冀教版九年级下册30.1 二次函数课堂检测

这是一份冀教版九年级下册30.1 二次函数课堂检测，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝(x＋2)2－x2
C．y＝x2＋2 D．y＝eq \r(x2－1)
2．点A(2，3)在函数y＝ax2－x＋1的图像上，则a等于( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是( )
A．直线x＝2 B．直线x＝－2
C．直线x＝1 D．直线x＝－1
4．y＝x2－1的图像可由下列哪一个函数的图像先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到( )
A．y＝(x－1)2＋1 B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x＋1)2＋3
5．【母题：教材P34例1(1) 】关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A．有最大值4 B．有最小值4
C．有最大值6 D．有最小值6
6．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，那么函数表达式为( )
A．y＝－x2＋2x＋3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝－x2－2x＋3
D．y＝－x2－2x－3
7．二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．在同一坐标系中，与抛物线y＝2x2关于x轴对称的抛物线为( )
A．y＝eq \f(1,2)x2 B．y＝－eq \f(1,2)x2
C．y＝－2x2 D．y＝－x2
9.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－eq \f(1,25)x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，水面宽度AB为( )
A．－20 m B．10 m
C．20 m D．－10 m
10．[2022·兰州]已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
11．[2023·襄阳一模]如图，二次函数y＝ax2＋ax与反比例函数 y＝eq \f(a,x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是( )
12．已知函数y＝x2＋bx＋c的部分图像如图所示，若y＜0，则x的取值范围是( )
A．－1＜x＜4
B．－1＜x＜3
C．x＜－1或x＞4
D．x＜－1或x＞3
13．[2023·东营]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1.若点A的坐标为(－4，0)，则下列结论正确的是( )
A．2a＋b＝0
B．－4a－2b＋c＞0
C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
D．点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上．当x1＞x2＞－1时， y1＜y2＜0
14．[2022·绍兴]已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是( )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
15．[2023·宁波]已知二次函数y＝ax2－(3a＋1)x＋3(a≠0)，下列说法正确的是( )
A．点(1，2)在该函数的图像上
B．当a＝1且－1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图像与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图像的对称轴一定在直线x＝eq \f(3,2)的左侧
16．[2023·新疆]如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx＋n与抛物线y2＝ax2＋bx－3相交于点A，B.结合图像，判断下列结论：①当－2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的一个解；③若(－1，t1)，(4，t2)是抛物线上的两点，则t1＜t2； ④对于抛物线y2＝ax2＋bx－3，当－2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5.其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
二、填空题(17，18题每题3分，19题4分，共10分)
17．[2023·泰安]二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是________．
18．将二次函数y＝2(x＋1)2的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为____________．
19. [2023·石家庄四十二中二模] [新考法·定义探究法]定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n阶方点”，例如，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)))是函数y＝x图像的“eq \f(1,2)阶方点”；点(2，1)是函数y＝eq \f(2,x)图像的“2阶方点”．
(1)在①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))；②(－1，－1)；③(1，1)三点中，是反比例函数y＝eq \f(1,x)图像的“1阶方点”的有________(填序号)；
(2)若y关于x的一次函数y＝ax－3a＋1图像的“2阶方点”有且只有一个，则a＝________；
(3)若y关于x的二次函数y＝－(x－n)2－2n＋1图像的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为________．
三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)
20．已知二次函数y＝x2＋2x＋m的图像过点A(3，0)．
(1)求m的值．
(2)当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？
21．已知抛物线y＝3x2－2x＋4.
(1)通过配方将抛物线的表达式写成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)写出抛物线的开口方向和对称轴．
22．如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C.其中A(3，0)，C(0，3)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数图像上，且S△AOP＝4S△BOC，求点P的坐标．
23．如图，二次函数y＝x2－2x－3的图像与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与一次函数y＝－x＋b的图像交于A，C两点．
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积；
(3)根据图像直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．
24．[2023·随州]为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数关系式为 p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx＋n，（1≤x＜20，且x为整数）,30，（20≤x≤30，且x为整数）)) 销量q(千克)与x的函数关系式为q＝x＋10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．
(1)m＝________，n＝________；
(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有多少天？
25. [2023·武汉] [新考法·函数建模法]某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如表．
探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飞机落到MN内(不包括端点M，N) ，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
26．[2023·保定三模]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a<0)经过点A (－1，0)，过点P(1，3)作PB∥y轴，向右作PN⊥PB，且PB＝2PN＝2，以PB，PN为邻边构造矩形PBMN.双曲线在第一象限内的分支L：y＝eq \f(k,x)经过PB的中点Q.
(1)用含a的代数式表示b，并求双曲线的表达式(不写自变量的取值范围)；
(2)若抛物线经过点P，求抛物线的表达式，并求第一象限内两个函数图像围成的封闭区域内(包括边界)所有整点(横、纵坐标都是整数的点)的个数；
(3)若在图像L的上方，抛物线与矩形PBMN的边有2个公共点，直接写出a的取值范围．
答案
一、1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.A 7.B 8.C
9．C 【点拨】由题意得－4＝－eq \f(1,25)x2，解得x＝±10.
∴点A的坐标为(－10，－4)，点B的坐标为(10，－4)，
∴这时水面宽度AB为20 m，故选C.
10．B 【点拨】∵y＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3，
∴开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x>1时，函数值y随x的增大而增大．
11．D 【点拨】根据y＝ax2＋ax可知，二次函数的图像过原点，对称轴为直线x＝－eq \f(1,2).再分a>0和a<0两种情况讨论，即可找到符合题意的答案．
12．B 【点拨】由图像知，抛物线与x轴交于(－1，0)，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)．
∵y<0时，函数的图像位于x轴的下方，
且当－1∴当－113．C 【点拨】∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴x＝－eq \f(b,2a)＝－1，∴b＝2a.∴2a－b＝0.故A错误．
∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴－4a－2b＋c＜0.故B错误．
∵抛物线与x轴交于点(－4，0)，对称轴为直线x＝－1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2，0)，
∴x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根，故C正确．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，
∴当x＞－1时，y随x的增大而增大．
∴当x1＞x2＞－1时，y1＞y2，故D错误．
故选C.
14．D 【点拨】∵抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，
∴－eq \f(m,2×1)＝2，解得m＝－4.
∴关于x的方程x2＋mx＝5为x2－4x－5＝0.
∴(x－5)(x＋1)＝0，解得x1＝5，x2＝－1.
15．C 【点拨】当x＝1时，y＝a×12－(3a＋1)×1＋3＝2－2a.
∵a≠0，∴y＝2－2a≠2，
∴点(1，2)不在该函数的图像上，
故选项A不正确；
当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，
即当x＝2时，y＝－1＜0，
故选项B不正确；
令y＝0，则ax2－(3a＋1)x＋3＝0，
∴b2－4ac＝[－(3a＋1)]2－4a·3＝(3a－1)2≥0，
∴该函数的图像与x轴一定有交点，
故选项C正确；
∵该抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(3a＋1,2a)＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2a)，a＞0，
∴eq \f(3,2)＋eq \f(1,2a)＞eq \f(3,2)，
∴该抛物线的对称轴一定在直线x＝eq \f(3,2)的右侧，故选项D不正确．
故选C.
16．B 【点拨】由图像可知当－2＜x＜3时，直线y1＝mx＋n在抛物线y2＝ax2＋bx－3的上方，
∴当－2＜x＜3时，y1＞y2，
故①正确．
由图像可知抛物线y2＝ax2＋bx－3与x轴交于点(3，0)，
∴x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的一个解，
故②正确．
将点(－2，5)，(3，0)的坐标代入y2＝ax2＋bx－3得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－2b－3＝5，,9a＋3b－3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))
∴抛物线表达式为y2＝x2－2x－3，
当x＝－1时，y2＝t1＝0，
当x＝4时，y2＝t2＝5，
∴t1＜t2，
故③正确．
由③可知(－2，5)与点(4，5)关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝eq \f(－2＋4,2)＝1.
将x＝1代入抛物线表达式，解得y2＝－4，
∴当－2＜x＜3时，y2的取值范围为－4＜y2＜5，
故④错误．
故选B.
二、17.eq \f(25,4) 18.y＝2x2－2
19．(1)②③ (2)3或－1 (3)eq \f(1,4)≤n≤1
【点拨】(1)∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))到y轴的距离为2，大于1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))不是反比例函数y＝eq \f(1,x)图像的“1阶方点”．
∵点(－1，－1)和点(1，1)都在反比例函数y＝eq \f(1,x)的图像上，且到两坐标轴的距离都为1，
∴(－1，－1)和(1，1)是反比例函数y＝eq \f(1,x)图像的“1阶方点”．
(2)如图，作正方形，四个顶点坐标分别为(2，2)，(2，－2)，(－2，2)，(－2，－2)，
当a>0时，若关于x的一次函数y＝ax－3a＋1图像的“2阶方点”有且只有一个，则y＝ax－3a＋1的图像过点(－2，2)或(2，－2)，
把(－2，2)代入y＝ax－3a＋1，得2＝－2a－3a＋1，
解得a＝－eq \f(1,5)(舍去)；
把(2，－2)代入y＝ax－3a＋1，得－2＝2a－3a＋1，
解得a＝3；
当a<0时，若y关于x的一次函数y＝ax－3a＋1图像的“2阶方点”有且只有一个，则y＝ax－3a＋1的过点(2，2)或
(－2，－2)，
把(2，2)代入y＝ax－3a＋1，得2＝2a－3a＋1，
解得a＝－1；
把(－2，－2)代入y＝ax－3a＋1，得－2＝－2a－3a＋1，
解得a＝eq \f(3,5)(舍去)；
综上，a的值为3或－1.
(3)∵二次函数y＝－(x－n)2－2n＋1的顶点坐标为
(n，－2n＋1)，
∴二次函数y＝－(x－n)2－2n＋1的顶点在直线y＝－2x＋1上移动．
∵y关于x的二次函数y＝－(x－n)2－2n＋1图像的“n阶方点”一定存在，
∴二次函数y＝－(x－n)2－2n＋1的图像与以顶点坐标为(n，n)，(n，－n)，(－n，n)，(－n，－n)的正方形有交点，
如图，当y＝－(x－n)2－2n＋1的图像过点(n，－n)时，
将(n，－n)代入y＝－(x－n)2－2n＋1，
得－n＝－(n－n)2－2n＋1，解得n＝1.
当y＝－(x－n)2－2n＋1的图像过点(－n，n)时，
将(－n，n)代入y＝－(x－n)2－2n＋1，
得n＝－(－n－n)2－2n＋1，解得n＝eq \f(1,4)或n＝－1(舍去)，
由图可知，若y关于x的二次函数y＝－(x－n)2－2n＋1图像的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为eq \f(1,4)≤n≤1.
三、20.解：(1)∵二次函数y＝x2＋2x＋m的图像过点A(3，0)，
∴9＋6＋m＝0，∴m＝－15.
(2)∵y＝x2＋2x－15＝(x＋1)2－16，
∴二次函数的图像的对称轴为直线x＝－1.
∵1＞0，
∴当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大．
21．解：(1)y＝3x2－2x＋4＝3[x2－eq \f(2,3)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)]＋4＝
3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,3)＋4＝3(x－eq \f(1,3))2＋eq \f(11,3).
(2)开口向上，对称轴是直线x＝eq \f(1,3).
22．解：(1)把点A(3，0)，C(0，3)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c中，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－9＋3b＋c＝0，,c＝3，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝3.))
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)当y＝0时，则－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3，
∴B(－1，0)．∴OB＝1.
∵A(3，0)，C(0，3)，∴OA＝3，OC＝3，
∴S△BOC＝eq \f(1,2)OB·OC＝eq \f(3,2).
∵S△AOP＝4S△BOC，∴S△AOP＝6，∴eq \f(1,2)OA·|yP|＝6，
∴|yP|＝4，∴yP＝±4，
当y＝－x2＋2x＋3＝4时，解得x＝1，即P(1，4)；
当y＝－x2＋2x＋3＝－4时，解得x＝1＋2eq \r(2)或x＝1－2eq \r(2)，即P点坐标为(1＋2eq \r(2)，－4)或(1－2eq \r(2)，－4)；
综上所述，点P的坐标为(1，4)或(1＋2eq \r(2)，－4)或
(1－2eq \r(2)，－4)．
23．解：(1)令y＝x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1.
∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)．
将点A(－1，0)的坐标代入y＝－x＋b，
得1＋b＝0，解得b＝－1.
(2)解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2－2x－3，,y＝－x－1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3.))
∴点C的坐标为(2，－3)．
∴△ABC的面积＝eq \f(1,2)×4×3＝6.
(3)根据图像可知，当－1＜x＜2时，一次函数的值大于二次函数的值．
24．解：(1)－2；60 【点拨】把(5，50)，(10，40)的坐标代入
p＝mx＋n，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5m＋n＝50，,10m＋n＝40，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝60.))
(2)当1≤x<20时，
W＝pq＝(－2x＋60)(x＋10)＝－2x2＋40x＋600；
当20≤x≤30时，
W＝pq＝30(x＋10)＝30x＋300；
∴W＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x2＋40x＋600(1≤x＜20，且x为整数)，,30x＋300(20≤x≤30，且x为整数).))
(3)在W＝－2x2＋40x＋600中，
令W＝1 000，得－2x2＋40x＋600＝1 000，
整理得x2－20x＋200＝0，
方程无实数解；
由30x＋300＞1 000得x＞23eq \f(1,3)，
∵x为整数，∴x可取24，25，26，27，28，29，30，
∴在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有7天．
25．解：探究发现：x＝5t，y＝－eq \f(1,2)t2＋12t.
问题解决：(1)依题意，得－eq \f(1,2)t2＋12t＝0，
解得t1＝0(舍去)，t2＝24，
当t＝24时，x＝120.
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m，则飞机相对于安全线的飞行高度y′＝－eq \f(1,2)t2＋12t＋n，
∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26.
在y′＝－eq \f(1,2)t2＋12t＋n中，
当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；
当t＝26，y′＝0时，n＝26.
∴12.5＜n＜26.
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.
26．解：(1)将点A(－1，0)代入抛物线的表达式y＝ax2＋bx＋2，
得a－b＋2＝0，
∴b＝a＋2.
∵PB∥y轴，P(1，3)，PB＝2，点Q为PB的中点，
∴Q(1，2)．
把点Q(1，2)的坐标代入y＝eq \f(k,x)，得eq \f(k,1)＝2，则k＝2，
∴双曲线的表达式为y＝eq \f(2,x).
(2)∵矩形PBMN中，P(1，3)，PB＝2PN＝2，
∴N(2，3)，M(2，1)．
由(1)得，抛物线的表达式可以表示为
y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a<0)．
把P(1，3)的坐标代入y＝ax2＋(a＋2)x＋2，
得a＋(a＋2)＋2＝3，解得a＝－eq \f(1,2).
∴抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2.
当x＝2时，y＝－eq \f(1,2)×4＋eq \f(3,2)×2＋2＝－2＋3＋2＝3，
∴抛物线经过点N(2，3)，
同理，抛物线经过点(3，2)．
∵图像L经过Q(1，2)，M(2，1)，且点(2，2)，(3，1)在L上方，
∴符合题意的整点坐标分别为(1，3)，(1，2)，(2，3)，(2，2)，(2，1)，(3，2)，(3，1)共有7个．
(3)a的取值范围为－eq \f(5,6)【点拨】在原题图形状态下，随着a的减小，抛物线的开口变小，顶点下移．
①当抛物线经过点P时，由(2)可知，也经过点N(2，3)，则在图像L的上方，抛物线与矩形PBMN的边有2个公共点，此时a＝－eq \f(1,2).
②当抛物线的顶点在PN上时，由eq \f(4a×2－(a＋2)2,4a)＝3，解得a1＝2eq \r(3)－4，a2＝－2eq \r(3)－4(不符合题意，舍去)，此时符合题意的公共点有3个，随着a的减小，公共点变为2个；
③当抛物线的顶点在M(2，1)上时，则4a＋2(a＋2)＋2＝1，解得a＝－eq \f(5,6)，此时符合题意的公共点有1个．
综上可知，a的取值范围为－eq \f(5,6)飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
0
10
20
30
40
…
飞行高度y/m
0
22
40
54
64
…