2022-2023学年辽宁省沈阳市于洪区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市于洪区九年级上学期数学期中试题及答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 某几何体的三种视图如图所示，这个几何体是（ ）
A. 完整的圆柱B. 圆柱的一部分
C. 完整的球体D. 球体的一部分
【答案】D
【解析】
【分析】根据主视图与左视图是弓形，俯视图是圆，即可判断这个几何体是球体的部分，据此即可求解．
【详解】解：∵主视图与左视图是弓形，俯视图是圆，
∴这个几何体是球体的一部分，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体题意，掌握三视图的定义是解题的关键．
2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】，
方程左右两边同时加1，得：，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题关键．
3. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当m一定时，与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
4. 在一个晴朗的上午，乐乐拿着一块长方形木板在地面上形成的投影中不可能的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解:A项,将长方形木板与地面成一定角度放置时,形成的影子可能为正方形,故A不符合题意,
B项,将长方形木板与地面平行放置时,形成的影子为矩形,故B项不符合题意,
C项,由于同一时刻物高与影长成比例,且长方形对边相等,得到的投影不可能是梯形,故C选项符合题意,
D项,将长方形木板倾斜放置形成的影子为平行四边形,故D项不符合题意,
故选C.
5. 已知反比例函数，在每一个象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数性质求出，再根据，逐项判定即可．
【详解】解：∵反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，,
∴，
A.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B.∵，∴点可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D.∵，∴点不可能这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察表格第二行中的数字，与15最接近时x的范围即为所求根的范围．
【详解】解：∵14.41＜15＜15.84，
∴一元二次方程x2+12x=15的一个根的范围为1.1＜x＜1.2．
故选：B．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标．
【详解】根据以原点O为位似中心的图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以，
∵点A的坐标是，
∴点的坐标为或．
故选C．
【点睛】本题考查利用位似求坐标．掌握位似比与相似比的关系以及位似图形对应点的坐标与位似比的关系是解决问题的关键．
8. 某公司前年缴税40万，今年缴税万，设该公司这两年缴税的平均增长率为，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设该公司这两年缴税的平均增长率为，根据两次增长，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设该公司这两年缴税的平均增长率为，根据题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是（ ）
A. B. 是的平分线
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按照相似三角形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：在和中，，
如果，需满足的条件有：①或是的平分线；②；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
10. 如图，，分别是正方形的边，上的点，且，下列结 论：①；②；③；④，其中一定正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质以及已知条件证明，进而根据全等三角形的性质得出,，，即可判断①，②，根据全等三角形的性质得出，即可判断③，假设④成立，根据垂直平分线的性质得出重合，即可判断④．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
又，
∴，
∴,，，
∵，
∴，
∴，
即，故①正确；
∵，，
∴，
即，故②正确；
∵，
∴，
∴，
即，故③正确；
连接，
∵，
若，则垂直平分，
则，则，即点与点重合时成立，故④不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，掌握正方形的性质与全等三角形的性质与判定是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质求解即可得到答案
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
【答案】且a≠0
【解析】
【分析】根据“方程是一元二次方程”，得到，根据“原方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于的不等式，解之即可．
【详解】解：方程是一元二次方程，
，
原方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：，
综上可知：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
13. 如图，在菱形中，对角线，交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长是__________．
【答案】32
【解析】
【分析】由菱形的性质可知点O为中点，，结合题意可确定为的中位线，即得出，从而可求出菱形的周长．
【详解】∵四边形是菱形，
∴点O为中点，．
∵点是的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴菱形的周长为．
故答案为：32．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线的判定和性质．掌握三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半是解题关键．
14. 在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有个，除颜色外都相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球、黑球的频率稳定在和，请你估计布袋中白球的个数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红球、黑球的频率为和，则摸到蓝球的概率为，然后根据概率公式可计算出口袋中白球的个数．
【详解】解：根据题意得摸到红球、黑球的频率为和，则摸到白球的频率为，
∵（个），所以可估计袋中白球的个数为个．
故答案为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
15. 如图，矩形的面积为36，对角线与双曲线相交于点，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求的面积，由反比例函数的性质可求解．
【详解】如图，连接，过点D作于E，
∵矩形的面积为36，
∴，
∵，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线图象过点D，
∴，
又∵双曲线图象在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求出的面积是解题的关键．
16. 如图，将平行四边形纸片折叠，折痕为，点、分别在边，上，点，的对应点分别为，，且点在平行四边形内部，的延长线交于点．交边于点．，，，当点为三等分点时，的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】由折叠得，，证明得，再分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，则有两种情况：
①若时，则有：
∴，，
过点作交于的延长线于点，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
∴；
②若时，则有：
∴，，
∵，则，
在中，，
∴，
∴；
∴，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，进行分类讨论是解答本题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）
17. 解方程
【答案】，
【解析】
【分析】先将方程化成一般式，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
18. 九年一班利用晨读时间经典诵读．某天甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后不放回，乙同学再从剩余签中随机抽取一个，请用列表法或画树状图法求甲、乙两人至少有一人抽到B《观沧海》的概率．
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵共有6种等可能的情况，甲、乙两人至少有一人抽到B《观沧海》的情况有4种，
∴甲、乙两人至少有一人抽到B《观沧海》的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，在中，为中点，连接并延长交的延长线于点．连接，．若，求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和为中点，可证，得到，进而可证四边形是平行四边形，再根据，得到，即可证明四边形是矩形．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
为中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．
四、（每题8分，共16分）
20. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为米的木杆放在灯杆（点处为照明灯）前米处，沿着方向移动米放置另一个等长木杆．
（1）请分别画出木杆，的影子（用线段表示，适当加粗）；
（2）若测得木杆影长为1米，求木杆的影子长度．
【答案】（1）见解析 （2）木杆的影子长度为米
【解析】
【分析】（1）作射线分别交直线于点,则即为所求；
（2）根据题意证明，，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，作射线分别交直线于点,则即为所求．
【小问2详解】
依题意，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴木杆的影子长度为米．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个；为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
【答案】台灯的售价定为50元，应进台灯500个．
【解析】
【分析】设售价定为x，那么就少卖出10(x-40)个，根据“总利润=单个商品利润×熟练，单个商品利润=售价-进价”，可列方程求解．
【详解】解：设售价定为x元，
由题意可知：[600-10(x-40)](x-30)=10000，
整理，得：x2-130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80，
又售价在40～60元范围内，
∴x2=80舍去，
∴售价定为50元，
此时应进台灯为：600-10(x-40)=600-10×(50-40)=500(个)，
答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握公式“总利润=单个商品利润×熟练，单个商品利润=售价-进价”进而列方程求解．
五、（本题10分）
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．，与轴相交于点．
（1）填空：的值为__________，的值为__________，的值为__________；
（2）考察这两个函数的图象，当时，请直接写出自变量的取值范围；
（3）若，，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1），4，8
（2）或
（3）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）把点A，B的坐标分别代入即可求出m，n的值，再把求得的点A或点B的值代入，求出k的值即可；
（2）结合函数图象，判断反比例函数图象在直线上方时x的取值范围即可；
（3）先求出点C的坐标，得出，再求出点D坐标，得出，判断，结合，可判断四边形的形状．
【小问1详解】
∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．，
∴，，
即：，
∴．，
把点代入得，，
故答案为：，4，8；
【小问2详解】
∵．，
由图象得，当时，的取值范围为或；
【小问3详解】
四边形菱形，理由如下：
对于，当时，，解得，，
∴，
过点B作于点D，于点F，如图，
∴
∵，，
∴
∴
∴;
∵，
∴,
∴,
在中，,
∴（负值舍去）
∴，
∴
又，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的判定和平行四边形的判定等知识，利用了数形结合的思想，求出是解本题的关键．
六、（本题10分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点．点为射线上的一个动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）当点在线段上时，且，求四边形的面积；
（3）若四边形面积为9，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）点的坐标
（2）
（3）或或．
【解析】
【分析】（1）将一次函数联立组成二元一次方程组，解方程，求出交点坐标即可；
（2）根据相似比分别表示出平行四边形的底和高，再求解即可；
（3）根据坐标的特点，可设，则，表示出四边形的面积，再让面积等于9，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得：
解得：
故点的坐标为；
【小问2详解】
解：过点A作于点L，过点C作于点K，
∵直线与轴交于点
∴点B坐标
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∵， ，
∴
∵
∴
∴
故四边形的面积；
【小问3详解】
解：∵，则可设，则
∴
∴
当时，
∴
则
∴或
∴或
当时，；
当时，．
当时，
∴
则或
∵，点为射线上的一个动点
∴，（舍去）
∴当时，；
综上所述，或或 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是能根据坐标的特征求出线段的长度．
七、（本题12分）
24. 在中，，点为射线上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．
（1）若，点在线段上．
①如图1．当点为线段的中点时，猜想与的数量关系为__________；
②如图2，当点在线段上时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；
③若，，请直接写出线段的长；
（2）若，，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）①；②，证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）①证明是等腰直角三角形，可得，进而证明，即可得；
②过点作交于点，证明，即可得证；
③当点在线段上时，作，交延长线于，则是等腰直角三角形，勾股定理求得，进而求得，在中，则，得出，代入数据得出，进而即可求解；
（2）作，交延长线于，过点作于点，在中，勾股定理求得,证明根据相似三角形的性质求得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得,，进而求得，根据即可求解．
【小问1详解】
①解：如图1，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②证明：如图2，过点作交于点，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
③解：当点在线段上时，作，交延长线于，
则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图，作，交延长线于，过点作于点，
∵中，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴,，
∴，
∴，
解得，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
八、（本题12分）
25. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为，动点以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点匀速运动．动点以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点匀速运动．点，同时从原点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设这两个点运动的时间为秒，的面积为．
（1）填空：的长是___________；
（2）当时，求的值；
（3）当点在边（不含端点）上时，设点的纵坐标为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（4）若时，请直接写出此时值．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）分别求得时，的位置，进而结合图形根据三角形的面积公式即可求解；
（3）根据题意，先求得的范围，过点作轴于点，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解；
（4）根据题意，分点在上，以及停止运动后四种情况，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵顶点的坐标为，顶点的坐标为，
∴，
∴,
故答案为：；
【小问2详解】
∵顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为，
∴，
∵动点以每秒2个单位长度的速度沿的路线向终点匀速运动．动点以每秒1个单位长度的速度沿的路线向终点匀速运动，的面积为．
∴当时，点运动的路程为个单位，点运动的路程为个单位，
∵，
∴点运动到点，运动到点，如图，
∴；
【小问3详解】
当点边（不含端点）上时，
依题意，，则,
如图，过点作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问4详解】
，则走完全程需要的时间为,
，点走完全程需要，
①如图，当在上，在上时，此时，
点的纵坐标为，的横坐标为，
依题意，，
解得：或（舍去），
②当时，如图，此时的纵坐标为：，
∴，
的纵坐标为，，
∴，
，
，
∴ ，
即，
解得：或（舍去），
③相遇后，当时，即点未停止前，如图，
，
由（3）可知，
则的纵坐标为，的纵坐标为，
∴，
∴，
解得：（舍去），
④如图，当时，此时点停止运动，到达点，
∴，
解得（舍去），
综上所述，当时，或.
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键．