2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区九年级上学期数学期中试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．方程化简后为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2. 若，则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答．
【详解】解：A．因为，所以，故A符合题意；
B．因为，所以，故B不符合题意；
C．因，所以，故C不符合题意；
D．因为，所以，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
3. 有两张卡片正反面上分别写有一个数字：，5，两张卡片除数字外无其它差别，把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，然后把卡片放回并洗匀，再随机抽取另一张，记录下卡片上的数字，则两次抽取的卡片上的数字都是﹣2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好都是的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：根据题意可画树状图如下：
由树状图可知，共有4种等可能结果，其中两次抽取的卡片上的数字都是的有1种结果．
∴两次抽取的卡片上的数字都是的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的求法，关键在于利用树状图法展示所有可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，求出概率．
4. 若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A. ﹣3B. 0C. 3D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
5. 如图，在菱形中，对角线，则的面积为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的．
【详解】是菱形
的面积
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键．
6. 四边形的边长分别为2，4，6，5，四边形和四边形相似，且四边形最短边的长为6，则它的最长边长为（ ）
A. 12B. 15C. 18D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】利用相似多边形的性质得出相似比，进而求出即可．
【详解】解：∵四边形和四边形相似，四边形的最长边和最短边的长分别是6和2，
四边形的最短边的长是6，
∴两多边形的相似比为： ，
那么四边形中最长的边长是：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，得出相似比是解题关键．
7. 方程的根的情况是（ ）
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无实数根
【答案】D
【解析】
【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴方程无实数根，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
8. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作轴于点E，则，所以，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，因为，，所以，，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：作轴于点E，
∵四边形是正方形，
∴，BC＝AB，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9. 如图，在中，点D，E分别在边，上，，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过证明，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，只有D选项不正确
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
10. 某批发商在外地购买了同一型号的a把椅子，需要托运回本市，这批椅子的总价为18300元，每把椅子的运费是5元，如果少买一把椅子，那么剩下的椅子的运费总和恰好等于一把椅子的价钱，则a的值是（ ）
A. 52B. 60C. 61D. 71
【答案】C
【解析】
【分析】一把椅子的价钱为元，剩下椅子的运费元，根据“剩下的椅子的运费总和恰好等于一把椅子的价钱”即可列出方程，解答即可．
【详解】解：一把椅子的价钱为元，剩下椅子的运费元，
根据题意得，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴a的值为61，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系“剩下的椅子的运费总和恰好等于一把椅子的价钱”是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 一元二次方程的根是__________．
【答案】，##，
【解析】
【分析】首先把移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：，
移项得：，
∴，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查一元二次方程解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题运用的是因式分解法．结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12. 一个不透明的盒子中装有黑球和白球共10个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有___________个．
【答案】6
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：共试验400次，其中有240次摸到白球，
白球所占的比例为，
设盒子中共有白球个，则，
解得，
故答案为：6．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
13. 一种商品每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，则可列出方程 _____．
【答案】
【解析】
【分析】利用经过两次降价后的价格原价×（1平均每次降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14. 如图，菱形的对角线与相交于点，点为的中点，连接，，，则_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据菱形的性质可得，，，则，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．
【分析】四边形是菱形，，
，，，，,
，
，
，
为的中点，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15. 如图，某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上，同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，，点，，，在同一直线上，，，，则_____m．
【答案】6.85
【解析】
【详解】根据平行投影得，可得，证明，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【分析】解：同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，，
，
，
，，
，
，
，即，
解得．
故答案为：6.85．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明是解题的关键．
16. 如图，在平行四边形中，，，，点M在直线上，点N在边上，连接，将沿直线翻折，点D的对应点E恰好在边上，当最大时，_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据点N在边上，当最大时，最小，由翻折可得，时，最小，作于点F，证明四边形是正方形，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：点N在边上，当最大时，最小，
由翻折可知：，
时，最小，
如图，作于点F，
在平行四边形中，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形，正方形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三、（17题6分，18题、19题各8分，共22分）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
18. 如图，点，分别在正方形边，上，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据正方形的性质，证明即可．
【详解】证明：四边形是正方形，
，，
在与中，
，
，
．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
19. 九年一班决定从班级演讲比赛中表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学参加学校的演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为：．
【点睛】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率．解决问题的关键是熟练掌握列表法或画树状图法求概率，概率的计算公式．
四、（20、21题各8分，共16分）
20. 如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD，求证：△ABC∽△DEC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据∠BCE=∠ACD，得到∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，得到∠ACB=∠DCE，结合∠A=∠D，推出△ABC∽△DEC．
【详解】∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEC．
【点睛】本题主要考查了判定两三角形相似，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似，是解决本题的关键．
21. 已知关于的一元二次方程．
（1）当是方程的一个根时，求的值；
（2）方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围．
【答案】（1）的值为
（2）且
【解析】
【分析】（1）把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可；
（2）根据根判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【小问1详解】
解：把代入一元二次方程得，
解得，
即的值为；
【小问2详解】
根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
五、（本题10分）
22. 如图，已知．
①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
③作射线交BC于点D；
④分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；
⑤作直线，分别交，于点，．依据以上作图，若，，．
（1）求的长；
（2） ．
【答案】（1）CD＝
（2）
【解析】
【分析】（1）利用作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长．
（2）根据，得，所以，同理：，设，则，，菱形的面积为，，即可求出答案．
【小问1详解】
解：由作法得平分，垂直平分，
，，，
，
，
，
，
同理可得，
四边形为平行四边形，
而，
四边形为菱形，
，
，
，
即，
．
【小问2详解】
解：连接，，如图，
由（1）知，
，
，
同理：，
设，则，，
菱形的面积为，
，
．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质．
六、解答题（共1小题，满分12分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C的坐标为，动点D从点B出发以每秒3个单位长度的速度向点O运动，同时点E从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，运动时间为t（秒），当时，作DF⊥x轴交直线于点F，连接．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求证：四边形是矩形；
（3）当与相似时，请直接写出t的值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）t的值为
【解析】
【分析】（1）根据直线与坐标轴上点的特点求解即可；
（2）根据题意分别求出D、E、F点坐标，再由，且即可证明；
（3）先求，，可得，再分两种情况讨论当时，，，求得；当时，，，此时t无解．
【小问1详解】
（1）解：令，则，
∴，
令，则，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
【小问3详解】
解：∵，，，，，，
∴，，，，
∵，，
∴，
当时，，
∴，即，
解得；
当时，，
∴，即，
此时t无解；
综上所述：t的值为．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，矩形的判定是解题的关键．
24. 国庆节期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）网店第一次用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数；
（2）第一次购进的保温杯售完后，该网店计划再次购进A，B两款保温杯共110个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3360元，则全部售完购进的保温杯，该网店可获得的最大利润是 元；
（3）国庆节过后，网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，那么将销售价定为每件多少元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元？
【答案】（1）购进A款保温杯20个，B款保温杯30个
（2）1440 （3）将销售价定为每件34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元
【解析】
【分析】（1）设购进款保温杯个，款保温杯个，由题意：网店第一次用1540元购进，两款保温杯共50个，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进个款保温杯，则购进个款保温杯，由题意：进货总价不高于3360元，列出一元一次不等式，解得．设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设款保温杯的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款保温杯平均每天销售利润为96元，列出一元二次方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设购进款保温杯个，款保温杯个，
依题意得：，
解得：，
答：购进款保温杯20个，款保温杯30个．
【小问2详解】
解：设购进个款保温杯，则购进个款保温杯，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
即网店可获得的最大利润是1440元．
【小问3详解】
解：设款保温杯的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件34元或36元时，才能使款保温杯平均每天销售利润为96元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25. 如图，在矩形中，，，点和点分别从点和点同时出发，点沿折线按点方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，点和点的运动速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为（秒）．
（1）当点F运动到的中点时，求的长；
（2）当的面积是矩形面积的时，请直接写出t的值；
（3）若点不与点和点重合，在点和点的运动过程中，矩形的边上有一点，且点，，，构成的四边形是平行四边形，请直接写出线段的长．
【答案】（1）0.5 （2）t的值为或
（3）线段GE的长为或
【解析】
【分析】（1）由题意求得的长，则两点的运动时间可求，再利用点和点的运动速度都是每秒1个单位长度求出，则；
（2）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点在上时，过点作于点，②当点在上时，过点作于点，利用平行线分线段成比例定理分别求得对应三角形的高，利用的面积是矩形面积的列出方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分类讨论的思想方法，分四种情况讨论解答：①当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，②当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，③当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，④当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，分别利用平行四边形的性质和矩形的性质，平行线分线段成比例定理求得相应值，在求出线段，的长，利用勾股定理求得的长．
【小问1详解】
解：矩形中，，，
．
点是的中点，
．
的运动速度是每秒1个单位长度，
当点运动到的中点时秒，
点的运动速度是每秒1个单位长度，
，
；
【小问2详解】
①当点在上时，
过点作于点，如图，
由题意得：，则，，
，，
，
，
，
，
的面积
，
，
，
．
②当点在上时，
过点作于点，如图，
由题意得：，则，，
，
，，
，
，
，
．
的面积，
，
解得：或（不合题意，舍去），
．
综上，当的面积是矩形面积的时，的值为或；
【小问3详解】
①当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，如图，
此时，，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
．
，
，
，
．
．
．
；
②当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，如图，
此时，，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
此时，点与点重合，不合题意，舍去；
③当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，如图，
此时，，，
，，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
；
④当点在上，点在上时，四边形为平行四边形，如图，
此时，，，
，，，
四边形为平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去），
综上，点，，，构成的四边形是平行四边形，线段的长为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形的面积，利用分类讨论的思想方法解得是解题的关键．类别
价格
A款保温杯
B款保温杯
进货价（元/个）
35
28
销售价（元/个）
50
40