第8章 幂的运算（典型30题专练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第8章幂的运算（典型30题专练）一．选择题（共9小题）1．（2021秋•长春期末）计算a6÷a2的结果是（　　）A．a2 B．a3 C．a4 D．a5【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算，然后即可作出判断．【解答】解：a6÷a2＝a4，故选：C．【点评】本题考查同底数幂的除法，熟记其运算法则是解题的关键．2．（2021秋•恩施市期末）下列运算中正确的是（　　）A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．a5+a5＝2a10【分析】利用同底数幂的除法与乘方，幂的乘方与积的乘方及合并同类项的法则求解即可．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项错误；B、a2•a3＝a5，故本选项正确；C、a6÷a2＝a4，故本选项错误；D、a5+a5＝2a5，故本选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的除法与乘方，幂的乘方与积的乘方及合并同类项，解题的关键是熟记同底数幂的除法与乘方，幂的乘方与积的乘方及合并同类项的法则．3．（2021秋•上思县期末）用科学记数法表示为1.999×103的数是（　　）A．1999 B．199.9 C．0.001999 D．19990【分析】根据n是几，小数点向右移动几位，可得原数．【解答】解：1.999×103＝1999，故选：A．【点评】用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向后移几位4．（2021秋•鼓楼区校级期末）（p﹣q）4÷（q﹣p）3＝（　　）A．p﹣q B．﹣p﹣q C．q﹣p D．p+q【分析】先把原式化为同底数幂的除法，然后根据同底数幂的除法，底数不变指数相减来计算．【解答】解：原式＝（﹣q+p）4÷（q﹣p）3，＝（﹣1）4（q﹣p）4÷（q﹣p）3，＝q﹣p．故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．（2021•平谷区二模）若am＝2，an＝3，则am+n的值为（　　）A．5 B．6 C．8 D．9【分析】由am+n＝am•an，根据同底数幂的乘法的运算法则求解即可．【解答】解：am+n＝am•an＝2•3＝6．故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的运算法则．6．（2021秋•乐昌市期末）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为7×10﹣9．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7．（2021•玄武区二模）计算（﹣a）3•（﹣a2）的结果是（　　）A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【解答】解：（﹣a）3•（﹣a2）＝（﹣a3）•（﹣a2）＝a5．故选：A．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．8．（2021•广陵区一模）下列各式中，计算结果为a6的是（　　）A．a2•a3 B．a3+a3 C．a12÷a2 D．（a2）3【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B、a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；C、a12÷a2＝a10，故本选项不合题意；D、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．9．（2021秋•费县期末）在下列运算中，正确的是（　　）A．a3•a4＝a12 B．（ab2）3＝a6b6 C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘分别进行计算即可．【解答】解：A、底数不变指数相加，即a3•a4＝a7，故A错误；B、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab2）3＝a3b6，故B错误；C、底数不变指数相乘，即（a3）4＝a12，故C错误；D、底数不变指数相减，即a4÷a3＝a，故D正确；故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方、积的乘方，解题的关键是熟练掌握各计算法则．二．填空题（共7小题）10．（2021秋•双辽市期末）计算：（﹣0.25）2021×42022＝　﹣4　．【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．【解答】解：（﹣0.25）2021×42022＝（﹣）2021×42021×4＝﹣（×4）2021×4＝﹣1×4＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．11．（2021•虹口区二模）计算：（3a）2＝　9a2　．【分析】利用积的乘方的性质求解即可求得答案．【解答】解：（3a）2＝9a2．故答案为：9a2．【点评】此题考查了积的乘方．此题比较简单，注意掌握积的乘方的性质的应用是解题的关键．12．（2021秋•饶平县期末）已知am＝6，an＝3，am﹣2n＝　　．【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘可得am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2，然后代入数进行计算即可．【解答】解：am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝6÷9＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，关键是熟练掌握计算法则和公式，并能逆运用．13．（2021秋•宣化区期末）若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝　a3b2　．【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．【解答】解：32n＝25n＝b，则23m+10n＝23m•210n＝a3•b2＝a3b2．故答案为：a3b2．【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．14．（2021秋•乌拉特前旗期末）水由氢原子和氧原子组成，其中氢原子的直径约为0.0000000001米，用科学记数法表示为　1×10﹣10　米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 000 0001＝1×10﹣10，故答案为：1×10﹣10．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15．（2021春•北仑区期中）计算：（﹣π）0+2﹣2＝　　．【分析】根据任何非零数的零指数次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数以及绝对值的性质进行计算即可得解．【解答】解：（﹣π）0+2﹣2，＝1+，＝．故答案为：．【点评】本题考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质，零指数幂的定义，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．16．（2021秋•江津区期末）计算（﹣2a2b）2＝　4a4b2　．【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案．【解答】解：（﹣2a2b）2＝4a4b2．故答案为：4a4b2．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确运用积的乘方运算法则是解题关键．三．解答题（共14小题）17．（2021秋•商水县月考）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　3　，（4，16）＝　2　，（2，16）＝　4　．（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．【解答】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵24＝16，∴（2，16）＝4；故答案为：3；2；4；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a+b＝30，∵3c＝30，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c．【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．18．（2021秋•南安市期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　3　，（﹣2，4）＝　2　，（﹣2，﹣8）＝　3　；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，5）+（4，6）＝（4，30）【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．【解答】解：（1）∵53＝125，∴（5，125）＝3，∵（﹣2）2＝4，∴（﹣2，4）＝2，∵（﹣2）3＝﹣8，∴（﹣2，﹣8）＝3，故答案为：3；2；3；（2）设（4，5）＝x，（4，6）＝y，（4，30）＝z，则4x＝5，4y＝6，4z＝30，4x×4y＝4x+y＝30，∴x+y＝z，即（4，5）+（4，6）＝（4，30）．【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．19．（2021秋•淅川县期末）已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．（1）求（5a）2的值．（2）求5a﹣b+c的值．（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为　c＝2a+b　．【分析】（1）根据幂的乘方直接解答即可；（2）根据同底数幂的乘除法进行解答即可；（3）根据已知条件直接得出答案即可．【解答】解：（1）∵5a＝3，∴（5a）2＝32＝9；（2）∵5a＝3，5b＝8，5c＝72，∴5a﹣b+c＝＝＝27；（3）c＝2a+b；故答案为：c＝2a+b．【点评】本题考同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．20．（2021春•惠来县期末）计算：．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝9+2+1＝12．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．21．（2021春•宝应县月考）一个正方体集装箱的棱长为0.4m．（1）这个集装箱的体积是多少（用科学记数法表示）？（2）若有一个小立方块的棱长为1×10﹣3m，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？【分析】（1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案；（2）利用有理数的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：（1）∵一个正方体集装箱的棱长为0.4m，∴这个集装箱的体积是：0.4×0.4×0.4＝6.4×10﹣2（m3），答：这个集装箱的体积是6.4×10﹣2m3；（2）∵一个小立方块的棱长为1×10﹣3m，∴6.4×10﹣2÷（1×10﹣3）3＝64000000（个），答：需要64000000个这样的小立方块才能将集装箱装满．【点评】此题主要考查了科学记数法以及有理数的乘除运算，正确掌握立方体体积计算方法是解题关键．22．（2021春•奉化区校级期末）（1）已知a+4＝﹣3b，求3a×27b的值；（2）已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n的值．【分析】（1）由a+4＝﹣3b可得a+3b＝﹣4，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；（2）根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（1）因为a+4＝﹣3b，所以a+3b＝﹣4，所以3a×27b＝3a×33b＝3a+3b＝3﹣4＝；（2）因为3m＝6，9n＝2，所以32n＝2，所以32m﹣4n＝（3m）2÷（32n）2＝62÷22＝36÷4＝9．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．23．（2021春•宝应县月考）计算：（a﹣b）2•（b﹣a）3+（a﹣b）4•（b﹣a）【分析】首先根据偶次幂的性质变成同底数幂，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．【解答】解：原式＝（b﹣a）2•（b﹣a）3+（b﹣a）4•（b﹣a），＝（b﹣a）5+（b﹣a）5，＝2（b﹣a）5．【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．24．（2021秋•徐汇区校级月考）若2•8n•16n＝222，求n的值．【分析】把等号左边的数都能整理成以2为底数的幂相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后根据指数相等列式求解即可．【解答】解：2•8n•16n，＝2×23n×24n，＝27n+1，∵2•8n•16n＝222，∴7n+1＝22，解得n＝3．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．25．（2021春•高新区月考）先化简，再求值（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．（3）若x、y满足，，求下列各式的值．①（x+y）2；②x4+y4．【分析】（1）根据完全平方公式化简后，再把2x+y＝1代入计算即可；（2）根据幂的乘方的运算法则化简后，把x2n＝4代入计算即可；（3）根据完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）∵2x+y＝1，∴（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）＝y2+2y+1﹣y2+4x﹣4＝4x+2y﹣3＝2（2x+y）﹣3＝2﹣3＝﹣1；（2）∵x2n＝4，∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（22n）2＝43﹣2×42＝64﹣2×16＝32；（3）①∵，，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝＝＝；②∵，，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝＝＝．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方以及完全平方公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．26．（2021春•莱山区期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2x•23＝32，求x的值；（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：（1）∵2x•23＝32，∴2x+3＝25，∴x+3＝5，∴x＝2；（2）∵2÷8x•16x＝25，∴2÷23x•24x＝25，∴21﹣3x+4x＝25，∴1+x＝5，∴x＝4；（3）∵x＝5m﹣2，∴5m＝x+2，∵y＝3﹣25m，∴y＝3﹣（5m）2，∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提．27．（2021春•姜堰区月考）已知4×16m×64m＝421，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值．【分析】先根据幂的乘方和积的乘方得出5m+1＝21，求出m的值，再算乘方，算除法，最后代入求出即可．【解答】解：∵4×16m×64m＝421，∴41+2m+3m＝421，∴5m+1＝21，∴m＝4，∴（﹣m2）3÷（m3•m2）＝﹣m6÷m5＝﹣m＝﹣4．【点评】本题考查了幂的有关性质，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．28．（2021春•邗江区期中）已知（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a3（1）求xy和2x﹣y的值；（2）求4x2+y2的值．【分析】（1）利用积的乘方和同底数幂的除法，即可解答；（2）利用完全平方公式，即可解答．【解答】解：（1）∵（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a3∴axy＝a6，a2x÷ay＝a2x﹣y＝a3，∴xy＝6，2x﹣y＝3．（2）4x2+y2＝（2x﹣y）2+4xy＝32+4×6＝9+24＝33．【点评】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，以及完全平分公式，解决本题的关键是熟记相关公式．29．（2020秋•饶平县校级期末）若（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则求m+n的值．【分析】首先合并同类项，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则即可得出答案．【解答】解：（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）＝am+1×a2n﹣1×bn+2×b2n＝am+1+2n﹣1×bn+2+2n＝am+2nb3n+2＝a5b3．∴m+2n＝5，3n+2＝3，解得：n＝，m＝，m+n＝．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，难度不大，关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．30．（2020秋•饶平县校级期末）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0∴m+4n＝3原式＝2m•24n＝2m+4n＝23＝8．（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，＝43﹣2×42，＝32，【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．运用整体代入法是解题的关键．