重庆市万州二中教育集团2023-2024学年高二下学期3月质量监测数学试题

这是一份重庆市万州二中教育集团2023-2024学年高二下学期3月质量监测数学试题，共15页。试卷主要包含了若函数，则，若函数在点处的切线与垂直，则，在等差数列中，，，则，函数在上的大致图象为，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
（120分钟 150分 命题人：数学备课组）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数，则（ ）
A．0B．C．D．
2．若函数在点处的切线与垂直，则（ ）
A．2B．0C．D．
3．在等差数列中，，，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
4．函数在上的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
5．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从A，B，C，D四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有（ ）
A．60B．48C．54D．64
6．已知双曲线：的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
7．若函数在单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（ ）
A．从东面上山有20种走法B．从西面上山有27种走法
C．从南面上山有30种走法D．从北面上山有32种走法
10．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为增函数B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点D．
11．已知函数，其中，则（ ）．
A．不等式对恒成立
B．若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则的取值范围是
C．方程恰有3个实根
D．若关于的不等式恰有1个负整数解，则的取值范围为
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知数列，，，4成等差数列且，，成等比数列，则的值是______．
13．某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为______件时，总利润最大．
14．如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”．已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则______．
四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知等比数列的公比为整数，且，，数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式．
16．（15分）已知函数．
（1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
（2）讨论的单调性．
17．（15分）已知椭圆：的右顶点为，左焦点为，椭圆上的点到的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点．记坐标原点为，圆过O、A两点且与直线相交于两个不同的点，（，在第一象限，且在的上方），，直线与椭圆相交于另一个点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积．
18．（17分）已知函数，是大于0的常数，记曲线在点处的切线为，在轴上的截距为，．
（1）若函数，，且在存在最小值，求的取值范围．
（2）当时，求的取值范围．
19．（17分）柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或，，至少有一方全为0．柯西不等式用处很广，高中阶段常用来证明一些距离最值问题，还可以借助其放缩达到降低题目难度的目的．数列满足，．
（1）证明数列为等差数列．
（2）证明：；
（3）证明：．
数学参考答案：
一．单选
1．A
【详解】，
所以．
故选：A．
2．D
【详解】，，
即函数在点处的切线的斜率是，
直线的斜率是，
所以，解得．
点在函数的图象上，则，
，所以D选项是正确的．
3．C
【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得．
【详解】设等差数列的公差为，
，，，
所以．
故选：C
4．A
【详解】依题意，，即函数为奇函数，选项C，D不满足；
当时，，而，即，选项B不满足，选项A符合要求．
故选：A
5．B
【详解】因甲不选A景点，应该分步完成：第一步，先考虑甲在B，C，D三个景点中任选一个，有3种选法；
第二步，再考虑乙和丙，从A，B，C，D中分别任选一个景点，有中选法．
由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种．
故选：B．
6．C
【详解】因为焦距为，故，故，故
故渐近线方程为，
故选：C．
7．C
【详解】因为，所以，
因为在单调递减，所以，
即，
令，所以在上恒成立，
令，，
故，即，解得，
故选：C．
8．A
【详解】由可得，当时，显然成立；
当时，由可得．
设，则，．
设，则，当时，，当时，，
故的最小值为，故，即，当且仅当时等号成立．
故，当且仅当，即时等号成立，
又满足，故，即，
故实数的取值范围为．
故选：A
二．多选
9．ABD
10．BD
【详解】因为，所以，
因为导函数满足，
当时，，则，所以是增函数；
当时，，则，所以是减函数；
故A错误，B正确；
又，则，
当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，可能有1个或2个零点，故C错误；
因为函数在上为增函数，
所以，即，整理得，故D正确；
故选：BD
11．AD
【详解】对于选项A，，
当或时，，所以在，上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以在出取得极小值，，
在处取得极大值，，
而时，恒有成立，
所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确；
对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点，
由A选项分析，函数的大致图象如下，
由图知，当或时，
函数与直线有且只有两个交点，故B错误；
对于C选项，由，得，解得，
令，和，而，
由图象知，和分别有两解：
综上，方程共有4个根，C错误；
对于D选项，直线过原点，且，，
记，，
易判断，，
不等式恰有1个负整数解，
即曲线在的图象下方对应的值恰有1个负整数，
由图可得，即，故D正确．
故选：AD
三．填空
12．
13．25
【详解】设产品单价为，因为产品单价的平方与产品件数成反比，所以，（其中为非零常数），
又生产100件这样的产品单价为50万元，所以，
故，所以，
记生产件产品时，总利润为，
所以，
则，
由，得；由，得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
因此当时，取最大值，即产量定为25件时，总利润最大．
故答案为：25
14．0
【详解】当时，过原点作的切线，
设切点，，，
则切线方程为，
又切线过点，所以，
所以．
设，，则为增函数，且，所以，，
当时，过原点作的切线，
设切点，，，
则切线为，又切线过点，
所以，又，，，
因为，所以两切线垂直，所以，．
故答案为：0．
四．解答题
15．【解答】解：（1）由题意，设等比数列的公比为，
则，，
，
，
化简整理，得，
解得（舍去），或，
，．
（2）由题意，设，
则数列的前项和，
则当时，，
当时，
，
当时，也满足上式，
，，
，，
，．
16．【解答】解：（1）若，则，，
，
所以曲线在点处的切线斜率为，即，
解得，
所以，
所以切线的方程为，即．
（2）函数，，
，
令，，则为开口向上，对称轴为，，
又，
当，即时，在上单调递增，
所以，
所以在上，单调递增，
当，即时，
①若，即时，，
所以在上，单调递增，
②若，即时，有两个根，，
若，即时，，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增．
17．【解答】解：（1）由题意有：，
又，
所以，
所以陏圆的方程为，
又点在椭圆上，
所以，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，，，
，，
因为，所以，①
圆过点与且与直线相交于两个不同的点，，
则圆心的坐标为，又，
所以，
解得，②
由①②解得，，
所以，，
所以直线的方程为，
与椭圆方程联立消去得，
解得点的横坐标，
所以，
又到直线的距离，
所以的面积．
18．【解答】解：（1）
（2）函数，求导得，
所以切线方程为：，
令，得，由，得，
又，则，解得，
又，得，即，
令，，
所以，
所以当时，，当时，，
因此函数在区间单调递增，在区间单调递减，
而，，则由，得，
所以的取值范围是．
19．【解答】（I）解：，．故是以为首项，为公差的等差数列．
（II）证明：当时，构造函数，则，函数在上单调减
，；
所以令得，即，
，于是，
从而
（III）证明：欲证
即证（左右同时乘2）
即证．
由柯西不等式得：
令，即．
得到：．
故原命题只需证．
即证：．
当从增加到时左侧增加量为，右侧增加量为．
即只需证时不等式成立且即可．
时，成立．
由切线不等式：（需证）
替换：，．
替换：．
替换：．
即．
所以．证毕．