上海市延安中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

这是一份上海市延安中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷，共3页。试卷主要包含了03， 已知直线 l₁等内容，欢迎下载使用。

2024.03
一. 填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分, 满分54分)
1. 抛物线 x²=2y的焦点坐标是
2. 直线x+3y-1=0与2x-y+7=0的夹角大小为
3.双曲线 x24-y25=1的离心率是
4.已知圆锥的母线长为3，底面半径为2，则圆锥的体积为
5.已知椭圆 x225+y216=1与双曲线 x2m-y25=1有共同的焦点，则m=
6. 抛物线 y²=4x的准线与圆 x²+y²=2相交于 A、B两点, 则|AB|=
7.过点(5,3)作圆 x-3²+y²=4的切线，则切线的方程为
8.与双曲线 x29-y216=1有共同渐近线，且经过点 A-323的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
9.一个动圆的圆心在抛物线 y²=8x上，且动圆恒与直线x+2=0;相切，则此动圆必经过定点
10. 已知直线 l₁:x-2y-16=0和直线 l₂:x+1=0,则抛物线 y²=4x上的动点 P到直线l₁和l₂距离之和的最小值为
11. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 C:x²+y²³=4x²y²被称为“四叶玫瑰线”(如图所示)，给出下列三个结论：① 曲线C关于直线y=x对称； ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 1； ③ 存在一个以原点为中心、边长为 2的正方形，使得曲线 C 在此正方形区域内(含边界)； 其中，正确结论的序号是
12.若实数x, y满足 x|x|4+y|y|9=1,且|3x+2y-t|的最大值为 32,则实数t的值是
二. 选择题(本大题共4题，满分20分)
13.下列命题中，是假命题的为( )
A.垂直于同一平面的两条直线平行 B.平行于同一平面的两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面平行 D.垂直于同一直线的两个平面平行
14. 如果直线l经过双曲线 9x²-4y²=36的中心，且与该双曲线不相交，则l的斜率的取值范围是( ) A.-3232 B.-∞-32∪32+∞ C.[0, 32] D.-320
15.命题p: 直角坐标系中动点 P(x,y)到定点 F(2,0)的距离比到y轴的距离大 2;命题q：动点P(x，y)的坐标满足方程 y²=8x.则p是q的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
16.已知结论：椭圆 x2a2+y2b2=1ab>0)的面积为S=πab.如图， 一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E. 若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为 θ(0<θ<π2),则下列对椭圆E 的描述中，错误的是( )
A.短轴为2r，且与θ大小无关
B.离心率为csθ，且与r大小无关
C. 焦距为2rtanθ
D. 面积为 πr2csθ
三. 解答题 (本大题共有5题，满分76分)
17.已知：抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线l：y=2x+2与抛物线相交于两点A、B, 且|AB|=5, 求抛物线C的方程.
18.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线 x-3y-4=0相切.
(1) 求圆O的方程;
(2) 直线l:y=kx+3与圆O交于 A、B两点, 在圆O上是否存在一点M, 使得四边形OAMB为菱形? 若存在，求出此时直线l的斜率； 若不存在，说明理由.19.如图, 在四棱锥P-ABCD 中, PA⊥平面ABCD, AD⊥CD, AD∥BC, PA=AD=CD=2,BC=3, E为PD的中点, 点F在棱PC上, 且 PFPC=13.
(1) 求证: CD⊥平面 PAD;
(2) 求二面角 F-AE-P的余弦值 (该二面角为锐角) .
20. 已知点 A43在双曲线 C:x24-y2m2=1的图像上.
(1) 若点D为双曲线 C上一动点，点 B(0，1)为直角坐标系内一定点，求 BD中点P 的轨迹方程；
(2)是否存在这样的双曲线S， 它与双曲线 C 有相同的渐近线， 且点Q(5，0)到 S上的动点R的最小值为 6?若存在，请求出双曲线S的方程； 若不存在，请说明理由.
21. 已知椭圆 E:x24+y2=1,A、B、C是椭圆E上三个不同的点，原点O为 △ABC的重心.
(1) 求椭圆E的离心率；
(2) 如果直线AB和直线 OC的斜率都存在，求证： kAB⋅kOC为定值；
(3) 试判断△ABC的面积是否为定值， 若是，求出这个定值； 若不是，请说明理由.