第14讲 一元一次不等式（核心考点讲与练)-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第14讲一元一次不等式（核心考点讲与练)一．不等式的定义（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．二．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．三．不等式的解集（1）不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．（3）解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．（4）不等式的解和解集的区别和联系不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．四．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．五．一元一次不等式的定义（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．六．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．七．一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．八．由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．九．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．十．一元一次不等式组的定义（1）一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．（2）概念解析形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．十一．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．十二．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．十四．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．1．（2021春•靖江市月考）下列各式：①1﹣x：②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以不等式有②4x+5＞0； ③x＜3，有2个．故选：B．【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．二．不等式的性质（共2小题）2．（2022春•泰兴市校级月考）若a＞b成立，则下列不等式成立的是（　　）A．﹣a＞﹣b B．﹣a+1＞﹣b+1 C．2a﹣1＞2b﹣1 D．m2a＞m2b【分析】利用不等式的性质对每个选项进行判断即可．【解答】解：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b．∴A选项不成立；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b．∴﹣a+1＜﹣b+1．∴B选项不成立；∵a＞b，∴2a＞2b．∴2a﹣1＞2b﹣1．∵a＞b，m2≥0，∴当m2＞0时，m2a＞m2b．当m2＝0时，m2a＝m2b．∴D选项不成立．综上，不等式成立的是：2a﹣1＞2b﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，利用不等式的性质对每个选项进行判断是解题的关键．3．（2022•黔东南州模拟）知识阅读：我们知道，当a＞2时，代数式a﹣2＞0；当a＜2时，代数式a﹣2＜0；当a＝2时，代数式a﹣2＝0．基本应用：当a＞2时，用“＞，＜，＝”填空．（1）a+5　＞　0；（2）（a+7）（a﹣2）　＞　0；理解应用：当a＞1时，求代数式a2+2a﹣15的值的大小；灵活应用：当a＞2时，比较代数式a+2与a2+5a﹣19的大小关系．【分析】本题主要考查不等式的基本逻辑计算．【解答】解：（1）∵a＞2，∴a+5＞0；（2）∵a＞2，∴a﹣2＞0，a+7＞0，（a+7）（a﹣2）＞0．理解应用：a2+2a﹣15＝（a+1）2﹣16，当a＝1时，a2+2a﹣15＝﹣12，当a＞1时，a2+2a﹣15＞﹣12．灵活运用：先对代数式作差，（a2+5a﹣19）﹣（a+2）＝a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25，当（a+2）2﹣25＞0时，a＜﹣7或a＞3．因此，当a≥3时，a2+5a﹣19≥a+2；当2＜a＜3时，a2+5a﹣19＜a+2．【点评】本题主要考查不等式的基本逻辑计算．在比较大小时，注意给定范围内进行不等式的相减运算．三．不等式的解集（共2小题）4．（2021春•江都区期末）若x＝3是关于x的不等式x＞2（x﹣a）的一个解，则a的取值范围是（　　）A． B． C． D．【分析】正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件即可．【解答】解：解不等式x＞2（x﹣a），得：x＜2a，∵x＝3是不等式的一个解，∴3＜2a，解得：．故选：B．【点评】本题考查一元一次不等式的解集，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集．5．（2022春•海安市月考）如果关于x的不等式组无解，则常数a的取值范围是　a≤2　．【分析】根据不等式组解集的表示方法，可得答案．【解答】解：由关于x的不等式组无解，得a+2≥3a﹣2，解得a≤2，则常数a的取值范围是a≤2，故答案为：a≤2．【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式组无解得出关于a的不等式解题关键．四．在数轴上表示不等式的解集（共2小题）6．（2021春•新吴区月考）满足﹣3＜x≤1的数在数轴上表示为（　　）A． B． C． D．【分析】﹣3＜x≤1表示不等式x＞﹣3与不等式x≤1的公共部分．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：由于x＞﹣3，所以表示﹣3的点应该是空心点，折线的方向应该是向右．由于x≤1，所以表示1的点应该是实心点，折线的方向应该是向左．所以数轴表示的解集为：故选：A．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．7．（2021春•兴化市期末）如图，数轴上表示关于x的不等式组的解集是 　﹣1＜x≤3　．【分析】从数轴可得不等式组的解集为﹣1＜x≤3．【解答】解：从图可知，不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故答案为﹣1＜x≤3．【点评】本题考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上解集的特点，注意实心与空心点的区别是解题的关键．五．一元一次不等式的定义（共1小题）8．（2021春•诸城市期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　）A．x2+3x＞1 B．x﹣＜0 C． D．≤5【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐一判断即可得．【解答】解：A．x2+3x＞1中x2的次数为2，不是一元一次不等式；B．x﹣＜0含有2个未知数x、y，不是一元一次不等式；C．是一元一次不等式；D．≤5中是分式，不是一元一次不等式；故选：C．【点评】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．六．解一元一次不等式（共1小题）9．（2021春•广陵区校级月考）如图，是关于x的不等式2x﹣m＜﹣1的解集，则m的值为（　　）A．m≤﹣2 B．m≤﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝﹣1【分析】根据不等式的解集，可得关于m的方程，解方程，可得答案．【解答】解：解不等式，得x＜，又不等式的解集是x＜﹣1，得＝﹣1，解得m＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于m的方程是解题关键．七．一元一次不等式的整数解（共2小题）10．（2021春•东台市月考）不等式2x﹣1≤5的非负整数解有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．【解答】解：2x﹣1≤5，移项合并得：2x≤6，系数化为1得：x≤3，则非负整数解有：0，1，2，3，一共4个．故选：D．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，属于基础题，解答此题不仅要明确不等式的解法，还要知道非负整数的定义．11．（2022春•市中区校级月考）已知不等式3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7的最大整数解是方程2x﹣mx＝﹣10的解，求m的值．【分析】解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最大整数解，然后代入方程方程2x﹣mx＝﹣10，从而可以得到m的值．【解答】解：3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7，3x﹣6﹣5＞6x+6﹣7，﹣3x＞10，∴x＜﹣，∴最大整数解为﹣4，把x＝﹣4代入2x﹣mx＝﹣10，得：﹣8+4m＝﹣10，解得m＝﹣．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法．八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共1小题）12．（2021春•牧野区校级期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（　　）A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48 C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48【分析】根据题意表示出胜与负所得总分数大于等于48，进而得出不等关系．【解答】解：这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是：2x+（32﹣x）≥48．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．九．一元一次不等式的应用（共3小题）13．（2021春•镇江期末）小明一家6人去公园游玩，小明爸爸给了小明100元买午饭，有12元套餐和18元套餐可供选择，若至少有2个人要吃18元套餐，请问小明购买的方案有（　　）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【分析】设要吃18元套餐的有x人，由题意：小明爸爸给了小明100元买午饭，有12元套餐和18元套餐可供选择，列出不等式，解不等式即可．【解答】解：设要吃18元套餐的有x人，由题意得：18x+12（6﹣x）≤100，解得：x≤，又∵2≤x＜6，∴2≤x≤，∴x的取值为2，3，4，∴小明购买的方案有3种．故选：B．【点评】此题考查一元一次不等式的应用，找出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键．14．（2021秋•阜宁县期末）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【分析】（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，根据“购买3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，购买2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，依题意，得：，解得：．答：1个甲种乒乓球的售价是5元，1个乙种乒乓球的售价是7元．（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，依题意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400．∵a≤3（200﹣a），∴a≤150．∵﹣2＜0，∴w值随a值的增大而减小，∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50．答：当购买甲种乒乓球150个，乙种乒乓球50个时最省钱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．15．（2021秋•惠山区期末）甲、乙两家超市同价销售同一款可拆分式驱蚊器，1套驱蚊器由1个加热器和1瓶电热蚊香液组成．电热蚊香液作为易耗品可单独购买，1瓶电热蚊香液的售价是1套驱蚊器的．已知电热蚊香液的利润率为20%，整套驱蚊器的利润率为25%．张阿姨从甲超市买了1套这样的驱蚊器，并另外买了4瓶电热蚊香液，超市从中共获利10元．（1）求1套驱蚊器和1瓶电热蚊香液的售价；（2）为了促进该款驱蚊器的销售，甲超市打8.5折销售，而乙超市采用的销售方法是顾客每买1套驱蚊器送1瓶电热蚊香液．在这段促销期间，甲超市销售2000套驱蚊器，而乙超市在驱蚊器销售上获得的利润不低于甲超市的1.2倍．问乙超市至少销售多少套驱蚊器？【分析】（1）设1套驱蚊器售价5x元，1瓶电热蚊香液的售价x元，根据题意列出方程解答即可；（2）设乙超市销售x套驱蚊器，根据乙超市在驱蚊器销售上获得的利润不低于甲超市的1.2倍列出方程解答即可．【解答】解：（1）设1套驱蚊器售价5x元，1瓶电热蚊香液的售价x元；，解得x＝6，所以设1套驱蚊器售价30元，1瓶电热蚊香液的售价6元．（2）设乙超市销售x套驱蚊器．W甲＝2000×（30×0.85﹣24）＝3000元；W乙＝x×（30﹣24）﹣x×5＝x由题意知W乙＝1.2W甲解得x＝3000．乙超市至少销售3000套驱蚊器．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．一十．一元一次不等式组的定义（共1小题）16．下面给出的不等式组中①②③④⑤，其中是一元一次不等式组的个数是（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案．【解答】解：①是一元一次不等式组，故①正确；②是一元一次不等式组，故②正确；③是一元二次不等式组，故③错误；④是一元一次不等式组，故④正确；⑤是二元一次不等式组，故⑤错误；故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．一十一．解一元一次不等式组（共2小题）17．（2021春•东台市月考）关于x的一元一次不等式组无解，求m的取值范围（　　）A．m＜0 B．m＞0 C．m≤0 D．m≥0【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定关于m的不等式．【解答】解：由2（x+1）＞3x+1，得：x＜1，由x﹣m＞1，得：x＞m+1，∵不等式组无解，∴m+1≥1，则m≥0，故选：D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（2021春•简阳市 月考）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：（1）＜﹣1 （2）．【分析】（1）先去分母，再去括号得到4x+4＜5x﹣5﹣6，然后移项后合并，再把x的系数化为1得到x＞15，最后用数轴表示解集；（2）先分别解两个不等式得到x≥7和x＜2，再利用大大小小找不到确定不等式组的解集，然后利用数轴表示解集．【解答】解：（1）去分母得4（x+1）＜5（x﹣1）﹣6，去括号得4x+4＜5x﹣5﹣6，移项得4x﹣5x＜﹣5﹣6﹣4，合并得﹣x＜﹣15，系数化为1得x＞15，用数轴表示为：（2），解①得x≥7，解②得x＜2，所以不等式组无解，用数轴表示为：【点评】本题考查了解元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了在数轴上表示不等式的解集．一十二．一元一次不等式组的整数解（共1小题）19．（2021春•天宁区校级月考）若关于x的不等式组的所有整数解的和是15，则m的取值范围是（　　）A．5＜m＜6 B．5≤m＜6 C．5＜m≤6 D．5≤m≤6【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为15，可以确定整数解为1、2、3、4、5，再根据解集确定m的取值范围．【解答】解：解不等式组得：1≤x＜m，∵所有整数解的和是15，15＝1+2+3+4+5，∴不等式组的整数解为1、2、3、4、5，∴5＜m≤6；故选：C．【点评】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．一十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）20．（2016春•戚墅堰区校级期末）小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，则宽的长度xcm应满足的不等式组为（　　）A． B． C． D．【分析】由于长方形的相片框架的长为25cm，而长总大于宽，由此得到x＜25，又面积不小于500，根据面积公式可以得到25x≥500，联立两个不等式组成不等式组，解不等式组即可求解．【解答】解：根据题意，得．故选：A．【点评】此题中要注意隐含的不等关系：长总大于宽．熟悉长方形的面积公式．一十四．一元一次不等式组的应用（共3小题）21．（2021春•崇川区期末）农场利用一面墙（墙的长度不限），用50m的护栏围成一块如图所示的长方形花园，设花园的长为am，宽为bm．（1）若a比b大5，求a的值；（2）若受场地条件的限制，b的取值范围为12≤b≤16，求a的取值范围．【分析】（1）根据护栏的总长度为50，a比b大5，列出方程组，解方程组即可；（2）根据a+2b＝50，得到b的表达式，根据12≤b≤16，列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：，∴a的值为20；（2）∵a+2b＝50，∴b＝，∵12≤b≤16，∴12≤≤16，∴a的取值范围为：18≤a≤26．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，注意第（1）问只是一种假设，与第（2）问无关．22．（2021春•镇江期末）又是一年瑞阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽．今年端午节前，某校开展“学党史、感党恩、悟思想”活动，购买了一批粽子送给镇上养老院老人品尝．结算时发现：购买4盒A种品牌粽子的费用与购买3盒B种品牌的粽子的费用相同；此次购买A种品牌的粽子30盒，B种品牌的粽子20盒共花费3400元．（1）求A、B两种品牌粽子的单价各多少元？（2）根据活动需要，该校决定再次购买A、B两种品牌的粽子50盒，正逢某超市“优惠促销”活动，A种品牌的粽子每盒单价优惠4元，B种品牌的粽子每盒单价打8折．如果此次购买A、B两种品牌粽子50盒的总费用不超过3000元，且购买B种品牌的粽子不少于23盒，则有几种购买方案？【分析】（1）设A种品牌粽子的单价是x元，B种品牌粽子的单价是y元，由题意：购买4盒A种品牌粽子的费用与购买3盒B种品牌的粽子的费用相同；购买A种品牌的粽子30盒，B种品牌的粽子20盒共花费3400元．列出方程组，解方程组即可；（2）设购买B品牌粽子n个，则购买B品牌粽子（50﹣n）个，由题意：A种品牌的粽子每盒单价优惠4元，B种品牌的粽子每盒单价打8折．购买A、B两种品牌粽子50盒的总费用不超过3000元，且购买B种品牌的粽子不少于23盒，列出不等式组，求出不等式组的正整数解即可．【解答】解：（1）设A种品牌粽子的单价是x元，B种品牌粽子的单价是y元，由题意得：，解得：，答：A种品牌粽子的单价是60元，B种品牌粽子的单价是80元；（2）设此次购买A品牌粽子n个，则购买B品牌粽子（50﹣n）个，由题意得：，解得：23≤n≤25，∵n是正整数，∴n可取23或24或25，则50﹣n＝27或26或25，答：共有三种购买方案：方案一、A种品牌的粽子 23个，B种品牌的粽子27个；方案二、A种品牌的粽子 24个，B种品牌的粽子26个；方案三、A种品牌的粽子 25个，B种品牌的粽子25个．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．23．（2022春•临川区校级月考）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．【分析】（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件，列出方程即可解决．（2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件，列出不等式组解决问题．（3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解．【解答】解：（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件，由题意，x+3（10﹣x）＝14，解得x＝8，∴10﹣x＝2，∴A种产品应生产8件，B种产品应生产2件． （2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件，由题意得，解这个不等式组，得2≤m＜5，∵m为正整数，m可以取2或3或4；∴生产方案有3种：①生产A种产品2件，B种产品8件；②生产A种产品3件，B种产品7件．③生产A种产品4件，B种产品6件．（3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，则利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30，则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大，所以当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．（2021春•金坛区期末）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）A．a+1＜b+1 B．a﹣1＜b﹣1 C．2a＞2b D．﹣2a＞﹣2b【分析】根据不等式的性质进行分析判断．【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即a+1＞b+1，原变形错误，故此选项不符合题意；B、在不等式a＞b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＞b﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意；C、在不等式a＞b的两边同时乘2，不等号的方向改变，即2a＞2b，原变形正确，故此选项符合题意；D、在不等式a＞b的两边同时乘﹣2，不等号的方向不变，即﹣2a＜﹣2b，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2．（2021春•广陵区校级月考）如图，是关于x的不等式2x﹣m＜﹣1的解集，则m的值为（　　）A．m≤﹣2 B．m≤﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝﹣1【分析】根据不等式的解集，可得关于m的方程，解方程，可得答案．【解答】解：解不等式，得x＜，又不等式的解集是x＜﹣1，得＝﹣1，解得m＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于m的方程是解题关键．3．（2021春•广陵区校级月考）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4，（10]＝9，如果（x]＝﹣3，则x的取值范围为（　　）A．﹣3＜﹣x＜﹣2 B．﹣3≤x＜﹣2 C．﹣3＜x≤﹣2 D．﹣3≤x≤﹣2【分析】（x]表示小于x的最大整数，依此即可求解．【解答】解：∵（x]＝﹣3，∴﹣3＜x≤﹣2，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据（x]的定义得到关于x的不等式是解题的关键．4．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）A． B． C． D．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，∵，∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则；解得．故选：B．【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案．二．填空题（共6小题）5．（2021春•东台市月考）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数x有 　3　种情况．【分析】根据经过两次运算才能运算出结果，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出结论．【解答】解：依题意得：，解得：＜x≤．又∵x为整数，∴x可以为2，3，4，∴输入的整数x有3种情况．故答案为：3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．6．（2021春•金坛区期末）若代数式x+1的值小于代数式2x的值，则x的取值范围是 　x＞1　．【分析】由题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．【解答】解：根据题意，得x+1＜2x，移项、合并同类项，得﹣x＜﹣1，系数化为1，得x＞1，故答案为x＞1．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．7．（2021春•金坛区期末）若关于x，y的方程组的解满足x+y≤2，则2m+5的最大值是 　6　．【分析】由x+y≤2得出关于m的不等式，解之可得m的取值，得出m的最大值，即可求得结论．【解答】解：解方程组，①+②得，2x+2y＝2+4m，∵x+y≤2，∴1+2m≤2，解得：m≤，∴2m+5的最大值为2×+5＝6，故答案为6．【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键．8．（2021春•邗江区校级期末）如果m不是不等式的解，则m的取值范围是 　m＜1　．【分析】求得不等式的解集，根据题意即可求得m＜1．【解答】解：，4x﹣2≥3x﹣1，x≥1，∵m不是不等式的解，∴m＜1，故答案为m＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键是能得出不等式的解集．9．（2021春•亭湖区校级期末）若不等式组的解集是x＞m，则m的取值范围是 　m≥3　．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得答案．【解答】解：解不等式x+8＜4x﹣1，得：x＞3，由﹣x＜﹣m，得：x＞m，∵不等式组的解集为x＞m，∴m≥3，故答案为：m≥3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．（2021春•东台市月考）若关于x的不等式组的所有整数解之和等于9，则a的取值范围是 　﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12　．【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为5，可以确定不等式组的整数解为2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，再根据解集确定a的取值范围．【解答】解：，解不等式①得x＞，解不等式②得x＜5，∵所有整数解的和是9，∴不等式组的整数解为2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，∴1≤＜2或﹣2≤＜﹣1，∴﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12故答案为：﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12．【点评】本题考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．三．解答题（共12小题）11．（2020•晋江市模拟）某校举行“讲文明、爱卫生”知识竞赛，共有20道题，答对一道题得10分，答错或不答扣5分，若小明同学得分要超过100分，那么他至少要答对几道题？【分析】设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据得分＝10×答对题目数﹣5×答错或不答题目数结合得分超过100分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．【解答】解：设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，依题意，得：10x﹣5（20﹣x）＞100，解得：x＞，又∵x为正整数，∴x的最小值为14．答：他至少要答对14道题．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．12．（2020春•鼓楼区校级期中）油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中，汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油．某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：某人计划购入一辆上述品牌的汽车．他估算了用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本，则他在估算时，预计行驶的公里数至少为多少公里？【分析】设行驶的公里数为x公里，根据选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：设行驶的公里数为x公里，依题意，得：168800+x≤150800+x，解得：x≥120000．答：行驶的公里数至少为120000公里．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．13．（2021春•平川区校级期末）解不等式组并求出它的所有整数解的和．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后求出整数解的和即可．【解答】解：解不等式3x+6≥5（x﹣1），得：x≤5.5，解不等式﹣＜1，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤5.5，所以不等式组所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．14．（2020春•玄武区期末）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．【解答】解：解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，∴不等式组的整数解为﹣1、0、1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．（2020春•崇川区校级期中）启秀中学初一年级组计划将m本书奖励给本次期中考试取得优异成绩的n名同学，如果每人分4本，那么还剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的书不足8本，但不少于4本，最终，年级组经讨论后决定，给这n名同学每人发6本书，那么将剩余多少本书？【分析】由“如果每人分4本，那么还剩下78本”可得出m＝4n+78，结合“如果每人分8本，那么最后一人分得的书不足8本”，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，再结合n为正整数即可得出m，n的值，将其代入（m﹣6n）中即可求出结论．【解答】解：依题意，得：，解得：＜n≤．又∵n为正整数，∴n＝20，∴m＝4n+78＝158，∴m﹣6n＝158﹣6×20＝38．答：将剩余38本书．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．16．（2020•苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．（1）当a＝20时，求b的值；（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．【分析】（1）由护栏的总长度为50m，可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）由a的取值范围结合a＝50﹣2b，即可得出关于b的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）依题意，得：20+2b＝50，解得：b＝15．（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，∴，解得：12≤b≤16．答：b的取值范围为12≤b≤16．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．17．（2021春•滨海县月考）已知2x﹣y＝4．若﹣2＜y≤3，求x的取值范围．【分析】题意题意得到﹣2＜2x﹣4≤3，然后解关于x的不等式组即可．【解答】解：根据题意得﹣2＜2x﹣4≤3，2＜2x≤7，所以1＜x≤．故答案为：1＜x≤．【点评】本题考查了解不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．18．（2021秋•阜宁县期末）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【分析】（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，根据“购买3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，购买2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，依题意，得：，解得：．答：1个甲种乒乓球的售价是5元，1个乙种乒乓球的售价是7元．（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，依题意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400．∵a≤3（200﹣a），∴a≤150．∵﹣2＜0，∴w值随a值的增大而减小，∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50．答：当购买甲种乒乓球150个，乙种乒乓球50个时最省钱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．19．（2021春•滨海县月考）由于疫情影响，某校购买了50个A类红外线体温计和25个B类红外线体温计，共花费7500元，已知购买一个B类红外线体温计比购买一个A类红外线体温计多花30元．（1）求购买一个A类红外线体温计和B类红外线体温计各需多少元？（2）由于疫情影响，学校计划用不超过4650元的经费再次购买两类红外线体温计共50个，若单价不变，则本次至少可以购买A类红外线体温计多少个？【分析】（1）设购买一个A类红外线体温计需x元，购买一个B类红外线体温计需y元，根据“购买50个A类红外线体温计和25个B类红外线体温计，共花费7500元，购买一个B类红外线体温计比购买一个A类红外线体温计多花30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A类红外线体温计m个（ m为正整数），则购买B类红外线体温计（ 50﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4650元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设购买一个A类红外线体温计需x元，购买一个B类红外线体温计需y元，依题意得：，解得：．答：购买一个A类红外线体温计需90元，购买一个B类红外线体温计需120元．（2）设购买A类红外线体温计m个（ m为正整数），则购买B类红外线体温计（ 50﹣m）个，依题意得：90m+120（50﹣m）≤4650，解得：m≥45．又∵m为正整数，∴m的最小值为45．答：本次至少可以购买A类红外线体温计45个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20．（2021•淮阴区校级模拟）利用数轴求不等式组：的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上，继而可确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x+1＞x，得：x＞﹣1，解不等式﹣x≥1，得：x≤3，将不等式的解集表示在数轴上如下：则不等式组的解集为﹣1＜x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（2021春•建湖县月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞﹣5，求m的取值范围．【分析】把方程组的两式相加，用含m的代数式表示出x+y，再代入不等式，求解不等式即可．【解答】解：，①+②得3x﹣3y＝3m+3，∴x﹣y＝m+1．∵x﹣y＞﹣5，∴m+1＞﹣5．∴m＞﹣6．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．22．（2022春•市中区校级月考）已知不等式3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7的最大整数解是方程2x﹣mx＝﹣10的解，求m的值．【分析】解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最大整数解，然后代入方程方程2x﹣mx＝﹣10，从而可以得到m的值．【解答】解：3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7，3x﹣6﹣5＞6x+6﹣7，﹣3x＞10，∴x＜﹣，∴最大整数解为﹣4，把x＝﹣4代入2x﹣mx＝﹣10，得：﹣8+4m＝﹣10，解得m＝﹣．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法．题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．（2021春•海州区期末）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于60分，那么小明至少答对的题数是（　　）A．15道 B．14道 C．13道 D．12道【分析】设小明答对的题数是x道，答错的为（20﹣2﹣x）道，根据总分才不会低于60分，这个不等量关系可列出不等式求解．【解答】解：设小明答对的题数是x道，根据题意可得：5x﹣2（20﹣2﹣x）≥60，解得：x≥13，故x应为14．故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是设出相应的题目数，以得分作为不等量关系列不等式求解．2．（2021•望城区模拟）一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（　　）A． B． C． D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1，解不等式≤2，得：x≤3，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（2021春•利州区期末）已知非负数a，b，c满足条件a+b＝7，c﹣a＝5，设S＝a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值（　　）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b＝7和c﹣a＝5推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b＝7和c﹣a＝5把S＝a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．【解答】解：∵a，b，c为非负数；∴S＝a+b+c≥0；又∵c﹣a＝5；∴c＝a+5；∴c≥5；∵a+b＝7；∴S＝a+b+c＝7+c；又∵c≥5；∴c＝5时S最小，即S最小＝12，即n＝12；∵a+b＝7；∴a≤7；∴S＝a+b+c＝7+c＝7+a+5＝12+a；∴a＝7时S最大，即S最大＝19，即m＝19；∴m﹣n＝19﹣12＝7．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是熟练掌握不等式的性质，求出S的最大值及最小值，难度较大．4．（2021春•西平县期末）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少12元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围为（　　）A．8＜x＜10 B．9＜x＜11 C．8＜x＜12 D．10＜x＜12【分析】根据题意得出不等式组解答即可．【解答】解：根据题意可得：，∵三个人都说错了，∴这本书的价格x（元）所在的范围为10＜x＜12．故选：D．【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．5．（2020春•润州区期末）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（　　）A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③【分析】根据题目中的方程组可以判断各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：当a＝1时，，解得，，∴x+y＝0≠2﹣1，故①错误，当a＝﹣2时，，解得，，则x+y＝6，此时x与y不是互为相反数，故②错误，∵，解得，，∵x≤1，则≤1，得a≥0，∴0≤a≤1，则1≤≤，即1≤y≤，故③错误，∵，解得，，当x＝＝4时，得a＝，y＝，故④错误，故选：A．【点评】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程（组）的解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程和不等式的性质解答．二．解答题（共5小题）6．（2021春•沭阳县期末）已知关于x、y的方程组的解x、y满足3x+y≥0，求m的取值范围．【分析】先把x、y的值用m表示出来，再代入3x+y≥0即可求出m的取值范围．【解答】解：，①+②得，3y＝2m，解得y＝m；代入①得，m﹣x＝m﹣1，解得x＝﹣m+1，把x、y的值代入3x+y≥0得，3×（﹣m+1）+m≥0，解得m≤9．故m的取值范围为：m≤9．【点评】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式，解答此题的关键是先把m当作已知表示出x、y的值，即可得到关于m的一元一次不等式，再根据解一元一次不等式的方法求解．7．（2020春•句容市期末）2020年2月初，由于新型冠状病毒（COVID﹣19）的传播，消毒剂市场出现热卖，某旗舰网店用60000元购进一批甲种品牌的免洗手消毒液和乙种品牌的75%酒精消毒纸巾，销售完后共获利9000元，进价和售价如下表：（1）求该网店购进甲种消毒液和乙种消毒纸巾分别是多少？（2）该网店第二次以原价购进上述甲、乙两种物品，购进乙种物品袋数不变，而购进甲种物品的数量是第一次的2倍．甲种物品按原售价出售，而乙种物品让利销售．若两种物品销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于7600元，乙种物品每袋最低售价为每袋多少元？【分析】（1）分别根据旗舰网店用60000元购进进一批甲种品牌的免洗手消毒液和乙种品牌的75%酒精消毒纸巾，销售完后共获利9000元，得出等式组成方程求出即可；（2）根据购进甲种物品的数量是第一次的2倍，要使第二次销售活动获利不少于7600元，得出不等式求出即可．【解答】解；（1）设网店购进甲种消毒液x瓶，乙种消毒纸巾y袋，根据题意，得，解得：，答：网店购进甲种消毒液600瓶，乙种消毒纸巾1000袋；（2）设乙种物品每袋售价为每袋a元，根据题意得出：600×2×（35﹣30）+1000×（a﹣42）≥7600，解得：a≥43.6，答：乙种物品每袋最低售价为每袋43.6元．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．8．（2020春•锡山区期末）新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表：（1）求购进A，B两种型号的口罩机各多少台；（2）现有200万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台进行生产．若工厂的工人每天工作10h，则至少购进B种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？【分析】（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，根据财政拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据工作总量＝工作效率×时间结合在5天内完成200万只口罩的生产任务，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】（1）设购进A型号口罩机x台，B型号口罩机y台，．解之得．答：购进A型号口罩机10台，B型号口罩机20台；（2）设购进B型口罩机m台，则5×10×[2500（15﹣m）+3000m]≥2000000．解之得m≥5．答：至少购进B型号口罩机5台．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．9．（2020春•姜堰区期末）某物流公司安排A、B两种型号的卡车向灾区运送抗灾物资，装运情况如下：（1）求A、B两种型号的卡车平均每辆装运物资多少吨；（2）该公司计划安排A、B两种型号的卡车共15辆装运150吨抗灾物资，那么至少要安排多少辆A种型号的卡车？【分析】（1）设A种型号的卡车平均每辆装运物资x吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资y吨，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设要安排m辆A种型号的卡车，根据“该公司计划安排A、B两种型号的卡车共15辆装运150吨抗灾物资”即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设A种型号的卡车平均每辆装运物资x吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资y吨，根据题意，得．解得．答：A种型号的卡车平均每辆装运物资12吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资8吨；（2）设要安排m辆A种型号的卡车，则需要安排（15﹣m）辆B种型号的卡车，根据题意，得12m+8（15﹣m）≥150解得m≥7.5．由于m是正整数，所以m最小值是8．答：至少要安排8辆A种型号的卡车．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．10．（2020春•沭阳县期末）为了更好地保护环境，治理水质，我区某治污公司决定购买12台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，A型每台m万元； B型每台n万元，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元．（1）求m、n的值．（2）经预算，该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元．该公司A型设备最多能买台？【分析】（1）根据：“买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元”列方程组求解可得；（2）根据：“购买污水处理器的资金不超过158万元”列不等式求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：，解得：，答：m的值为14，n的值为11；（2）设A型设备买x台，根据题意，得：14x+11（12﹣x）≤158，解得：x≤8，答：A型设备最多买8台．【点评】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意，将相等关系或不等关系转化为方程或不等式是关键．A种产品B种产品成本（万元/件）25利润（万元/件）13油电混动汽车普通汽车购买价格（万元）16.8815.08每百公里燃油成本（元）3045甲种免洗手消毒液（元/瓶）乙种75%酒精消毒纸巾（元/袋）进价3042售价3548单价/万元工作效率/（只/h）A种型号162500B种型号203000装运批次卡车数量装运物资重量A种型号B种型号第一批2辆4辆56吨第二批4辆6辆96吨