2023-2024学年苏科版八年级数学下学期第一次月考试卷（含答案解析）

这是一份2023-2024学年苏科版八年级数学下学期第一次月考试卷（含答案解析），共28页。试卷主要包含了考试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：苏科版八年级数学下册第7-9章。
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·江苏·八年级专题练习）为了解我县初中2012级8300名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析。下面叙述正确的是（ ）
A．8300名学生是总体
B．每名学生是总体的一个个体
C．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本
D．以上调查是普查
3．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）关于矩形的性质，下面说法错误的是（ ）
A．矩形的中点四边形是菱形
B．两条对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的两条对角线互相垂直平分
D．两组对角分别相等且一组邻边也相等的四边形是正方形
4．（2023下·江苏·八年级专题练习）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为必然事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数和等于3
C．两枚骰子向上一面的点数和等于7
D．两枚骰子向上一面的点数和大于12
5．（2023下·湖北恩施·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形各边的中点E、F、G、H，则说法正确的是（ ）

A．EFGH是菱形 B．EFGH是正方形 C．EFGH是矩形 D．EFGH是平行四边形
6．（2024上·四川广元·九年级统考期末）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6,6），点E、F分别在边BC、BA上，，若EO平分∠CEF。则E点的横坐标是（ ）
A．2B．3C．D．
二、填空题（10小题，每小题2分，共20分）
7．（2024上·山东菏泽·七年级统考期末）下面调查中，最适合采用普查的是______．（填序号）
①对全国中学生心理健康现状的调查 ②对菏泽市中学生视力情况的调查
③对《新闻联播》节目收视率的调查 ④对某校七年（1）班同学身高情况的调查
8．（2023下·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻而坐为______事件（填“确定”或“随机”）．

9．（2023下·江苏连云港·八年级统考期中）一个不透明的袋子里装有3个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，取出______球的可能性最大．
10．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为______米．

11．（2023下·江苏徐州·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是：______．
12．（2023下·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB=8，，则OH的长为______．

13．（2023上·江苏南京·八年级校考开学考试）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为点E。若四边形ABCD的面积为13，则BE=______．

14．（2023下·江苏镇江·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB上不与点A，B重合的一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则线段EF的最小值为______．

15．（2024上·江苏盐城·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别为AD、CD边上的点，且EF的长为4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为______．
16．（2023·江苏南通·统考二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边AB上的动点，以EF为一边在EF的右上方作等边三角形FEG，当CG最小时，△ECG的周长为______．
三、解答题（10小题，共68分）
17．（2023下·江苏宿迁·八年级宿迁市宿豫区实验初级中学校考期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF，求证：AF=BC。
18．（2023下·江苏镇江·八年级统考期中）2023年春节假期我市文旅市场迎来“开门红”，共接待游客35万人次，其中必去打卡的有A、B、C、D四个景区，小龙为了解哪个景区更受欢迎，随机调查了自己学校的有意向在“五一”期间去其中一个景区游玩的同学，并根据调查结果绘制了两个不完整的统计图．请你根据统计图中的信息，解决下列问题：
（1）扇形统计图中，B所对应的扇形圆心角的度数为______；
（2）这次调查一共抽取了多少名学生？其中有意向去D景区的学生人数的百分比是多少？
19．（2023下·江苏徐州·八年级校考阶段练习）对某工厂生产的直径为38mm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下表所示：
（1）计算各次检查中“优等品”的频率，将结果填入上表（保留两位小数）；
（2）估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是多少（保留两位小数）？请简单说明理由．
20．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2,4），B（1,1），C（4,3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，写出A1的坐标为______．
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2．写出B2的坐标为______．
（3） △ABC的面积为______．
21．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，只用无刻度的直尺按下列要求画图．（不写画法）
（1）在图1中，点E是BC的中点，作边AD上的中点F；
（2）在图2中，∠ABC的平分线交AD于点F，在边BC上的找点P，使得连接DP后， DP平分∠ADC．
22．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．

（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若OA=4，OB=3，求CE的长．
23．（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△BGE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．

（1）求证：BE⊥EF；
（2）若点F是CD的三等分点，BC=4，求CD的长．（保留根号，无需化简）
24．（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB=CD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路
25．（2023上·江苏南京·九年级校考开学考试）在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，PG与PC的关系为______；
（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，判断PG、PC关系，并证明：
（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A、B、E在同一条直线上，连接DF．P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°．求的值．
26．（2023下·江苏南京·八年级统考期末）如图①，在四边形ABCD中，若AB=BC=BD，且AD=CD，则称四边形ABCD为“完美筝形”．

（1）下列四边形中，一定是“完美筝形”的是______．
A．正方形 B．对角线夹角是60°的矩形 C．菱形 D．有一个内角是60°的菱形
（2）如图②，在“完美筝形”ABCD中，AB=BC=BD，且AD=CD，E，F分别是CD，AD上的点，且CE=DF，求证：BE=BF；
（3）如图③，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=60°，E，F分别是AB，AD上的动点（与A，B，D都不重合），且BE=DF，若G是CE的中点，连接FG，则FG的取值范围是______．抽取球数n
优等品数m
优等品频率m/n
由（1）知四边形是平行四边形．要证是矩形，只要证．由已知条件知，故只要证．易证 ，故只要证，即证，故只要证 ．易证，即可得证．
参考答案
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．D
【分析】根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．
【详解】解：A、沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，是轴对称图形，旋转180度后不能与自身重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、沿着某条直线对折，图形两部分不能够完全重合的图形，不是轴对称图形，旋转180度后不能与自身重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、沿着某条直线对折，图形两部分不能够完全重合的图形，不是轴对称图形，旋转180度后能与自身重合，是中心对称图形，故本选项不符合题意；；
D、沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，是轴对称图形，旋转180度后能与自身重合，是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确记忆轴对称图形是沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某点，旋转180度后与自身重合的图形是解题关键。
2．C
【详解】根据总体、样本、个体的概念及普查与抽样调查的概念，结合各选项的说法即可得出答案．
【解答】解：A、总体是：我县初中2012级8300名学生的体育成绩，故本选项错误，
B、每名学生的体育成绩是总体的一个个体，故本选项错误，
C、1700名学生的体育成绩是总体的一个样本，故本选项正确，
D、是抽样调查，故本选项错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了普查与抽样调查、总体、个体与样本的定义，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目．
3．D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：A、矩形的中点四边形是菱形，故不符合题意；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
C、菱形的两条对角线互相垂直平分，故不符合题意；
D、一两组对角分别相等且一组邻边也相等的四边形不一定是正方形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了事件的分类，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断即可．
【详解】解：A选项是必然事件，符合题意；
B选项是随机事件，不符合题意；
C选项是随机事件，不符合题意；
D选项是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
5．C
【分析】依据题干进行推理，分别对菱形、正方形、矩形、平行四边形的逐一进行判断，看是否符合题意即可．
【详解】如图，连接菱形的对角线AC、BD．

由菱形的性质可知，．
∵分别是菱形各边的中点，
∴由三角形中位线定理可得：．
∴．
所以四边形是平行四边形．
由得，
，
故四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
因此，C正确．
对于选项A，假如是菱形或者正方形，则可推得，而菱形的对角线不一定相等，与题干矛盾，A、B错误；
对于选项D，是平行四边形的充分条件并不需要是菱形，只要是普通四边形就足够了，故D说法不够精确，D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、顺次连接菱形各边的中点所构成的四边形具有什么特点，解题的关键是深刻理解各种特殊四边形的特征．
6．B
【分析】过点作于点，结合点和正方形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，进而确定得值；再根据角平分线的性质可得，进而证明，，由全等三角形的性质可得，，设，则，，，然后根据，解得的值，易得，即可确定点的横坐标．
【详解】解：如下图，过点作于点，
∵四边形为正方形，点的坐标是，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴点的横坐标是3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、填空题（10小题，每小题2分，共20分）
7．④
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：①对全国中学生心理健康现状的调查，适合抽样调查，故①不符合题意；
②对菏泽市中学生视力情况的调查，适合抽样调查，故②不符合题意；
③对《新闻联播》节目收视率的调查，适合抽样调查，故③不符合题意；
④对某校七年（1）班同学身高情况的调查，适合普查，故④符合题意；
故答案为：④．
8．确定
【分析】根据题意得甲乙相邻的概率是1，即可得．
【详解】解：∵圆桌的3个座位是彼此相邻的，甲乙相邻的概率是1，
∴甲乙相邻而坐为确定事件，
故答案为：确定．
【点睛】本题考查了确定事件，解题的关键是理解题意，掌握确定事件的概念，必然事件和不可能事件都是确定事件．
9．红
【分析】根据题意得到相应的可能性，比较即可．
【详解】解：摸到红球的可能性为，摸到黄球的可能性为，摸到白球的可能性为，
所以摸到红球的可能性最大，
故答案为：红．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
10．50
【分析】因为是的中位线，然后根据三角形的中位线定理即可解答．
【详解】解：，分别是，的中点，
是的中位线．
米
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解答本题的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】本题是开放题，已知，可以根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，也可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定，主要条件明确，说法有理即可．
【详解】可添加的条件有或等，答案不唯一；
以为例进行说明：
解：在四边形ABCD中，，
可添加的条件是：，
四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
故答案是：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
12．6
【分析】根据菱形面积的计算公式求得，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为的中点，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键．
13．
【分析】作于F，如图，易得四边形为矩形，再证明得到，，则可判断四边形为正方形，四边形的面积=四边形的面积，然后根据正方形的面积公式计算的长．
【详解】解：作于F，如图，

，，
∴四边形为矩形，
，
即，
，
即，
，
在和中，
，
，
，，
∴四边形为正方形，
四边形的面积=四边形的面积，
四边形的面积为13，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．
【分析】连接，可证四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再有“垂线段最短”即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：

由题意得：
∵
∴四边形是矩形
∴
故当时，有最小值，的最小值也为
∵
∴
故线段的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等．利用矩形的性质得到是解题关键．
15．/
【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径，解题关键利用轴对称和直角三角形的性质确定最短路径．作点A关于的对称点H，连接，，，可知当H、P、G、D共线时，最小，求出、长即可．
【详解】解：作点A关于的对称点H，连接，，，如图所示：
∵，
∴当H、P、G、D共线时，最小，
∵，，
∴，，
∵的长为4，点为的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
16．/
【分析】以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，过点作于点，先证四边形为矩形，再证和全等得，再由得，由此可得出当点与点重合时，为最小，即为最小，最小值为，然后再求出，即可得出当最小时，的周长．
【详解】解：以C为一边在正方形内作等边，连接，
过点作于点，过点作于点，

四边形为正方形，且边长为，
，，
点为的中点，
，
和均为等边三角形，，
，，，，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
即：，
在和中，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，为最小，
即为最小，最小值为，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理的，
，
的周长为：．
即当最小时，的周长为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得出最小时，点的位置是解题的关键．
三、解答题（10小题，共68分）
17．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质：根据是平行四边形，得出，由 从而可得到，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，从而不难得到结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∴
18．（1）； （2）50名，
【分析】（1）用360乘以B对应的百分比即可；
（2）用C对应的人数除以对应百分比可得抽取的人数，再求出A所对应的百分比，最后用1减去其他部分的百分比，可得结果．
【详解】（1）解：，
∴B所对应的扇形圆心角的度数为；
（2）人，
∴这次调查一共抽取了50名学生；
，
，
∴有意向去D景区的学生人数的百分比是．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是将统计图中的信息有效关联起来．
19．（1）、、； （2）
【分析】（1）用优等品数除以抽取球数即可得出答案；
（2）根据随着抽取球数的增加，频率稳定于0.90可得答案．
【详解】（1）解：完成表格如下：
故答案为：、、．
（2）估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是，
由表知，随着抽取球数的增加，频率稳定于，
所以估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20．（1）图形见解析；；（2）图形见解析；；（3）
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——轴对称，中心对称：
（1）作出点A，B，C关于原点的对称点，再顺次连接，即可求解；
（2）作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接，即可求解；
（3）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
的坐标为；
故答案为：
（2）解：如图，即为所求；
的坐标为；
故答案为：
（3）解：．
故答案为：
21．（1）见详解； （2）见详解
【分析】本题主要考查利用平行四边形性质作图，
（1）利用平行四边形对角线相互平分的性质，即可确定，且点E为中点，即可求得点F也为中点；
（2）利用平行四边形对角线相互平分的性质，可判定四边形为平行四边形，结合平分，则即为所求．
【详解】（1）解：连接和交于点O，连接，延长交于点F，如图，
（2）连接和交于点O，连接，延长交于点P，如图，
22．（1）见解析； （2）
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
即的长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
23．（1）见解析； （2）或
【分析】（1）先根据折叠的性质得出，，，再证明，即有，问题随之得证；
（2）设，由折叠可知，由（1）知，有，根据点是的三等分点，分，或，，两种情况讨论，利用勾股定理即可列方程求解．
【详解】（1）将沿折叠后得到，
，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，得证．
（2）设，
由折叠可知，
由（1）知，
，
点是的三等分点，
，或，
或，
，
或，
或，
或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形全等的判定，是解答本题的关键．
24．（1）见解析； （2）
【分析】（1）根据矩形的性质得到根据线段的中点的定义得到由角平分线的定义得到．根据全等三角形的性质得到．于是得到结论；
（2）根据证明四边形是矩形的判定定理逐步分析即可解答．
【详解】（1）证明：在中，，,
∵E、F分别是的中点，
∴,
又∵，
∴，
∵，
∴．
∵平分，平分．
∴．
∵．
∴，
在和中,，
∴
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：由（1）知四边形是平行四边形．要证是矩形，只要证．由已知条件知，故只要证．易证，故只要证，即证，故只要证．易证，所以 当时，四边形是矩形．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定、角平分线的定义，平行四边形的判定定理，根据题意得出证明矩形的方法是解题关键．
25．（1）； （2）；证明见解析； （3）
【分析】（1）延长交于点H，根据正方形的性质得，则，可得，根据P是线段的中点得，证明，可得，则，可得是等腰直角三角形，根据，即可得；
（2）延长交于点H，根据矩形的性质得，可得，则，根据P是线段的中点得，证明，可得，根据得是直角三角形，可得，即可得；
（3）延长交于点H，根据P是线段的中点得，根据菱形的性质和点A，B，E在同一条直线上得，则，证明，可得，根据得，可得是等腰三角形，则，，根据得，可得，结合勾股定理即可得．
【详解】（1）且；理由：
解：如图1，延长交于点H，
∵四边形和是正方形，
∴
∴，
∴，
∵P是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴且，
故答案为：，；
（2）解：如图2，延长交于点H，
∵四边形和是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵P是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图3，延长交于点H，
∵P是线段的中点，
∴，
∵四边形和四边形是菱形，点A，B，E在同一条直线上，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是等腰三角形，
∴（等腰三角形三线合一）
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴中，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确添加辅助线．
26．（1）D； （2）见解析； （3）
【分析】（1）根据菱形的定义边角长度关系得到答案；
（2）根据“边边边”求得某两个三角形全等进一步得到角相等，再根据“边角边”求得三角形全等，进一步得到边相等；
（3）根据勾股定理，将所求边的长用已知范围的量表示，求得的取值范围．
【详解】（1）解：在正方形中，对角线长度是边长的倍，A不正确；
对角线夹角为的矩形，对角线的长度为宽的二倍，矩形长的长度为宽的倍，三者均不相等，B不正确；
在菱形中，边长相等，但是某条对角线的长度不一定等于边长；C不正确；
在有一个内角是的菱形中，这个菱形由两个等边三角形组成，易得它能够形成“完美筝形”，D正确；
故选：D．
（2）解：在与中，
，
∴，
∴，
在与中 ，
,
∴,
∴．
（3）解：连接，，，与交于点O，如下图所示：

∵四边形是菱形，
∴，，又，
∴是等边三角形，
∴，,
∴,
∵，
∴，又，
∴是等边三角形，
∴设，
则，，
∴，，
∴，
取的中点，连接，
∵点G是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴当或1时，，当时，，
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查特殊四边形的的相关性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，引入了新的概念，题目较为新颖，灵活运用相关知识点是解答的关键。抽取球数
优等品数
优等品频率