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    2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期数学期末试题及答案

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    2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期数学期末试题及答案

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    这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期数学期末试题及答案,共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 方程的解是( )
    A. ,B. ,C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可.
    【详解】解:移项,得,
    则,
    ∴或,
    ∴,.
    故选:A.
    【点睛】本题考查解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键.
    2. 一个几何体如图水平放置,它的俯视图是( )
    B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据几何体的俯视图是从物体的上面看到的视图进行判断即可.
    【详解】解:从上面看,看到的是一个正方形,内部有两条虚线,即

    故选:B.
    【点睛】本题考查几何体的三视图,熟练掌握几何体的三视图的定义是解答的关键.
    3. 下列方程没有实数解的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】逐项解方程或求出根的判别式,根据判别式的符号即可得到结论.
    【详解】解:A.方程解,故本选项不合题意;
    B.,

    此方程有两个相等的实数根,故本选项不合题意;
    C.,

    此方程有两个不相等的实数根,故本选项不合题意;
    D.,

    此方程无解,本选项符合题意.
    故选:D.
    【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系.
    4. 一个不透明的袋中装有若干个红球,为了估计袋中红球的个数,在袋中放入个除了颜色外其余均相同的白球,随机的从袋子中摸出一个球,记录下颜色后,放回袋中并摇匀,通过大量重复这样的试验后发现,摸到白球的频率稳定在附近,则红球的个数为( )
    A. 11B. 14C. 17D. 20
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据口袋中有个白球,利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可.
    【详解】解:设红球的个数为个,根据题意得:
    ∴,
    解得:,
    经检验是原方程的解,
    则红球的个数为个.
    故选:C.
    【点睛】此题主要考查了用样本估计总体,根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键.
    5. 已知二次函数部分y与x的值如下表:
    根据表格可知,一元二次方程的解是( )
    A. ,B. ,C. ,D. ,
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据二次函数对称性找到表中对称点,求出对称轴,找到的点,根据对称性求出对称点即可得到答案;
    【详解】解:由表可得,、是二次函数的对称点,
    ∴,
    ∵二次函数与x轴的一个交点为,根据对称性可得,

    ∴另一个交点为:,
    ∴一元二次方程的解是:,,
    故选A.
    【点睛】本题考查一元二次方程的解与二次函数的关系,解题的关键是根据二次函数的对称性求对称轴及对称坐标.
    6. 两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图所示的方式交叉叠放,AB=AF,AE=BC.AE与BC交于点G,AD与CF交于点H,且∠AGB=30°,AB=2,则四边形AGCH的周长为( )
    A. 4B. 8C. D. 16
    【答案】D
    【解析】
    【分析】证明四边形是菱形,根据含30度角的直角三角形的性质求得的长,即可求解.
    【详解】解:∵两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图所示的方式交叉叠放,AB=AF,AE=BC,∠AGB=30°
    ∴,,
    ,,




    四边形是平行四边形,

    四边形是菱形.
    四边形周长为16.
    故选D.
    【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质,矩形的性质,菱形的性质与判定,证明四边形是菱形是解题的关键.
    7. 某公司今年10月份的营业额为2000万元,按计划第四季度的总营业额要达到9500万元,若设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x,那么下列方程正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】用增长后的量=增长前的量×(1+增长率).即可表示出11月与12月的营业额,根据第四季的总营业额要达到9500万元,即可列方程.
    【详解】设该公司11月,12月两个月营业额的月均增长率是x.
    根据题意得.或 .
    故选:D.
    【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,平均增长率问题,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为.
    8. 如图,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,其中点A,B,O均在格点上,则的值为( )
    A. B. 1C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】连接,先根据网格特点和勾股定理求得的三边长,再判断的形状,然后利用正弦定义求解即可.
    【详解】解:连接,
    由图知,,,,
    则,
    ∴是直角三角形,且,
    ∴,
    故选:C.
    【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理及其逆定理,熟练掌握直角三角形的判定和边角关系是解答的关键.
    9. 已知反比例函数的图像上有三点,,,则,,的大小关系为( )
    A B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据反比例函数的性质判断出函数图像所在的象限以及每一个象限内的增减性即可求解即可.
    【详解】解:∵,
    ∴此反比例函数图像在第一、三象限,且在每一个象限内,y随x的增大而减小,
    ∵,,在此反比例函数的图像上,且,
    ∴,
    故选:B.
    【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质,熟知反比例函数的增减性是解答的关键.
    10. 如图,已知点E,点F为正方形内两点,C,E,F三点共线且满足,连接并延长交于点G,若平分,,则的长为( )
    A. 1B. C. 2D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先证明,得,再证明为等腰直角三角形,设,在中由勾股定理列出方程求得x,进而由勾股定理求得.
    【详解】解:∵四边形是正方形,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    在和中,

    ∴,
    ∴,
    ∵平分,
    ∴,
    ∴,
    设,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,关键在于证明三角形全等.
    二、填空题:(每小题3分,共18分)
    11. 如图,在中,点A的坐标为,以原点O为位似中心,在第一象限内,把这个三角形放大为原来的2倍,得到,则点A的对应点的坐标是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据位似变换的性质求解即可.
    【详解】解:以原点O为位似中心,在第一象限内,把这个三角形放大为原来的2倍,得到,点A的坐标为,
    ∴点的坐标为,即,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查位似变换的性质,解答的关键是熟练掌握在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为,那么位似图形对应点的坐标的比等于或.
    12. 如图,反比例函数的图像上有一点P,轴于点A,点B在y轴上,则的面积为______.
    【答案】3
    【解析】
    【分析】设,则,再由三角形的面积公式即可得出结论.
    【详解】解:设,
    ∵点P在反比例函数的图象上,
    ∴,
    ∵轴,
    ∴.
    故答案为:3.
    【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键.
    13. 平面直角坐标系内,一点光源位于处,线段CD⊥x轴,D为垂足,点C的坐标为,则CD在x轴上的影长为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据题意,结合图形,利用相似三角形的性质即可解答.
    【详解】解:如图,连接AC并延长,交x轴与点E,
    ∵轴,
    ∴CD//OA,
    ∴,
    ∴,
    ∵点A(0,5),点C(3,1),
    ∴,,,
    ∴,
    解得,即CD在x轴上的影长为.
    故答案为:.
    【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的知识以及相似三角形的判定与性质,解题关键是根据相似三角形的性质求解.
    14. 如图,数学实践课上,老师布置任务如下:让小明站在B点处去观测外的位于D点处的一棵大树,所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具(点B,P,D在同一条直线上).已知小明眼睛距地面,大树高,当小明与平面镜相距______m时,恰好能从平面镜里观测到大树的顶端.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】根据平面镜的反射原理:入射角等于入射角证明,利用相似三角形的性质求解即可.
    【详解】解:由题意,得,,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,,
    ∴,
    解得,
    故小明与平面镜相距时,恰好能从平面镜里观测到大树的顶端.
    故答案为:2.
    【点睛】本题考查相似三角形的应用,理解题意,掌握平面镜得原理,会利用相似三角形的性质解决实际问题是解答的关键.
    15. 如图,抛物线的对称轴为直线x=1,以下4个结论:
    ①;②;③,其中;④.
    其中正确结论的有______.(填序号)
    【答案】①②④
    【解析】
    【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,分别观察,,时的函数值,进而对所得结论进行判断即可.
    【详解】解:①由图象可知:,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,故①正确;
    ∵抛物线与x轴有两个交点,
    ∴,
    ∴,结论②正确;
    ③当时,y的值最大.此时,,
    而当时,,其中,
    所以,
    故,即,故③错误.
    ④由对称知,当时,函数值大于0,即,故④正确;
    故答案为:①②④.
    【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.
    16. 如图,在中,,点,分别在,边上,且,,连接,,交于点,,,则的长为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】过点作,交于点,连接,勾股定理求得,过点作,证明重合,进而勾股定理即可求解.
    【详解】解:如图所示,过点作,交于点,连接,
    则四边形是平行四边形,
    ∴,
    ∵,则

    ∴是直角三角形,






    过点作,


    ∴重合,

    故答案为:.
    【点睛】本题考查了解直角三角形,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,平行四边形的性质,正确的添加辅助线是解题的关键.
    三、解答题(第17小题6分,第18、19小题各8分,共22分)
    17. 计算:.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】利用特殊三角函数值计算即可.
    【详解】解:

    【点睛】本题考查特殊角的三角函数的混合运算,熟记特殊角的三角函数值并正确求解是解答的关键.
    18. 某剧场设置了三个入口A,B,C.甲,乙两人可以随机选择一个入口入场,用画树状图或列表法求甲、乙两人选择不同入口的概率.
    【答案】
    【解析】
    【分析】画出树状图,得到所有等可能的3,再找出甲、乙两人选择不同入口的结果数,利用概率公式求解即可.
    【详解】解:画树状图如下:
    由图可知,一共有9种等可能的结果,其中甲、乙两人选择不同入口的有6种结果,
    ∴甲、乙两人选择不同入口的概率为.
    【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率,树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比.
    19. 如图,在菱形中,对角线,交于点O,,,连接,交于点F.
    (1)求证:四边形是矩形;
    (2)若,,直接写出菱形的面积.
    【答案】(1)见解析 (2)
    【解析】
    【分析】(1)先证明四边形为平行四边形,再根据菱形的性质得到,然后根据矩形的判定可证得结论;
    (2)根据矩形的对角线相等求得,再根据菱形的性质和勾股定理求解即可.
    【小问1详解】
    证明:∵,,
    ∴四边形是平行四边形,
    ∵四边形是菱形,
    ∴,即,
    ∴四边形是矩形;
    【小问2详解】
    解:∵四边形是矩形,,
    ∴,
    ∵四边形是菱形,
    ∴,,,,
    ∴,则,
    ∴,,
    ∴,,
    ∴四边形的面积为.
    【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理,熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键.
    四、(每小题8分,共16分)
    20. 直播购物逐渐走进了人们的生活,某电商在抖音上对一款成本价为5元的小商品进行直播销售,如果按每件8元销售,平均每天可卖出件,通过市场调查发现,售价每上涨1元,销售数量就减少件,规定销售数量不得低于件,那么每件售价定为多少元时,平均每天能获得元的利润?
    【答案】每件售价定为元时,平均每天能获得元的利润.
    【解析】
    【分析】设定价为x元时平均每天能获得元的利润,根据题意表示出数量与单价之间关系,由利润元列方程求解即可得到答案;
    【详解】解:设定价为x元时平均每天能获得元的利润,由题意可得,
    每天的数量为:件,
    则有:,
    解得:,,
    当,,符合题意,
    当,,不符合题意,舍去,
    答:每件售价定为元时,平均每天能获得元的利润.
    【点睛】本题考查一元二次方程解决销售利润问题,解题的关键是根据题意表示出数量与单价之间的关系式及找到等量关系式.
    21. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所形成的锐角一般要满足,现有一个梯子长.
    (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙?(结果保留根号)
    (2)填空:当梯子底端距离墙面时,梯子与地面所成的锐角的度数是______°,这时人______安全使用这个梯子(填“能”或“不能”).
    【答案】(1)使用这个梯子最高可以安全攀上高的墙
    (2),能
    【解析】
    【分析】(1)若使最大还要安全,只需最大,即,利用正弦函数定义求解即可;
    (2)利用余弦函数定义和特殊角的三角函数值求得的度数,再判断这个角度是否在安全使用范围内即可.
    【小问1详解】
    解:根据题意,当时,使用这个梯子可以安全攀登到最高,
    在中,,,
    ∴,
    答:使用这个梯子最高可以安全攀上高的墙;
    【小问2详解】
    解:在中,,,
    ∴,
    ∴,在安全范围内,
    故梯子与地面所成的锐角的度数是,这时人能安全使用这个梯子.
    故答案为:,能.
    【点睛】本题考查解直角三角形的应用,熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数求解是解答的关键.
    五、(本题10分)
    22. 如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和.
    (1)求一次函数和反比例函数的表达式;
    (2)观察图像,直接写出当时,x的取值范围;
    (3)过点B作直线,交第四象限的反比例函数图像于点C,当线段被x轴分成两部分时,直接写出与x轴所交锐角的正切值.
    【答案】(1),
    (2)或
    (3)与x轴所交锐角的正切值为1或.
    【解析】
    【分析】(1)利用待定系数法求解函数表达式即可;
    (2)根据图像,只需求得一次函数图像位于反比例函数图像上方的点的横坐标取值范围即可求解;
    (3)设直线交x轴于H,设,,过B作轴于E,过C作轴于F,易得,分两种情况:当时或当时,利用相似三角形的性质可得,列出方程,进而求得m、t,利用正切定义求解即可.
    【小问1详解】
    解:根据题意,将点代入中,得,
    ∴反比例函数的表达式为;
    将代入中,得,则,
    将、代入中,得
    ,解得,
    ∴一次函数的表达式为;
    【小问2详解】
    解:根据图像,当或时,;
    【小问3详解】
    解:设直线交x轴于H,设,,,
    过B作轴于E,过C作轴于F,
    则,,,,,
    ∴,
    当时,则,即,
    解得,,经经验,,是原方程的根,
    ∴,
    ∴.
    即与x轴所交锐角的正切值为1.
    当时,则,即,
    解得,,经经验,,是原方程的根,
    ∴,
    ∴.
    即与x轴所交锐角的正切值为.
    综上:与x轴所交锐角的正切值为1或.
    【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像交点问题,涉及待定系数法求函数表达式、函数与不等式的关系、相似三角形的判定及性质、坐标与图形,熟练掌握相关知识的联系与运用,利用数形结合思想求解是解答的关键.
    六、(本题10分)
    23. 如图,为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长18米)的空地上修建一个矩形绿化带,绿化带一边靠墙,且不超过墙的长度,另三边用总长为40米的栅栏围住,设边长为x米,绿化带的面积为.
    (1)求y与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
    (2)当边的长度为多少米时,绿化带的面积最大?最大面积是多少米?
    【答案】(1);
    (2)当边的长度为11米时,绿化带的面积最大,是198米.
    【解析】
    【分析】(1)设边长为x米,则米,米,利用矩形面积公式即可得到y与x之间的函数关系式,又因为墙长18米,得到,求解即可得到自变量x的取值范围;
    (2)将二次函数化为顶点式,根据二次函数性质可知,图象开口向下,当时,随的增大而增大,根据自变量x的取值范围得到当时有最大值,代入即可求出最大值.
    【小问1详解】
    解:四边形是矩形,

    设边长为x米,则米,米,

    墙长18米,

    ,即自变量x的取值范围为,
    与x之间的函数关系式为;
    【小问2详解】
    解:,

    函数图象开口向下,时,随的增大而增大,

    当时,有最大值,最大值为198,
    即当边的长度为11米时,绿化带的面积最大,是198米.
    【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,矩形的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
    七、(本题12分)
    24. 如图,在矩形中,,在中(点C,E,F按顺时针方向排列),,,将绕点C旋转,连接和,所在直线交于点G.
    (1)如图1,①填空:与的大小关系是______;
    ②求证:;
    (2)如图2,过点A作于点H,请直接写出与的数量关系;
    (3)如图3,连接,,,当最小时,直接写出的长.
    【答案】(1)①,②见解析;
    (2);
    (3).
    【解析】
    【分析】(1)①由可得到;
    ②由已知可得,结合①易证,得到,可证明即可解决;
    (2)如图,过H作交的延长线于N,易证是平行四边形,得到,再证即可;
    (3)如图,过点A作于点H,由(2)可求得,最小,即最小, 即最小, 即最大,当时最大,运用勾股定理即可求解.
    【小问1详解】
    解:①,


    故答案为:;
    ②证明:,
    在与中,









    【小问2详解】
    如图,过H作交的延长线于N,
    ,,
    ,,
    是平行四边形,
    ,,






    【小问3详解】
    如图,过点A作于点H,
    ,,
    ,,
    由(2)可知,

    最小,即最小,


    即最小,

    即最大,
    当时最大,
    此时,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形;解题的关键是证明三角形的相似,并灵活运用性质求解.
    八、(本题12分)
    25. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A和B(点A在点B的左侧),与y轴交于点,P是抛物线上一动点(不与点C重合),过点P作轴,交过点C与x轴平行的直线于点D.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)当为等腰直角三角形时,求点D的坐标;
    (3)将绕点C顺时针旋转,得到(点D和P分别对应点和),若点恰好落在坐标轴上,请直接写出此时点P的坐标.
    【答案】(1);
    (2)或;
    (3)或.
    【解析】
    【分析】(1)由抛物线与y轴交于点,求出的值,即可得到解析式;
    (2)设,则,由(1)可知,得到,
    ,由题意可知故为等腰直角三角形时,有即,当或时,分别求解方程即可;
    (3)当在y轴右侧时,如图,点恰好落在y轴上时,,易证,可知,当时可求得;当在y轴左侧时,如图,点恰好落在x轴上时,易证,,即解得代入即可.
    【小问1详解】
    解:由题意可知,
    与y轴交于点,

    故抛物线的解析式为:;
    【小问2详解】
    设,
    轴,

    由(1)可知,
    ,,
    轴,

    故为等腰直角三角形时,

    即,
    或,
    当时,即,
    解得:,或(不合题意,舍去),

    当时,即,
    解得:,或(不合题意,舍去),

    综上所述:或;
    【小问3详解】
    如图将绕点C顺时针旋转,得到,
    当在y轴右侧时,如图,若点恰好落在y轴上时,



    由(2)可知,
    当时,
    即,
    当在y轴左侧时,如图,若点恰好落在x轴上时,延长交x轴于点M,
    ,,
    ,,
    ,,

    由(2)可知,,

    解得:或(不合题意,舍去),
    当时,,
    即,
    综上所述:或.
    【点睛】本题考查了二次函数的图形和性质、坐标与图形、等腰三角形的性质、图形的旋转;解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质.x

    1
    2
    3
    4

    y

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