2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区九年级上学期数学11月月考试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区九年级上学期数学11月月考试题及答案，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示，该几何体的左视图是( )

B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据左视图是从物体的左面看得到的视图，找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】该几何体的左视图为上下两个小长方形组成的矩形，即
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，主要考查了学生的空间想象能力．
2. 根据下列表格对应值：
判断关于x的方程的一个解的范围是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由表格可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得出答案．
【详解】解：由表可以看出，当取与之间某个数时，，即这个数是的一个根，
∴的一个解的取值范围为．
故选：C．
【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解．解题的关键是理解和掌握二次函数图像和一元二次方程的关系．
3. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A. 抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率
B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C. 任意写一个正整数，它能被5整除的概率
D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图可得，实验结果在0.33附近波动，故概率，计算四个选项的概率即可得出答案．
【详解】A. 抛一枚硬币两次，出现得结果有（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四种，所以连续两次出现正面的概率，故A排除；
B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故B正确；
C. 任意写一个正整数，它能被5整除的概率为，故C排除；
D. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故D排除．
故选：B
【点睛】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率，在解答过程中掌握概率公式是解决本题的关键．
4. 下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案．
【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项B中的图形符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提．
5. 如图，点A在反比函数的图象上，若矩形ABOC的面积为4，则k的值为（ ）
A. 4B. -4C. 8D. -8
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可．
【详解】∵点A在反比函数的图象上，且矩形ABOC的面积为4，
∴．
∵该反比例函数图象位于第一象限，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数的图象上任一点，作x轴、y轴的垂线形成的矩形的面积为是解题关键．
6. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍无法判定的是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据公共角，再分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】∵
A、当时，再由，可得出，故选项A不合题意；
B、当时，再由，可得出，故选项B不合题意；
C、当时，不是夹角，所以无法得出，故选项C符合题意；
D、当时，即，再由，故选项D不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
7. 某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件.经调查当单价每涨l元时，每天少售出10件.若商场想每天获得3750元利润，设每件玩具涨元，可列方程为：.对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（ ）
A. 表示涨价后玩具的单价
B. 表示涨价后少售出玩具的数量
C. 表示涨价后销售玩具的数量
D. 表示涨价后的每件玩具的单价
【答案】D
【解析】
【分析】由涨价x元，分别表示出销量，涨价后的单价，涨价后的每件玩具的利润，判断即可．
【详解】解：设涨价x元，根据题意可得：
A、∵（30＋x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确；
C、∵（300−10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确；
D、∵（30＋x−20）表示涨价后的每件玩具的利润，故D选项错误，
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出销量，涨价后的单价，涨价后的每件玩具的利润．
8. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中，错误的是（ ）
A. 当是矩形时，
B. 当是菱形时，
C. 当是正方形时，
D. 当是菱形时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形和正方形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A. 当是矩形时，，正确；
B. 当是菱形时，，正确；
C. 当是正方形时，，正确；
D. 当是菱形时，和不一定相等，错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形、菱形和正方形的性质，熟知矩形的四个角都是直角，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线相等是解题的关键．
9. 已知反比例函数的图像上有三点，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接将三点，，坐标代入反比例函数解析式，分别求出，即可比较大小得出答案．
【详解】解：反比例函数的图像上有三点，，，
，
，
，即，
故选：C．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图像上的点的纵、横坐标的积为比例系数即，是解答此题的关键．
10. 如图，在中，D是边的中点，点在边上，且，与交于点F，则=（ ）
A. 2：3B. 3：4C. 4：3D. 3：2
【答案】B
【解析】
【分析】过点作交于，可得为的中位线，可得，设，则，根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作交于，
，
是边的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
设，则，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点作，构造三角形的中位线是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是_____．
【答案】
【解析】
【分析】球的总数乘以蓝色球所占球的总数的比例即为蓝色球的个数．
【详解】解：∵摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，
∴摸到蓝色球的频率稳定在1-10%-35%=55%，
∴蓝色球的个数为：20×55%=11个，
故答案为：11．
【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．
12. 如图，在直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，将△EFO缩小为△E'F'O，且△E'F'O与△EFO的相似比为，则点E的对应点E'的坐标为_________．
【答案】（﹣2，1）或（2，﹣1）
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵以O为位似中心，将△EFO缩小为△E'F'O，△E'F'O与△EFO的相似比为，
∵E（﹣4，2），
∴点E'的坐标为:（﹣2，1）或（2，﹣1）；
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【点睛】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
13. 如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______．
【答案】1∶3
【解析】
【分析】先设四边形和四边形的边长为x，然后根据AEM∽ABC可得，进而可求得AP＝2.5，EM＝5，然后分别求得S△AEM＝，S△ABC＝25，即可求得S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM＝，由此可得答案．
【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形，
∴设四边形和四边形的边长为x，
则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PD＝EF＝x，
∵AD＝5，
∴AP＝AD－PD＝5－x，
∵EMBC，
∴AEM∽ABC，
∴，
∴，
解得：x＝2.5，
∴AP＝2.5，EM＝5，
∴S△AEM＝＝，
又∵S△ABC＝＝25，
∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM
＝25－
＝，
∴S△AEM∶S四边形BCME＝∶＝1∶3，
故答案为：1∶3．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
14. 在一块面积为的矩形材料的四角，各剪掉一个大小相同的正方形（剪掉的正方形作废料处理不再使用），做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的2倍，则盒子的高为______.
【答案】5
【解析】
【分析】可将盒子的高设为x，根据题意，列出关于x的方程，解方程即可.
【详解】设盒子的高为，则宽为，
解得：，（舍），
∴盒子的高为.
故答案为5
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到等量关系，列出方程是解题的关键.
15. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，△ABC平移的距离为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可判断△ABC与△GEC相似，且面积比为2:1，根据相似三角形的性质可知BC与EC的比，已知BC=2，可算出EC，最终算出BE的长，即得到△ABC平移的距离．
【详解】
解：∵根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴AB∥EG，故△ABC∽△GEC，
又∵ △ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，
∴,故BC∶EC=，
∵BC=2，
∴EC=，
∴△ABC平移的距离为BE=BC－EC=2－，
故答案为2－．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，掌握相似三角形的判定和性质、平移的性质是解答本题的关键．
16. 如图，在矩形中，把边AB沿对角线BD平移，点分别对应点A，B，现给出下列结论，其中正确的是___________．（只填序号即可）
①顺次连接点得到的图形一定是平行四边形；
②点C与点关于直线AA′对称，则
③的最大值为15；
④的最小值为9；
⑤边AB平移的距离为5时，则四边形为菱形．
【答案】②③④
【解析】
【分析】①根据平行四边形的判定可得结论；②作点关于直线的对称点，连接，交于，交于点，则，利用面积法求出即可；③根据推出，可得结论；④作点关于直线的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为；⑤过点作于点，由题意可得，求得，再根据勾股定理求得，即可判断．
【详解】解：如下图中，当与不重合时，
∵，，，
∴，
∴四边形是平行四边形
当与重合时，四边形不存在，故①错误；
作点关于直线的对称点，连接，交于，交于点，作于点，由平移的性质可得，
∴，
由矩形的对称性可得，
∴
∴
∵四边形是矩形
∴，
∴
∵
∴
∴，②正确；
∵
∴，即最大值为15，③正确；
如下图中，∵
∴
作点关于直线的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，
由题意可得：
∴
连接交于，此时的值最小，最小值为，
由题意可得：，
∴
∴，即，解得
∴
由题意可得：，
∴
∴，即
∴，
∴
∴
∴的最小值为，④正确；
过点作于点，如下图
由题意可得，
∴，即
解得，，
∴
由勾股定理可得，
∴四边形A′B′CD不是菱形，⑤错误
故答案为：②③④
【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的判定，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质和最短问题，勾股定理，综合性较强，解题的关键是利用轴对称解决最值问题．
三、解答题（每题8分，共24分）
17. 解方程：
（1）（配方法）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）利用配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【小问1详解】
解∶
∴，
∴，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解∶
∴，
即，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18. 已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P．
①求证：四边形CODP是菱形．
②若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积．
【答案】①证明见解析；(2)S菱形CODP＝24.
【解析】
【分析】① 根据DP∥AC，CP∥BD，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出结论；
② 利用S△COD＝S菱形CODP，先求出S△COD,即可得.
【详解】证明：①∵DP∥AC，CP∥BD
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OD＝OC，
∴四边形CODP是菱形．
②∵AD＝6，AC＝10
∴DC＝＝8
∵AO＝CO，
∴S△COD＝S△ADC＝××AD×CD＝12
∵四边形CODP是菱形，
∴S△COD＝S菱形CODP＝12，
∴S菱形CODP＝24
【点睛】本题考查了矩形性质和菱形的判定，解题关键是熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出OC=OD．
19. 为了更好防控疫情，某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士指导某社区预防疫情工作．用树状图（或列表法）求恰好选中医生甲和护士A的概率．
【答案】恰好选中医生甲和护士的概率为
【解析】
【分析】先画出树状图，从而可得选取一位医生和一名护士的所有可能的结果，再找出恰好选中医生甲和护士的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意，画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能的结果，其中，恰好选中医生甲和护士的结果只有1种，
则恰好选中医生甲和护士的概率为，
答：恰好选中医生甲和护士的概率为．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
四、解答题（每题8分，共16分）
20. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．
（1）求这一函数的解析式；
（2）当气体体积为时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
【答案】（1）
（2）96 （3）不少于
【解析】
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；
（2）把V＝1代入（1）得到的函数解析式，可得P；
（3）把＝140代入得到V即可．
【小问1详解】
解：设，
由题意知，所以，故；
【小问2详解】
解：当m时，；
【小问3详解】
解：当时，（m）．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于 m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义是解题的关键．
21. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28m），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2m宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60m长的墙的材料．
（1）当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成500m2的矩形花园？请通过计算说明理由．
【答案】（1）12 （2）不能，见解析
【解析】
【分析】（1）设m，则m，根据矩形花园的面积为300m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙最长可利用28m，即可得出结论．
（2）设m，则m，根据矩形花园的面积为500m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再结合墙最长可利用28m，即可得出不能围成面积为500m2的矩形花园．
【小问1详解】
解：设m，则m，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵墙EF最长可利用28m，
∴，
答：当矩形的长为12米时，矩形花园的面积为300m2．
【小问2详解】
不能围成面积为500m2的矩形花园，理由如下：
设m，则m，
依题意得：，
整理得：，
，方程无解，
不能围成面积为500m2的矩形花园
答：不能围成面积为500m2的矩形花园．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，审清题意，根据题意列出方程是解题的关键．
五、（本题8分）
22. 如图，在水平桌面上的两个“E”，当点在一条直线上时，在点O处用①号“E”（大“E”）测得的视力与用②号“E”（小“E”）测得的视力效果相同．
（1）与相似吗？请说明理由．
（2）图中满足的数量关系为___________．
（3）若，①号“E”的测量距离，要使得测得的视力相同，则②号“E”的测量距离为___________．
【答案】（1）相似，理由见解析
（2）
（3）5
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定；
（2）根据相似三角形的对应边成比例解答；
（3）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算．
【小问1详解】
解：相似，理由如下：
如图，连接，，
根据题意得：，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴，即；
故答案为：
【小问3详解】
解：∵，， ，
∴，解得：．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟知相似三角形的判定定理及性质．
六、（本题10分）
23. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点．
（1）与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
（2）如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转90°，恰好与点重合．
①求点的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_________；
（3）若点在反比例函数的图像上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A （2）①，；②8
（3）存在，，
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入函数解析数即可求得m，n的数量关系．
（2）①过点作轴于点，过点作轴于点，证得，得到等边，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式；
②借助割补法求面积，将的面积补全在五边形中，利用“大-小”求得面积．
（3）将AB边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得M坐标．
【小问1详解】
将点，分别代入，
得，
故选A．
【小问2详解】
①由（1）得：，，设
过点A作轴于点，过点B作轴于点
∴
∴
∴
∵
∴
∴
即
∴
∴，
∴反比例函数的表达式为
②如图，作轴，轴，轴，
由①知，，
则
综上所述，的面积为8．
故答案为：8．
【小问3详解】
，
图解：①为边
即：
②为对角线
即：
【点睛】本题考查反比例函数的图像及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用．
七、（本题12分）
24. 【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

（1）小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．
（2）【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
（3）【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD长．
【答案】（1）AC=BC+CD；理由见详解；
（2）CB+CD=AC；理由见详解；
（3）或
【解析】
【分析】（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论；
（2）结论：CB+CD=AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，可得结论；
（3）分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，当∠CBD=75°时，分别求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．

∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADE+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADE，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠DAE=∠BAC，AE=AC，
∴∠CAE=∠BAD=60°，
∴△ACE的等边三角形，
∴CE=AC，
∵CE=DE+CD，
∴AC=BC+CD；
【小问2详解】
解：结论：CB+CD=AC．
理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．

∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠CDA+∠CBA=180°，
∵∠ABN+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABN，
∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，
∴△AMD≌△ANB（AAS），
∴DM=BN，AM=AN，
∵AM⊥CD，AN⊥CN，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∴AC=CM，
∵AC=AC．AM=AN，
∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），
∴CM=CN，
∴CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC；
小问3详解】
解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．

∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，
∴∠CDB=30°，
∵∠DCB=90°，
∴CD=CB，
∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，
∴OP=OQ，
∴，
∴，
∵AB=AD=，∠DAB=90°，
∴BD=AD=2，
∴OD=．
如图3-2中，当∠CBD=75°时，

同法可证，，
综上所述，满足条件的OD的长为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
八、（本题12分）
25. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接．
（2）迁移探究：
①如图1，当点M在上时，______°，______°．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
③已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长．
（3）拓展应用：
正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，则的长为______．
【答案】（2）①，；②．理由见解析；③或；（3）4或
【解析】
【分析】（2）①由折叠的性质可得，，，再由锐角三角函数可得，再证明，即可求解；②根据，即可求解；③分两种情况讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，即可求解；
（3）分两种情况分别画出图形，即可求解．
【详解】解：①由折叠的性质得：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
故答案为：30；15
②．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，由折叠的性质得：，，
，
，
；
③由折叠的性质得，
∵，
∴，
当点Q在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点Q在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的长为或；
（3）解：如图，连接交于点J，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵由折叠得到的，
∴，
∴；
如图，连接交于点O，过点M作，
∵，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴；
综上所述，的值为4或．
故答案为：4或
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．