的外接球球心在上。
设的外接四四心为平面，且。
设的外接圆半径为．三棱锥的外接球半径为。
设．
又．
．
设，设．则．
又易知．故选C。
8．【答案】B
【解析】设，直线方程为：，联立直线与抛物线方程，可得．
又，故是方程的解。
将代入方程，得。
，即．故选B．
9．【答案】AD
10．【答穼】ACD
【解析】落，则点在劣弧上，或者在优弧上。
或者，故A错误；，故B正确；取，故C错误；
点在劣弧上时，．点在优弧上时．错误．故选ACD．
11．【答案】BCD
【解析】如图1，当时，截面为正六边形．且棱长为，故截面面积为错误；
由对称性可知．当时．平面分两部分体积相等，B正确；
如图2．当从0变化到1时．截面从四边形变化至五边形（其中为靠近点的三等分点）．被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C正确．
取最大值时对应为，或时情形．计算可知讨．时，的最大值为，故D正确。故选BCD。
12．【答案】
13．【答案】3
14．【答案】5
【解析】．
．
．
取等条件：或
15．（1）略。
（2）。11分
。13分
16．略。
17．解：由题意：∵，∴分别为棱的中点，∴。2分
．4分
为等边三角形，为中点．
．
又平面，
平面．6分
平而7分
（2）如图，在底面内过点作的平行线即面与底面的交线．
由题意可得，即。8分
故底面的面积为。
设底面上的高为，则，于是．
注意到侧面是边长为2的正三角形，取中点．
连接，则，从而平面．9分
取中点，连接，则。
于是，以点为坐标原点．分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，12分
于是．．
设平面的一个法向是为。
则即
解得即14分
由线面所成角的定义可知15分
18．解：（1）证明：．3分
又任双曲线上，．
5分
由可知 7分
（2）略
19．略。题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
D
B
C
C
题号
7
8
9
10
11
答案
C
B
AD
ACD
BCD
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