四川省成都市2024届高三第一次诊断性检测理科数学试题

这是一份四川省成都市2024届高三第一次诊断性检测理科数学试题，共10页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，考试结束后，只将答题卡交回，若实数x，y满足，则的最小值为，已知平面，，，则是的，若，，，则，已知，且，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.二项式的展开式中x的系数为
（A）1（B）3（C）5（D）15
2.普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽样方式，为此将他们一一编号为1～2000，并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第三个号码段中抽出的号码为
（A）52（B）82（C）162（D）252
3.已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为
（A）（B）1（C）（D）i
4.若数列满足，，则
（A）6（B）14（C）22（D）37
5.已知向量，，则
（A）（B）（C）（D）
6.若实数x，y满足，则的最小值为
（A）0（B）（C）（D）1
7.已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可以为
（A）（B）
（C）（D）
8.已知平面，，，则是的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
9.若，，，则
（A）（B）（C）（D）
10.已知，且，则
（A）（B）（C）（D）或
11.若，恒成立，则实数a的最大值为
（A）e（B）2（C）1（D）
12.已知圆经过椭圆的两个焦点，，圆C和椭圆在第二象限的交点为N，，则椭圆的离心率为
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13.已知集合，，则________.
14.曲线在点处的切线方程为________.
15.记为等差数列的前n项和.若，且，，成等比数列，则的值为________.
16.已知，底面半径的圆锥内接于球O，则经过S和中点的平面截球O所得截面面积的最小值为________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
如图，正四棱柱中，M为的中点，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
18.（本小题满分12分）
某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下：
（Ⅰ）根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；
（Ⅱ）根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课程教学的推广大使，记这两人中来自篮球模块化课程的人数为X，求X的分布列和期望.
附：
19.（本小题满分12分）
已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为F.
（Ⅰ）已知过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，求证：以为直径的圆与直线相切；
（Ⅱ）若直线交抛物线C于P，Q两点，当的面积为2时，求直线的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调性；
（Ⅱ）当时，求证：.
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（t为参数，）.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）当时，求直线的普通方程；
（Ⅱ）已知点，若直线交曲线于A，B两点，且，求的值.
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若，求a的取值范围.
成都市2021级高中毕业班第一次诊断性检测
数学（理科）参考答案及评分意见
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1.D；2.C；3.A；4.D；5.C；6.B；7.B；8.A；9.C；10.A；11.D；12.C.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13.；14.；15.2或2022；16..
三、解答题：（共70分）
17.解：（Ⅰ）连接.
正四棱柱中，M为的中点，，，
，，，，.
，
.
同理可得.
，平面，平面，
平面.
（Ⅱ）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，
，，.
设平面的一个法向量为.
由，得
令，得.
设平面的一个法向量为.
由，得
令，得.
.
由二面角为锐角，
所求二面角的余弦值为.
18.解：（Ⅰ）由列联表数据可得，
.
有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关。
（Ⅱ）随机变量X的取值可能为0，1，2.
，，，
X的分布列为
.
19.解：（Ⅰ）.
由，即.
为锐角三角形，，
.
.
（Ⅱ），由余弦定理，.
.
由正弦定理，.
.
是锐角三角形，
，且.
，.
.
.
综上，的取值范围为.
20.解：（Ⅰ）如图，取的中点M，分别过A，B，M作准线的垂线，依次交准线于，，.
，，，
.
以为直径的圆和直线相切.
（Ⅱ）设，
由消去x，得.
由，得.
，.
由的面积，
.
，即.
，
或.
直线的方程为或或.
21.解：（Ⅰ），
若，则，在R上单调递增；
若，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）当时，要成立.
即证成立，
①当时，设函数，
，
在上单调递增.
.
成立.
②当时，要证成立，
即证.
设函数，
，
由在上单调递增，且.
当，，单调递减；
当，，单调递增.
.
设函数，
.
在上单调递减.
.
，上式得证.
综上所述，成立.
22.解：（Ⅰ）当时，直线的参数方程为，
化简得直线的普通方程为.
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为
.
，，
曲线的普通方程为.
将直线的参数方程代入得.
，可得，.
设A，B两点对应的参数分别为，，则，.
.
，
或.
23.解：（Ⅰ）当时，.
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，解得，不合题意.
综上，不等式的解集为.
（Ⅱ）由题，①当时，显然成立.
②当时，
在单减，在单减，在单调递增.
.
由恒成立，故，解得
.
综上，a的取值范围为.
男生
女生
总计
参加篮球模块课程人数
60
20
80
参加羽毛球模块课程人数
40
80
120
总计
100
100
200
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
P