2022-2023学年辽宁省沈阳市皇姑区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市皇姑区九年级上学期数学期中试题及答案，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. tan45°的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：tan45°＝1．
故选D．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
2. 反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数的图象也经过点（ ）
A. （2，﹣3）B. （﹣3，﹣3）C. （2，3）D. （﹣4，6）
【答案】A
【解析】
【分析】将（-2，3）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=，将点（-2，3）代入解析式得k=-2×3=-6，
A、2×(-3)=-6，则此函数的图象也经过点（2，﹣3），该选项符合题意；
B、-3×(-3)=9，则此函数的图象不经过点（﹣3，﹣3），该选项不符合题意；
C、2×3=6，则此函数的图象不经过点（2，3），该选项不符合题意；
D、-4×6=-24，则此函数的图象不经过点（﹣4，6），该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是掌握：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4. 如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ）

B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看得到的平面图形是：

故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A. x2﹣4x﹣4＝0B. x2﹣36x+36＝0
C. 4x2+4x+1＝0D. x2﹣2x﹣1＝0
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，分别求出四个选项中方程的根的判别式，利用“当时，方程有两个相等的实数根”即可找出结论.
【详解】、，
该方程由两个不相等的实数根，不符合题意；
、，
该方程由两个不相等的实数根，不符合题意；
、，
该方程由两个相等的实数根，符合题意；
、，
该方程由两个不相等的实数根，不符合题意.
故选.
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.
6. 如图，中，直角边落在x轴的负半轴上，点A的坐标是，以O为位似中心，按比例尺把缩小，则点A的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似变换的性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比为或，即可求得答案．
【详解】解：如图所示，
，
，
以O为位似中心，按比例尺把缩小，
，且相似比为2，
，
或；
故选：D．
【点睛】此题考查了位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质与分类讨论的思想方法是解答此题的关键．
7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口方向是向下B. 当时，y随x的增大而减小
C. 对称轴是直线D. 当时，y有最大值，最大值是0
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数二次项系数的符号可判断A选项；利用增减性可判B选项；利用二次函数的对称轴可判断C选项，利用二次函数开口向上，函数有最小值可判断D选项．
【详解】解：A、二次函数中，，图象开口向上，原说法错误，不符合题意，选项错误；
B、根据二次函数性质可知，当时，y随x的增大而减小，原说法正确，符合题意，选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线，原说法错误，不符合题意，选项错误；
D、二次函数图象开口向上，有最小值，原说法错误，不符合题意，选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的性质是解题关键．
8. 用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和图形可知第一个图形转到红色，同时第二个转到蓝色或者第一个转到蓝色，同时第二个转到红色，可配成紫色，从而可以求得可配成紫色的概率．
【详解】∵第一个转盘红色占
∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色
∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色
配成紫色的概率是.
故选C.
【点睛】此题考查了概率问题，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键.
9. 如图，，且与的面积分别是和，与的周长分别是和，则一定成立的等式是（ ）
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，一一判断即可．
【详解】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=6：5，
∴，
∴选项D正确，选项C错误，
∵无法确定和∠ A与∠B的比的值，故选项A，B错误，
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
10. 如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与重合），过点作垂直交于点，连结．下列四个结论：①；②；③；④若，则的最小值是1．其中正确结论是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形性质，依次判定△CNB≌△DMC,△AON≌△BOM，△OCM≌△OBN，,根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
详解】∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90，
∴∠BCN＋∠DCN＝90，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM＋∠DCN＝90，
∴∠BCN＝∠CDM，
又∵∠CBN＝∠DCM＝90，
∴△CNB≌△DMC（ASA），
∴BN=CM,
故AN=BM
∵AO=BO，∠OAN＝∠OBM=45°，
∴△AON≌△BOM，
∵BO=CO，∠OCM＝∠OBN =45°，
∴△OCM≌△OBN，
∴=S△OBN+ S△BOM= S△OBN+S△AON=S△AOB=
即，①正确；
∵△AON≌△BOM，
∵∠MON＝∠BOM+∠BON=∠AON +∠BON=90°，ON=OM
∴△MNO是等腰直角三角形，
∴MN=
∵△MNB是直角三角形，
∴
又CM=BN
∴
即，②正确；
∵∠CON＝90°+∠BON, ∠DOM＝90°+∠COM，∠BON=∠COM
∴∠CON＝∠DOM
又CO=DO, ON=OM,
∴，③正确；
④∵AB＝2，
∴S正方形ABCD＝4，
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN＝x＝CM，则BM＝2−x，
∴△MNB的面积＝x（2−x）＝− x2＋x＝− （x−1）2＋，
∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1− ＝，
故④不正确；
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，二次函数的最值以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________．
【答案】
【解析】
【分析】先把x=2代入原方程即可解出m的值，再用两根之和求解即可
【详解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14，
∴原方程为
解得x1=-7,x2=2,
故另一个解为.
故答案为：．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是先求出原方程，再进行求解．
12. 如图，在中，点是边的中点，交对角线于点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，再由点E是边AD的中点得到DE=BC，接着证明△DEF∽△BCF，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E是边AD的中点，
∴DE=BC，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴2=.
故答案为.
【点睛】本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
13. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有_____个白球．
【答案】3
【解析】
【分析】从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
【详解】由题意可得，红球的概率为70%．则白球的概率为30%，
这个口袋中白球的个数：10×30%＝3（个），
故答案为3.
【点睛】本题考查了用样本估计总体，正确理解概率的意义是解题的关键．
14. 如图，已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为______．
【答案】
【解析】
【详解】解∵点A是反比例函数的图象上的一个动点，
∴设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC=n，OC=﹣m，∴∠ACO=∠ADO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
在△ACO与△ODB中，
∵∠ACO=∠ODB，∠CAO=∠BOD，AO=BO，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，
∴B（n，﹣m），
∵mn=﹣2，∴n（﹣m）=2，
∴点B所在图象的函数表达式为，
故答案为．
15. 如图，在中，，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于，然后利用直角三角形的性质得，再利用三角函数的定义即可得出答案．
【详解】解：过点作于，如图所示，
，
，
，
设，则，
又，
在中，，
，
；
故答案为：．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质与三角函数，熟练掌握直角三角形的性质与三角函数是解答此题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，点C是线段的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，设运动的时间为t秒，连接，将沿翻折，使点B落在点处，若平行于坐标轴时，则此时的时间t为__________秒．
【答案】或或
【解析】
【分析】分三种情况进行讨论：①当轴时，如图1；②当轴时，如图2；③当轴时，如图3；分别画出图形根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质即可求出的值．
【详解】解：当时，，
，
同理，；
；
点C是线段的中点，
；
①当轴时，如图1所示；
轴，
，
沿翻折，使点B落在点处，
，
，
，
；
②当轴时，如图2所示；
过点作轴交于，设与交于点，
轴，
，
翻折，
，，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
；
③当轴时，辅助线同②，如图3所示；
轴，
，
又翻折，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
综上所述：的值为或或．
故答案为：或或．
【点睛】此题一次函数与几何图形的综合题，主要考查了翻折的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质、相似三角形的判定与性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键．
三、解答题（17题6分，18题7分，19题7分，共20分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式化简、特殊角的三角函数、负整数指数幂性质、零指数幂、绝对值的意义等进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式化简、特殊角的三角函数、负整数指数幂性质、零指数幂、绝对值的意义是解答此题的关键．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，，．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接DE，若，BC＝2，求菱形ADCE的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的判定可证出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线可得，然后根据菱形的判定即可得证；
（2）先根据三角形的面积公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得．
【小问1详解】
证明：，
四边形是平行四边形，
在中，，为的中点，
，
四边形是菱形．
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
，
为的中点，
，
由（1）已证：四边形是菱形，
，
即菱形的面积为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
19. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是红球的概率为．
（1）布袋里红球有______个.
（2）先从布袋中摸出个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】
【分析】（1）设红球的个数为x个，根据概率公式得到＝，然后解方程即可；（2）先画树状图展示所有12种等可能结果，再找出两次摸到的球都是白球的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）设红球的个数为x个，
根据题意得＝，
解得x＝1，
经检验：x=1是原分式方程的解，
∴布袋里红球有1个，
故答案为：1
（2）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中两次摸到的球都是白球结果数为2种，
所以两次摸到的球都是白球的概率＝＝．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键.
四、（20题8分，21题8分）
20. 中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：________，________（用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）存在，当时，的面积等于
【解析】
【分析】（1）根据“路程=速度×时间”可表示出BQ、AP．再用AB-AP就可以求出PB即可；
（2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值即可．
【小问1详解】
（1）由题意得：BQ=2t，AP=t，则BP=5-AP=5-t．
故答案为：2t，5-t．
【小问2详解】
（3）存在．
由题意可得：的面积为，
∵的面积等于，
∴=4，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），
∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】本题考查了行程问题的运用、一元二次方程的解法、三角形面积公式的运用等知识点．在解答时要注意所求的解的实际问题有意义成为解答本题的关键．
21. 新泰兴中学的建设是泰兴市委市政府为改善泰兴中学办学条件、提高教学质量而实施的一项重大民生工程．如图是学校食堂的楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平天台DE构成．已知楼梯顶部B到地面的垂直高度BC为9.6米，与地面垂直的平台立柱MN的高度为6米，整个楼梯的水平跨度AC为16米．
（1）求楼梯AD的长度；
（2）求水平天台DE的长度．（参考数据：取sin37°=0.60，cs37°=0.80，tan37°=0.75）
【答案】（1）10米；（2）3.2米．
【解析】
【分析】（1）首先由已知构造直角三角形如图，延长BE交AC于F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，如图解直角△EFG，可求出EF，BF∥AD，DE∥AC，四边形AFED为平行四边形，结合AD=EF解答．
（2）解直角三角形BCF求得CF，所以DE=AF=AC-CF．
【详解】（1）延长BE交AC于F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，
在Rt△EFG中，
EG=MN=6米，
∴EF===10米，
∵BF∥AD，DE∥AC，
∴四边形AFED为平行四边形，
即AD=10米.
（2）在Rt△BCF中，
CF===12.8（米），
∴AF=AC-CF=16-12.8=3.2（米），
∴DE=AF=3.2米．
答：水平平台DE的长度为3.2米.
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是由已知首先构建直角三角形，运用三角函数求解．
五、（本题10分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（-2，3），B（m，-2）两点，
（1）求，对应的函数表达式；
（2）根据函数图像，直接写出关于x的不等式