2023-2024学年辽宁省沈阳市九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市九年级上学期数学月考试题及答案，共27页。试卷主要包含了 若，则下列式子正确的是， 反比例函数的图象位于，15到0， 下列说法正确的个数有等内容，欢迎下载使用。
1. 如右图，三视图所对应立体图形是下面的（ ）
A. 圆柱B. 正方体C. 三棱柱D. 长方体
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图是三角形，主视图和左视图都是矩形，可以推出三视图对应的立体图形为三棱柱．
【详解】解：由三视图可知：立体图形为：三棱柱；
故选C．
【点睛】本题考查根据三视图，确定立体图形．熟练掌握常见立体图形的三视图，是解题的关键．
2. 若，则下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质可得，然后把每一个选项转化成等积式，即可解答．
【详解】解：∵，∴，
A．∵，
∴，
∴，故该选项不符合题意；
B．∵，
∴，故该选项符合题意；
C．∵，
∴，
∴，故该选项不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3. 反比例函数的图象位于（ ）
A. 第一、二象限B. 第三、四象限
C. 第二、四象限D. 第一、三象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数性质即可得到结论．
【详解】解：∵k=4＞0，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，双曲线位于第一、三象限，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，双曲线位于第二、四象限，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
4. 若关于x的一元二次方程ax2﹣4x＋2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a≤2B. a≤2且a≠0C. a＜2D. a＜2且a≠0
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程有两个实数根，可得根的判别式的值不小于0，由此可得关于a的不等式，解不等式再结合一元二次方程的定义即可得答案
【详解】解：根据题意得a≠0且Δ＝（−4）2−4•a•2≥0，
解得a≤2且a≠0．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5. 如图，，与相交于点G．若则的长为（ ）
A. B. C. 12D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识点，能够熟练运用比例关系是解题关键．
6. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6
C. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上
D. 用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.15到0.20之间波动，即：这个实验的概率大约为0.17，分别计算四个选项的概率，大约为0.17即为正确答案．
【详解】A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为0.17，故本选项符合题意；
C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是=0.25，故本选项不符合题意；
D．由于用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234，324，342，432，
∴排出的数是偶数的概率为：．故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题是利用频率估计概率，主要考查了学生的观察频数（率）分布折线图，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7. 下列说法正确的个数有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形
②对角线相等的四边形是矩形
③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
④平行四边形不是中心对称图形
⑤顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形一定是菱形
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】①根据平行四边形的判定方法进行判断；②利用矩形的判定方法进行判断；③利用正方形的判定方法进行判断；④根据平行四边形的对称性进行判断；⑤利用中位线定理以及菱形的判定方法进行判断．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①正确；
对角线相等且平分的四边形是矩形，故②错误；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故③正确；
平行四边形是中心对称图形，故④错误；
顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形一定是菱形，故⑤正确；
综上，正确的有①③⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查（特殊）平行四边形的判定，以及平行四边形的对称性．熟练掌握（特殊）平行四边形的判定方法，是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明，然后利用相似比可求出CD的长．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，
根据题意得：，
∴，
∵，A，B．
∴PE=2，AB=3，ME=1，
∴PM=1，
∴，即，
解得：CD=6，．
故选：B
【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
9. 如图，在平行四边形中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ）
A. 1：9B. 9：61C. 9：110D. 7：49
【答案】B
【解析】
【分析】设，利用，可求出，再利用来求出的面积，即可得，据此求解即可．
【详解】解：平行四边形中，，
∴．
∴，
设，
∴．
又∵，
∴．
∴，即可知，
而，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是利用相似形的性质求面积，把握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决本题的重点．
10. 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺若干块木板，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强p（Pa）是模板面积S（m²）的反比例函数，其图象如图所示，当木板压强不超过300Pa时，木板面积应为（ ）
A. 不大于2m²B. 不小于2m²C. 不大于m²D. 不小于m²
【答案】B
【解析】
【分析】由图可知为定值，即，易求出解析式，利用压强不超过，即时，求相对应的自变量的范围．
详解】解：设，
把代入，得，
，
．
由题意知，
，
即木板面积至少要有，
即不小于，
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是正确得出函数关系式．
二．填空题（共6小题）
11. 如图，数学兴趣小组下午测得一根长为1m的竹竿影长是m，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为1m，地面上的影长为m，请你帮算一下树高是________m．
【答案】4
【解析】
【分析】利用物高比影长等于物高比影长，求出地面上的影长为m的树的高度，再加上墙壁上的影高，即为树高．
【详解】解：设地面上的影长为m的树的高度为，
由题意，得：，
解得：，
∴树高为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影中物高比影长等于物高比影长，是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的面积等于矩形面积的4倍，则点的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据位似图形的性质求出两个矩形的位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵矩形的面积等于矩形面积的4倍，
∴矩形与矩形的位似比为
∴点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
13. 如图，在矩形中，，点E在矩形的边上，连接，将矩形沿折叠，折叠后的点B落在边上的点F处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则AB的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用折叠的性质，以及相似图形的性质，对应边对应成比例，列出比例式，进行求解即可．
【详解】解：设，
∵将矩形沿折叠，折叠后的点B落在边上的点F处，
则：，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即：，
整理，得：，
解得：（不符合题意，舍掉）；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查相似图形．熟练掌握相似图形的对应边对应成比例，是解题的关键．
14. 果园有棵果树，平均每棵树结个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，讨论发现，每多种一棵桃树，平均每颗桃树的产量就会减少2个，要使总产量增加，应多种______棵桃树．
【答案】20
【解析】
【分析】根据题意桃树量乘以每棵产量等于总产量列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：设多种x棵桃树，由题意可得，
，
解得,
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程解应用题，解题的关键是找到等量关系式．
15. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
【答案】或##或
【解析】
【分析】设经过t秒时，与相似，则,,,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则,,,
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
16. 如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将折叠，点A的对应点为点A′，连接，交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值是____．
【答案】
【解析】
【分析】作点A关于的对称点T，取的中点R，连接，，，，根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理求出，，根据三边关系求出的最小值，再根据，可得结论．
【详解】如图所示：点A关于的对称点T，
取的中点R，连接，，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵A、关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出的最小值．
三．解答题
17. 解方程：．
【答案】；
【解析】
【分析】先把方程进行整理，然后利用公式法解方程，即可得到答案．
【详解】解：原方程可化为：．
∵
∴＞0，
∴，
∴；．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握公式法解一元二次方程．
18. 补全几何体的三种视图．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据三视图的定义，结合几何图形补全三视图即可求解．从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
【详解】解：如图所示
【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．
19. 在一次数学小组活动中，小牛和小虎都想去参加，但是只剩下一个名额，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者去参加，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号1，2，3，4的四个球，（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后不放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5，则小牛获胜，若两次数字之和小于5，则小虎获胜．
（1）随机摸出一个球，则摸到偶数的概率为______．
（2）请用列表或画树状图的方法分析这个游戏对小牛和小虎是否公平？
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）用列举法列出所有等可能结果，从中得到偶数的结果，利用概率公式计算解题；
（2）用列表法列出列出所有等可能结果，从中得到偶数的结果，利用概率公式计算解题；
【小问1详解】
随机摸出一个球的编号可能为1，2，3，4，共4种等可能结果，其中为偶数的有2中，即概率为：；
【小问2详解】
根据题意列表如下：
共有12种结果，每种结果的可能性相同，其中两次数字之和大于5的结果有4种，两次数字之和小于5的结果有4种，
∴，，
∴
∴游戏公平．
【点睛】本题考查概率的求法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．
20. 如图，将平行四边形的边延长至点E，使，连接交于点O，连接，若．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，再由，可得，可得四边形是平行四边形，再由，可得，从而得到，即可求证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质定理，矩形的判定定理是解题的关键．
21. 如图，有一块矩形硬纸板，长50cm，宽30cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为600cm2？
【答案】当剪去正方形的边长为5 cm时，所得长方体盒子的侧面积为600cm2．
【解析】
【分析】设剪去正方形的边长为xcm，由矩形的长和宽得做成无盖长方体盒子的底面长为（50﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，高为xcm，可得侧面积的表达式，令其值等于600，解得x的值，取合适的值即可.
【详解】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（50﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，高为xcm，
依题意，得：2×[（50﹣2x）+（30﹣2x）]x＝600，
整理，得：2x2﹣40x+150＝0，
解得： x1＝5 x2=15
当x＝15时，30﹣2x＝0，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为5 cm时，所得长方体盒子的侧面积为600cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意表示出长方形的侧面积是解题的关键.
22. 同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，它们的斜边长为8，固定不动，绕点A旋转，、与边的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
（1）求证：
（2）则的值为______．
【答案】（1）见解析 （2）32
【解析】
【分析】（1）由图形得，由外角定理，得，可得，根据，证明两个三角形相似；
（2）首先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
又，
∴；
【小问2详解】
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴解得，
由（1）得
∴
∴．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质,勾股定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
23. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图像相交于点，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出的解集．
（3）已知直线AB与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作PQ⊥x轴交反比例函数图像于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值．
【答案】（1）反比例函数的解析式为：；一次函数的解析式为：
（2）或
（3）当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2．
【解析】
【分析】（1）由题意得把代入得n＝3，即可得出A点坐标，将AB两点代入一次函数y＝kx+b求出k、b，从而得出答案；
（2）一次函数在反比例函数图像的上方时，自变量x的取值范围即可．
（3）由题意得，OC＝2，再根据面积求出，即可求出P点坐标，求t的值．
【小问1详解】
把代入得n＝3，
∴反比例函数的解析式为：
把代入得m＝3，把，代入得k＝1，b＝2
∴一次函数的解析式为：
【小问2详解】
∵不等式的解集即为：y1＞y2的解集，
∴或
【小问3详解】
由y＝x＋2可知，
∴OC＝2
∵n＝3
∴△OPQ面积为．
∴四边形COQP的面积为
解得
∵P点坐标为，点P可能在x轴正半轴或负半轴，
∴或
∴当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合得出函数值大小关系是重点．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以为邻边构造，在线段延长线上取点，使，设点运动的时间为秒．
（1）当点运动到线段的中点时，求的值及点的坐标；
（2）当点在线段上时，求证：四边形为平行四边形；
（3）在线段上取点，使，过点作，截取，且点分别在第一、四象限，在运动过程中，当点中，有一点落在四边形的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）由是的中点求出时间，然后确定，即可求出点的坐标；
（2）连接，根据平行四边形性质可得：，，在由线段的数量关系可得：，依据平行四边形的判定定理即可证明；
（3）的坐标是，的坐标是，则的坐标是，的坐标是，的坐标是，设的解析式是，将点坐标代入即可确定函数解析式，同理可得的解析式，然后分两种情况讨论：当在上时，的坐标是；当在上时，的坐标是；将、两点坐标分别代入求解即可．
【小问1详解】
解：，
则 ， ，
则，
则的坐标是；
【小问2详解】
解：连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即：
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
解：的坐标是，的坐标是，则的坐标是，的坐标是，的坐标是．
设的解析式是，
则，
解得：，
则的解析式是，
同理的解析式是，
当在上时，的坐标是，,
则 ，
解得：；
当在上时，的坐标是，
则 ，
解得：，
综合可得： ，．
【点睛】题目主要考查平行四边形与动点问题，包括平行四边形的判定和性质，一次函数解析式的确定，一元二次方程的求解等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
25. 如图，在菱形中，点为上的任意一点，连接，过点作，交延长线于点，点为上的任意一点，连接，分别过点，作，垂直于直线，垂足分别为，（点在菱形的内部）．
（1）如图1，当时，猜想线段，和的数量关系，并写出证明过程；
（2）如图2，若，点为中点，，，直接写出：______，______；
（3）在（2）的条件下，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，使点、、在同一直线上，直接写出的长度．
【答案】（1）；
（2），；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件证得和全等，再使用全等三角形的性质得到结论；
（2）过点作的垂线交的延长线于点，根据直角三角形所对的直角边和斜边的关系，勾股定理分别求出、、的长度；再证和相似，根据相似三角形的性质和正切的性质求出的长度即可确定最终答案；
（3）分为两种情况，作出图，根据相似的性质和勾股定理计算即可．
【小问1详解】
解：猜想：，证明如下：
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴（），
∴，，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：过点作的垂线交的延长线于点，如图所示，

根据题意知：四边形是菱形，，为中点，，，
∴，，，
∴，，
∴在中根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
在中根据勾股定理得：，
在中根据勾股定理得：，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴，，
综上所述：，；
【小问3详解】
解：在（2）题图的基础上连接，已知，，
在中根据勾股定理得：，
由（2）知，得，
按照题目要求，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，使点、、在同一直线上，分为两种情况：
①顺时针旋转后，如图所示，、、在同一直线上，，
，
又，，
在中根据勾股定理：，
∴；
②逆时针旋转后，如图所示，、、在同一直线上，，
已知，，，
∴在中根据勾股定理：，
∴，
综上所述，的长度为：或．
【点睛】本题考查的知识点比较多，主要考查了全等的判定和性质，相似的判定和性质，勾股定理，难度不小，解题的关键是理解题意，作出正确的辅助线．和
1
2
3
4
1
3
4
5
2
3
5
6
3
4
5
7
4
5
6
7