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    上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

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    上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

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    这是一份上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷,文件包含2023-2024学年上海市杨浦高级中学高二年级下学期3月月考试卷-答案版docx、2023-2024学年上海市杨浦高级中学高二年级下学期3月月考试卷-学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共21页, 欢迎下载使用。
    2024.3
    一、填空题 (本大题共有12小题,满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分.
    1.设是一个随机事件,则的取值范围是______.
    2.两个平面可以将空间分成 个部分
    3.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标是______.
    4.双曲线的离心率是______.
    5.已知圆锥的底面直径为8,高是3,则母线长为______.
    6.已知椭圆的焦点坐标为,短轴长为4,则椭圆的标准方程为______.
    7.已知是棱长为1的正四面体.若点满足,其中,则的最小值为______.
    8.已知抛物线,直线,则直线被抛物线截得的弦长为______.
    9.设直线与平面所成角为,给出下列命题:(1)平面上不存在直线,使之与所成角小于;(2)设,平面上恰有两条直线与所成角均为;(3)若直线,则直线与所成角大小为;其中真命题的序号为______.
    10.2020中国国际防锈、防腐蚀技术及材料展览会于9月15日至9月19日在国家会展中心(上海)隆重举行,推动了国内防锈、防腐蚀材料的技术升级.如图为沿海城市海边的一个石头雕塑,该雕塑是由一个体积为的圆柱形石料雕刻而成,其上方是一个半径为的球,下方是一个正四棱锥.雕刻时,先让球与圆柱的上底面相切,并使体积达到最大,再让正四棱锥的体积达到最大.不计损耗.为测试某新型涂料防止海水侵蚀的效果,现需要在该雕塑表面涂一层涂料,则需要在雕塑表面涂刷涂料的面积为 (其中.
    11.如图,正方体的棱长为1,为的中点,为线段上的动点,过点,,的平面截该正方体所得截面记为,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)
    ①当时,为等腰梯形 ②当时,与的交点满足
    ③当时,为四边形 ④当时,的面积为
    12.已知点是椭圆的右焦点,点到椭圆上的动点的距离的最大值不超过,当椭圆的离心率取到最大值时,则的最大值等于______.
    二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
    13.已知直线和平面,若,则“”是“”的( )条件.
    A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
    14.先后抛掷两颗骰子,设出现的点数之和是2,3,4的概率依次是,,,则
    A.B.C.D.
    15.已知正方体的棱长为2,,分别是棱,的中点,点为底面内(包括边界)的一动点,若直线与平面无公共点,则点的轨迹长度为
    A.B.C.D.
    16.在平面上,若曲线具有如下性质:存在点,使得对于任意点,都有使得.则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假( )
    = 1 \* GB3 ①所有椭圆都是“自相关曲线".
    = 2 \* GB3 ②存在是“自相关曲线"的双曲线.
    A. = 1 \* GB3 ①假命题; = 2 \* GB3 ②真命题 B. = 1 \* GB3 ①真命题; = 2 \* GB3 ②假命题
    C. = 1 \* GB3 ①真命题; = 2 \* GB3 ②真命题 D. = 1 \* GB3 ①假命题; = 2 \* GB3 ②假命题
    三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
    17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    如图,已知、、、分别是正方体的棱、、、的中点,且与相交于点.
    (1)求证:点在直线上.
    (2)求异面直线与所成角的大小
    18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    如图,在宽为14的路边安装路灯,灯柱高为8,灯杆是半径为的圆的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩,灯罩顶到路面的距离为10,到灯柱所在直线的距离为2.设为灯罩轴线与路面的交点,圆心在线段上.以为原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系.
    (1)当点恰好为路面中点时,求此时圆的方程;
    (2)记圆心在路面上的射影为,且在线段上,求的最大值.
    19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    上海市举办的禁毒知识测试大赛,本次大赛由十道选择题组成,得分要求是:做对一道题得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格,小威的目标是至少得7分获得及格,在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分,而他做余下的四道题中,每道题做对的概率均为p,考试中,小威思量:从余下的四道题中再做一题并且及格的概率;从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率,他发现,只做一道更容易及格.
    (1)设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为,从余下的四道题中全做并且及格的概率为,求及;
    (2)由于p的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大?
    20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
    设椭圆的左顶点为,上顶点为.已知椭圆的离心率为,.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)设,为椭圆上异于点的两动点,若直线、的斜率之积为.
    ①证明直线恒过定点,并求出该点坐标;
    ②求面积的最大值
    21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
    设四边形为矩形,点为平面外一点,且平面,若
    (1)求与平面所成角的大小(用反三角函数表示);
    (2)在边上是否存在一点,使得点到平面的距离为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
    (3)若点是的中点,在内确定一点,使的值最小,并求此时的值

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