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初中数学苏科版八年级下册10.1 分式课堂检测
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这是一份初中数学苏科版八年级下册10.1 分式课堂检测，共15页。
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共27题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。
一、单选题（共8题，每题3分，共24分）
1．下列各式，，，，，中，分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若分子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列分式中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．代数式中的、都扩大10倍，则代数式的值 （ ）.
A．扩大10倍B．缩小10倍C．不变D．无法确定
5．下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（ ）
A．B．C．2D．3
7．若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
8．阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
9．下列4个分式：①；②；③；④，其中最简分式有 个．
10．计算： ．
11．已知，则 ．
12．计算： ．
13．已知时，分式无意义，则 ．
14．观察下列一组分式：， ，，，…．根据你的发现，第8个分式是 ．
15．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
16．“端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为 ．
17．对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ．
18．对于正数，规定，例如，则 ．
三、解答题（一共9题，共86分）
19．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
①；②；③；④．
20．解分式方程：
（1）； （2）．
21、化简：
（1）； （2）．
22．化简，从1，，2中选一个适合的数作为a的值代入求值．
23．已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围．
24．海阳大秧歌是山东省三大秧歌之一，于2006年被列入首批国家级非物质文化遗产名录．为传承优秀传统文化，海阳大秧歌走进了校园，为校园生活增添了一抹靓丽色彩．
某校为组建校园秧歌队购进，两款秧歌服，每套款服装比每套款服装多10元，用1440元购进的款服装数量是用1000元购进的款服装数量的1.2倍．款服装和款服装每套各多少元？
25．2024年是中国农历甲辰龙年．春节前，某商场打算进货“龙辰辰”和“爱他龙”两种布偶，发现用8800元购进的“龙辰辰”的数量是用4000元购进的“爱他龙”的2倍，且每件“龙辰辰”的进价比“爱他龙”贵了4元．
（1）“龙辰辰”、“爱他龙”每件的进价分别是多少元?
（2）为满足消费者需求，该超市准备购进“龙辰辰”和“爱他龙”两种布偶共200个，“龙辰辰”售价定价为70元，“爱他龙”售价为60元，若总利润不低于4480元，问最少购进多少个“龙辰辰”?
27．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
（1）已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________；
（2）分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个；
（3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
参考答案
一、单选题（共8题，每题3分，共24分）
1．D
【分析】此题主要考查分式的判断，解题的关键是根据分式的定义“形如，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式”．
【详解】解：分式为，，，，共4个，故选：D．
2．B
【分析】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义⇔分母不为零；根据分式的分母x-3≠0，可以求得x的取值范围．
【详解】解：根据题意，得：x-3≠0，解得：x≠3．故选：B．
3．A
【分析】本题考查了最简分式的定义和最简分式判断的方法及因式分解的运用，在解答中注意分子分母要没有公因式为止的分式才是最简分式．
【详解】解：，不是最简分式；
，不是最简分式；
是最简分式；
，不是最简分式；
故选A．
4．A
【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【详解】解：把分式的，同时扩大10倍，得
，∴分式的值扩大10倍．故选：A．
5．B
【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若，，则，，即，原变形错误，不符合题意；
B、，原变形正确，符合题意；
C、若，，，则，，即，原变形错误，不符合题意；
D、，原变形错误，不符合题意；
故选：B．
6．B
【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】解：方程两边同乘以，得①，
∵原方程有增根，
即．
把代入①，得故选：B．
7．D
【分析】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解，解答本题时，易漏掉，这是因为忽略了这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
先解方程，用含有m的式子表示出方程的解，再根据分式方程的解为正数，并且分母不为零，可得到满足条件的m的范围．
【详解】解：
去分母，可得，解得，
∵关于x的分式方程的解为正实数，∴，解得，
又∵，∴，
综上，且，故选：D．
8．C
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．
【详解】设乙同学的速度是x米/分，
根据题意得，
．
故选：C．
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
9．2
【分析】本题主要考查了最简分式的判断，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可．
【详解】解：①是最简分式，符合题意；
②不是最简分式，不符合题意；
③不是最简分式，不符合题意；
④是最简分式，符合题意；
∴最简分式有2个，
故答案为：2．
10．
【分析】本题考查了分式的加法，熟练掌握异分母的加法法则是解题的关键．根据分式的加法法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了分式的求值，正确根据题意得到是解题的关键．
根据题意可设，然后代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵，
∴可设，
∴，
故答案为：．
12．/18x/
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式乘方和分式乘法的运算法则是解题关键．
先算乘方，然后再算乘法．
【详解】解：，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查分式意义的条件，关键在于通过分式无意义算出a的值．
当分式无意义时分母为0，据此可求出a的值．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，此时，
即：
解得：．
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查代数式规律，对于分式规律，从三个方面：符号、分子和分母分别寻找，最终得到这组分式的规律是，当时，代入求解即可得到答案，准确找准分式的规律是解决问题的关键．
【详解】解：首先观察符号：奇数项为正、偶数项为负，则符号规律是；
观察分子，则分子规律为；
观察分母，则分母规律为 ；
这组分式的规律是，
当时，，
故答案为：．
15．或1
【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
去分母，整理得，根据分式方程无解可知增根分别为或，分别求解即可．
【详解】分式方程两边都乘以最简公分母，得：，
整理得：，
关于的分式方程无解，
当时，得，解得，
当时，得，解得．
∴的值为或1．
故答案为：或1．
16．
【分析】此题考查分式方程的应用，根据“甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等”即可列出分式方程．
【详解】解：设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子，
根据题意可得：，
故答案为：．
17．5
【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．由※、，从而得出，求出，代入可得答案．
【详解】解：※，
，
由题意，得：，解得：，∴．故答案为：5．
18．
【分析】本题考查代数式求值，分式的加法以及数字类规律探究，理解新定义函数的意义，掌握数字所呈现的规律是解决问题的关键．利用加法结合律以及探究所得规律得出答案．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
三、解答题（一共9题，共86分）
19．①；②；③；④
【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，从而可得分式的三个符号，同时改变两个，分式的值不变，根据分式的基本性质：①改变分式的分子与分式本身的符号，可得答案；②改变分式的分母与分式本身的符号，可得答案；③改变分式的分子与分母的符号，可得答案；④改变分式的分子与分母的符号，可得答案.
【详解】解：①；
②；
③；
④
【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的最高次项的系数化为正数，掌握变形的方法是解题的关键.
20．（1）； （2）是增根，方程无解
【分析】此题考查了解分式方程， 解分式方程的基本思想是“转化思想”， 把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根 ．
（1）分式方程去分母转化为整式方程， 求出整式方程的解得到的值， 经检验即可得到分式方程的解 ．
（2）分式方程去分母转化为整式方程， 求出整式方程的解得到的值， 经检验即可得到分式方程的解 ．
【详解】（1）解：去分母得：，
移项合并得：，
经检验是分式方程的解；
（2）去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验是增根， 分式方程无解 ．
21．（1）；（2）；
【分析】（1）本题考查分式的化简求值，先通分，再因式分解约分，化到最简即可得到答案；
（2）本题考查分式的化简求值，先通分计算括号里的分式，再因式分解约分化到最简即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
22．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后根据分式的有意义的条件，可得，再代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
∵且
∴a不能为1，，0，
∴，
∴将代入，得
原式．
23．且
【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程有解（无解）的判断方法是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据分式方程的解为正数列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
解得，
关于的分式方程的解为正数，
，
解得：且，
即实数的取值范围为且．
24．A款服装每套60元，B款服装每套50元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设A款服装每套x元，则B款服装每套元，根据“用1440元购进的A款服装数量是用1000元购进的B款服装数量的1.2倍”，列出分式方程，解分式方程即可．
【详解】解：设款服装每套为元，则款服装每套为元，
根据题意，得．
解这个方程，得．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
（元）．
所以，款服装每套60元，款服装每套50元．
25．（1）每件“龙辰辰”的进价是44元，每件“爱他龙”的进价是40元； （2）80个
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设每件“爱他龙”的进价是元，则每件“龙辰辰”的进价是元，利用数量=总价单价，结合用8800元购进的“龙辰辰”的数量是用4000元购进的“爱他龙”的2倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每件“爱他龙”的进价，再将其代入中，即可求出每件“龙辰辰”的进价；
（2）设购进个“龙辰辰”，则购进个“爱他龙”，利用总利润每个的销售利润销售数量，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设每件“爱他龙”的进价是元，则每件“龙辰辰”的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件“龙辰辰”的进价是44元，每件“爱他龙”的进价是40元；
（2）设购进个“龙辰辰”，则购进个“爱他龙”，
根据题意得：，
解得：，
∴的最小值为80．
答：最少购进80个“龙辰辰”．
26．（1）； （2），说明见解析； （3）．
【分析】本题考查新定义下的整式运算计算，熟练掌握整式的因式分解是解决问题的关键．
（1）把代入求解即可．
（2）直接计算求出a，b的关系式即可．
（3）因式分解化简求值即可．
【详解】（1）解：把代入得
，
解得．
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
令，
上式为：，
，
解得，
．
27．（1）3，6
（2）真分式，，4
（3）当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米
（4）当时，分式取到最大值，最大值为
【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
（2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
求解；
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；．
【详解】（1）解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：根据新定义分式是真分式，
，
x为整数，且为整数，
或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：
由上述性质知：∵，∴，此时， ，∴，
答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；
（4）解：
，
，
，
当且当时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共27题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。
一、单选题（共8题，每题3分，共24分）
1．下列各式，，，，，中，分式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若分子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列分式中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．代数式中的、都扩大10倍，则代数式的值 （ ）.
A．扩大10倍B．缩小10倍C．不变D．无法确定
5．下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（ ）
A．B．C．2D．3
7．若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
8．阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
9．下列4个分式：①；②；③；④，其中最简分式有 个．
10．计算： ．
11．已知，则 ．
12．计算： ．
13．已知时，分式无意义，则 ．
14．观察下列一组分式：， ，，，…．根据你的发现，第8个分式是 ．
15．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
16．“端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为 ．
17．对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ．
18．对于正数，规定，例如，则 ．
三、解答题（一共9题，共86分）
19．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
①；②；③；④．
20．解分式方程：
（1）； （2）．
21、化简：
（1）； （2）．
22．化简，从1，，2中选一个适合的数作为a的值代入求值．
23．已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围．
24．海阳大秧歌是山东省三大秧歌之一，于2006年被列入首批国家级非物质文化遗产名录．为传承优秀传统文化，海阳大秧歌走进了校园，为校园生活增添了一抹靓丽色彩．
某校为组建校园秧歌队购进，两款秧歌服，每套款服装比每套款服装多10元，用1440元购进的款服装数量是用1000元购进的款服装数量的1.2倍．款服装和款服装每套各多少元？
25．2024年是中国农历甲辰龙年．春节前，某商场打算进货“龙辰辰”和“爱他龙”两种布偶，发现用8800元购进的“龙辰辰”的数量是用4000元购进的“爱他龙”的2倍，且每件“龙辰辰”的进价比“爱他龙”贵了4元．
（1）“龙辰辰”、“爱他龙”每件的进价分别是多少元?
（2）为满足消费者需求，该超市准备购进“龙辰辰”和“爱他龙”两种布偶共200个，“龙辰辰”售价定价为70元，“爱他龙”售价为60元，若总利润不低于4480元，问最少购进多少个“龙辰辰”?
27．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
（1）已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________；
（2）分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个；
（3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
参考答案
一、单选题（共8题，每题3分，共24分）
1．D
【分析】此题主要考查分式的判断，解题的关键是根据分式的定义“形如，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式”．
【详解】解：分式为，，，，共4个，故选：D．
2．B
【分析】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义⇔分母不为零；根据分式的分母x-3≠0，可以求得x的取值范围．
【详解】解：根据题意，得：x-3≠0，解得：x≠3．故选：B．
3．A
【分析】本题考查了最简分式的定义和最简分式判断的方法及因式分解的运用，在解答中注意分子分母要没有公因式为止的分式才是最简分式．
【详解】解：，不是最简分式；
，不是最简分式；
是最简分式；
，不是最简分式；
故选A．
4．A
【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【详解】解：把分式的，同时扩大10倍，得
，∴分式的值扩大10倍．故选：A．
5．B
【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若，，则，，即，原变形错误，不符合题意；
B、，原变形正确，符合题意；
C、若，，，则，，即，原变形错误，不符合题意；
D、，原变形错误，不符合题意；
故选：B．
6．B
【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】解：方程两边同乘以，得①，
∵原方程有增根，
即．
把代入①，得故选：B．
7．D
【分析】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解，解答本题时，易漏掉，这是因为忽略了这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
先解方程，用含有m的式子表示出方程的解，再根据分式方程的解为正数，并且分母不为零，可得到满足条件的m的范围．
【详解】解：
去分母，可得，解得，
∵关于x的分式方程的解为正实数，∴，解得，
又∵，∴，
综上，且，故选：D．
8．C
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．
【详解】设乙同学的速度是x米/分，
根据题意得，
．
故选：C．
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
9．2
【分析】本题主要考查了最简分式的判断，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可．
【详解】解：①是最简分式，符合题意；
②不是最简分式，不符合题意；
③不是最简分式，不符合题意；
④是最简分式，符合题意；
∴最简分式有2个，
故答案为：2．
10．
【分析】本题考查了分式的加法，熟练掌握异分母的加法法则是解题的关键．根据分式的加法法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了分式的求值，正确根据题意得到是解题的关键．
根据题意可设，然后代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵，
∴可设，
∴，
故答案为：．
12．/18x/
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式乘方和分式乘法的运算法则是解题关键．
先算乘方，然后再算乘法．
【详解】解：，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查分式意义的条件，关键在于通过分式无意义算出a的值．
当分式无意义时分母为0，据此可求出a的值．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，此时，
即：
解得：．
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查代数式规律，对于分式规律，从三个方面：符号、分子和分母分别寻找，最终得到这组分式的规律是，当时，代入求解即可得到答案，准确找准分式的规律是解决问题的关键．
【详解】解：首先观察符号：奇数项为正、偶数项为负，则符号规律是；
观察分子，则分子规律为；
观察分母，则分母规律为 ；
这组分式的规律是，
当时，，
故答案为：．
15．或1
【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
去分母，整理得，根据分式方程无解可知增根分别为或，分别求解即可．
【详解】分式方程两边都乘以最简公分母，得：，
整理得：，
关于的分式方程无解，
当时，得，解得，
当时，得，解得．
∴的值为或1．
故答案为：或1．
16．
【分析】此题考查分式方程的应用，根据“甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等”即可列出分式方程．
【详解】解：设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子，
根据题意可得：，
故答案为：．
17．5
【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．由※、，从而得出，求出，代入可得答案．
【详解】解：※，
，
由题意，得：，解得：，∴．故答案为：5．
18．
【分析】本题考查代数式求值，分式的加法以及数字类规律探究，理解新定义函数的意义，掌握数字所呈现的规律是解决问题的关键．利用加法结合律以及探究所得规律得出答案．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
三、解答题（一共9题，共86分）
19．①；②；③；④
【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，从而可得分式的三个符号，同时改变两个，分式的值不变，根据分式的基本性质：①改变分式的分子与分式本身的符号，可得答案；②改变分式的分母与分式本身的符号，可得答案；③改变分式的分子与分母的符号，可得答案；④改变分式的分子与分母的符号，可得答案.
【详解】解：①；
②；
③；
④
【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的最高次项的系数化为正数，掌握变形的方法是解题的关键.
20．（1）； （2）是增根，方程无解
【分析】此题考查了解分式方程， 解分式方程的基本思想是“转化思想”， 把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根 ．
（1）分式方程去分母转化为整式方程， 求出整式方程的解得到的值， 经检验即可得到分式方程的解 ．
（2）分式方程去分母转化为整式方程， 求出整式方程的解得到的值， 经检验即可得到分式方程的解 ．
【详解】（1）解：去分母得：，
移项合并得：，
经检验是分式方程的解；
（2）去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验是增根， 分式方程无解 ．
21．（1）；（2）；
【分析】（1）本题考查分式的化简求值，先通分，再因式分解约分，化到最简即可得到答案；
（2）本题考查分式的化简求值，先通分计算括号里的分式，再因式分解约分化到最简即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
22．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后根据分式的有意义的条件，可得，再代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
∵且
∴a不能为1，，0，
∴，
∴将代入，得
原式．
23．且
【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程有解（无解）的判断方法是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据分式方程的解为正数列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
解得，
关于的分式方程的解为正数，
，
解得：且，
即实数的取值范围为且．
24．A款服装每套60元，B款服装每套50元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设A款服装每套x元，则B款服装每套元，根据“用1440元购进的A款服装数量是用1000元购进的B款服装数量的1.2倍”，列出分式方程，解分式方程即可．
【详解】解：设款服装每套为元，则款服装每套为元，
根据题意，得．
解这个方程，得．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
（元）．
所以，款服装每套60元，款服装每套50元．
25．（1）每件“龙辰辰”的进价是44元，每件“爱他龙”的进价是40元； （2）80个
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设每件“爱他龙”的进价是元，则每件“龙辰辰”的进价是元，利用数量=总价单价，结合用8800元购进的“龙辰辰”的数量是用4000元购进的“爱他龙”的2倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每件“爱他龙”的进价，再将其代入中，即可求出每件“龙辰辰”的进价；
（2）设购进个“龙辰辰”，则购进个“爱他龙”，利用总利润每个的销售利润销售数量，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设每件“爱他龙”的进价是元，则每件“龙辰辰”的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件“龙辰辰”的进价是44元，每件“爱他龙”的进价是40元；
（2）设购进个“龙辰辰”，则购进个“爱他龙”，
根据题意得：，
解得：，
∴的最小值为80．
答：最少购进80个“龙辰辰”．
26．（1）； （2），说明见解析； （3）．
【分析】本题考查新定义下的整式运算计算，熟练掌握整式的因式分解是解决问题的关键．
（1）把代入求解即可．
（2）直接计算求出a，b的关系式即可．
（3）因式分解化简求值即可．
【详解】（1）解：把代入得
，
解得．
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
令，
上式为：，
，
解得，
．
27．（1）3，6
（2）真分式，，4
（3）当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米
（4）当时，分式取到最大值，最大值为
【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
（2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
求解；
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；．
【详解】（1）解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：根据新定义分式是真分式，
，
x为整数，且为整数，
或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：
由上述性质知：∵，∴，此时， ，∴，
答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；
（4）解：
，
，
，
当且当时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．
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