2022-2023学年辽宁省沈阳市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市九年级上学期数学期末试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球．B. 掷一枚硬币，正面朝上．
C. 任意买一张电影票座位是3．D. 汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯．
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件和随机事件的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、“从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球”是必然事件，此项符合题意；
B、“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，此项不符题意；
C、“任意买一张电影票座位是3”是随机事件，此项不符题意；
D、“汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯”是随机事件，此项不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件和随机事件，掌握理解定义是解题关键．
3. 圆的半径是，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】先确定圆的半径为6.5，而圆心到直线的距离为4.5，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点．
【详解】解：∵圆的半径为，
∵圆心到直线的距离为，
∴圆心到直线的距离＜圆的半径，
∴直线与圆相交，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交⇔；直线和相切⇔；当直线相离⇔．
4. 如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A. 156°B. 78°C. 39°D. 12°
【答案】C
【解析】
【详解】∵∠BOC=78°，
∴∠BAC=∠BOC=39°．
故选：C．
5. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用旋转的性质得到，再利用三角形内角和计算出，然后计算即可．
【详解】解： 绕着点顺时针旋转后得到，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6. 若一元二次方程有两实数根和下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两实数根和
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7. 在中，，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB的值，再根据三角函数定义得：即可选择．
【详解】在中，，，，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，和勾股定理．了解锐角的正弦（sin）等于对边比斜边，是解题的关键．
8. 如图，，与相交于点，且，，，则的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例得出，即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找到对应线段是解题的关键．
9. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，三辆车全部继续直行的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设直行、左转和右转分别为，根据题意画出树状图即可求解．
【详解】解：设直行、左转和右转分别为，根据题意画出树状图如下，
共有27种等可能结果，其中符合题意的有1种，
三辆车全部继续直行的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查了画树状图法求概率，掌握求概率方法是解题的关键．
10. 二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线G的开口向下
B. 抛物线G的对称轴是直线
C. 抛物线G与y轴的交点坐标为(0，4)
D. 当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由表格信息，及二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴，及与x、y轴的交点，继而判断抛物线的开口方向及增减性．
【详解】由表中数据可得，抛物线与y轴交点为：，故C正确；
x轴的交点坐标为：，因此可得抛物线的对称轴为，故B错误；
由上可知，抛物线开口向上，故A错误；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：＝______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据特殊角的锐角三角函数值填空即可.
【详解】解：．
【点睛】本题考查特殊角的锐角三角函数值，属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.
12. 关于的一元二次方程的根为_______
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
13. 如图，在中，，且，，，则线段______
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例得出，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找到对应线段是解题的关键．
14. 在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任意直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据如下：
请你根据表格数据，估计针与直线相交的概率为_______.(结果保留一位小数）
【答案】
【解析】
【分析】根据频率估计概率即可解答．
【详解】解：∵根据记录在下表中的投针试验数据稳定在附近，
∴估计针与直线相交的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据数据描述求频率，用频率估计概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15. 从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，小球运动到______s时，达到最大高度______．
【答案】 ①. 6 ②. 108m##108米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到当t为何值时，h取得最大值．
【详解】解：∵，
∴当时，h取得最大值，此时，
故答案为：6，108m．
16. 在平面直角坐标系中，将点A（3，4）绕原点旋转90°得点B，则点B坐标为_____．
【答案】（﹣4，3）或（4，﹣3）##（4，﹣3）或（﹣4，3）
【解析】
【分析】有两种情况：当逆时针旋转时，B点在B1位置上，过B1N⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M，当顺时针旋转时，B到B2位置上，过B2Q⊥y轴于Q，求出AM=4，OM=3，
将点A（3，4）绕原点旋转90°得点B，根据全等三角形的判定得出△B1NO≌△OMA，△AOM≌△B2OQ，根据全等三角形的性质得出B1N=OM=3，ON=AM=4，OQ=OM=3，B2Q=AM=4，即可得出答案．
【详解】解：
有两种情况：当逆时针旋转时，B点在B1位置上，过B1N⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M，当顺时针旋转时，B到B2位置上，过B2Q⊥y轴于Q，
则∠B1NO=∠AMO=∠B2QO=90°，
∵A（3，4），
∴AM=4，OM=3，
∵将点A（3，4）绕原点旋转90°得点B，
∴∠B1OA=∠AOB2=90°，OA=OB1=OB2，
∴∠B1+∠B1ON=90°，∠B1ON+∠AOM=90°，∠A+∠AOM=90°，∠AOM+∠B2OM=90°，∠B2OM+∠B2OQ=90°，
∴∠B1=∠AOM，∠AOM=∠B2OQ，
在△B1NO和△OMA中
∴△B1NO≌△OMA（AAS），
∴B1N=OM=3，ON=AM=4，
∴此时B的坐标为（﹣4，3）；
同理△AOM≌△B2OQ，
则OQ=OM=3，B2Q=AM=4，
此时B的坐标为（4，﹣3）．
故答案为（﹣4，3）或（4，﹣3）．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
三．解答题（17-25题每题10分，26题12分，共102分）
17. 求出图中的正弦值、余弦值和正切值．
【答案】，，．
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理解出，再由正弦、余弦、正切公式代入求值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，，．
18. 如图，，比较与的长度，并证明你的结论．
【答案】＝，见解析．
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦关系，由AD=BC解得＝，继而得到＝．
【详解】解：＝，
证明如下：
∵AD＝BC，
∴＝，
∴＋＝＋，
即＝．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
19. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB于D．
（1）求证：△ACB∽△ADE；
（2）求AD的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）4.
【解析】
【分析】（1）求出∠EDA=∠C=90°，根据相似三角形的判定得出相似即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：（1）证明：∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠EDA=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADE；
（2）解：∵△ACB∽△ADE，
∴，
∴，
∴AD=4．
20 有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？
【答案】（1）11；（2）1728
【解析】
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，由经过两轮传染后共有144人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×11，即可求出结论．
【详解】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人；
（2）144+144×11＝1728（人）．
答：三轮传染后，患流感的有1728人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据题意列式计算．
21. 如图，二次函数的图象分别与x轴、y轴相交于A、B、C三点，其对称轴与x轴、线段分别交于点E、点F，连接CE，已知点，．
（1）求出该二次函数解析式；
（2）B的坐标；D的坐标；
（3）当y随x增大而减小时，x的取值范围是____．
【答案】（1）；
（2），；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，用配方法求顶点坐标，利用图象确定函数值的增减性等知识，灵活运用这些知识是解决问题的关键．
（1）直接把点，代入函数解析式求出b，c的值即可；
（2）根据函数解析式可求出D点坐标，再令解方程即可得出B点坐标；
（3）根据二次函数增减性回答即可．
【小问1详解】
解：由二次函数经过，，
得 ，
解得 ，
所以抛物线为：；
【小问2详解】
∵，
∴顶点．
令则，解得或，
∴点．
【小问3详解】
时，当y随x增大而减小，
故答案为：．
22. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼楼底的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（，结果取整数）？
【答案】这栋楼有米
【解析】
【分析】过点作于点，根据题意得出 ，解得出，根据，代入数据即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
依题意可得，
∴，，
∴，
∴．
答：这栋楼有米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
23. 是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E．
（1）如图1，求证 ；
（2）如图2，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）根据切线性质得到，根据对顶角相等得到，根据三角形内角和定理证明即可；
（2）连接，根据圆周角定理得到，根据勾股定理分别求出、，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图2，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：．
24. 如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设是x，与重叠部分的面积为S．
（1）求的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）16； （2）当时，；当时，．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，函数关系式以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，求出相关三角形的边长是解决问题的关键．
（1）根据勾股定理可求出，根据进而求出；
（2）分两种情况进行解答，即点P在点D的左侧或右侧，分别画出相应的图形，根据相似三角形的判定和性质分别用含有x的代数式表示、、，由三角形面积之间的关系可得答案．
【小问1详解】
解：在中，，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
当点P在点D的左侧时，即，如图1，此时重叠部分的面积就是的面积，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
设，
则，，
∴
；
当点P在点D的右侧时，即，如图2，
由（1）得，，，则，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴
；
答：S关于x的函数解析式为：当时，；当时，．
25. 如图，中，于点，是上一点，连接，.
（1）求证；
（2）若，，求证；
（3）若 ，，则 =
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（2）延长至，使，连接，在上截取，连接，
先判断出，得出再判断出，得出，即可得出结论；
（3）设，则，延长至，使，连接，在上截取，连接，记与的交点为，先判断出，得出，进而得出，再判断出，再判断出，进而得出，进而得出，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，延长至F，使，连接，在上截取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与都是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，设，则，延长至，使，连接，在上截取，连接，记与的交点为，
则，
由(2)知，，
∴，
∴，
由(1)知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，于轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为线段的中点，连接，求三角形的面积；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线第二象限上一点，若，求点的横坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得点，根据为线段的中点，得出，根据三角形面积公式即可求解；
（3）作平分交于，过作于，过作于，过作轴，过作于，过作于，等面积法求得，根据，证明，，设NR=m，PR=n， 则，得出，进而求得直线，联立抛物线解析式，求得点的横坐标即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴相交于两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：由，令，即，
∴，
∵为线段的中点，，
∴
∴，
【小问3详解】
解：如图，作平分交于，过作于，过作于，过作轴，过作于，过作于，
平分
，
，
，
，
，
，
由 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设NR=m，PR=n， 则
，
，
，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
即，
解得：或，
∴的横坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形．x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
实验次数
相交频数
相交频率