2024年山西省大同市多校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列四个实数中，无理数是（ ）
A. 3.14B. C. D.
2. “二十四节气”是根据太阳在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法，下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（ ）
A B.
C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（ ）

A. 10°B. 12°C. 15°D. 20°
5. 随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 在数学课上，同学们用7个相同的小立方体搭成不同形状的几何体，下面是四个小组搭成的几何体，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 图1和图2的俯视图的面积相等B. 图2和图4的左视图相同
C. 图3和图4的俯视图相同D. 图1比图3的左视图的面积小
7. 如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，内接于半径为6的中、作的直径，若，连接，则图中扇形的面积是（ ）

A. B. C. D.
9. 已知抛物线的部分值如下表所示：
由表格可知，下列结论中正确的是
A. 抛物线开口向上B. 该抛物线的最大值为5.5
C. 该抛物线对称轴为直线D. 该抛物线与y轴交于点
10. 如图是由若干个相同小正三角形组成的图形，小明在该图形中建立了平面直角坐标系，并测得点A的坐标是，点B的坐标是，由此可知、点C的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：的结果为_____________．
12. 小明与弟弟玩用棋子探图案的游戏，小明摆出的图案具有一定的规律，第1个图案用5枚棋子．第2个图案用9枚棋子，第3个图案用13枚棋子，第4个图案用17枚棋子…，依此规律，第个图案用_____________枚棋子（用含的代数式表示）．

13. 要想富，先修路．为了让贫困地区的人们尽早摆脱贫困．我国截至2023年底共建成了约4万公里的高铁营业里程．高铁平均每公里的造价约1.3亿元，那么截至2023年底我国在高佚营业里程建造的投入约为____________元（用科学记数法表示）．
14. 在物理学中，用电功率表示电流做功的快慢．已知串联电路中，电阻消耗的电功率与电阻的比值成正比；并联电路中，电阻消耗的电功率与电阻的比值成反比．如图1；把阻值不等的两个电阻和串联在符合条件的电路中，与的电功率的比是3：5．当把它们并联在符合条件的电路中．的电功率是60W．则的电功率是____________W．

15. 如图，在正方形中，，点在对角线上运动，连接，点在上运动，且，连接，则的最小值为______________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解不等式组：并把解集表示在数轴上
17. 如图，已知直线上有一点A，直线外有一点P．

（1）根据下列步骤．利用尺规完成作图，并解决相关的问题：
①连接，作的垂直平分线，交直线于点B，交于点；
②在直线上截取线段，使（点Q与点B不重合）；
③作直线．
（2）判断并说明直线与直线的位置关系；
（3）若，直接写出线段的长．
18. 某电器商场经过市场调查发现某品牌甲、乙两种节能冰箱深受消费者喜欢，电器商场决定购进这两种节能冰箱销售．已知甲种节能冰箱的进价比乙种节能冰箱的进价贵2400元，分别用3.6万元购进这两种节能冰箱时，甲种节能冰箱的数量是乙种节能冰箱数量的．
（1）求甲、乙两种节能冰箱的进价分别是多少；
（2）该电器商场准备用20万元购进甲、乙两种节能冰箱共40台，求最多购进甲种节能冰箱多少台．
19. 为响应党的二十大报告中提出的要“深化全民阅读活动”的号召，贯彻教育部《关于完善中华优秀传统文化教育指导纲要》等政策精神，某校开展了“书香浸润心灵阅读点亮人生”读书系列活动．某校语文组开展了阅读我国“四大古典名著”的活动，“四大古典名著”是指《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》．语文组为了了解学生对“四大古典名著”的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图（如图）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是____________部，中位数是____________部；
（2）请将以上条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角的度数为_____________；
20. 阅读与思考
下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的以下任务：
任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是____________；
A．公理化思想 B．统计思想 C．函数思想 D．分类思想
任务二：请帮助小明解决相关的3个问题．
21. 在清明节来临之际，王亮的父亲带王亮自驾车回老家祭拜先祖．用如图所示的方式表示他们回老家的两条路线．设王亮家在A处，老家在D处．第一条是从家出发先向东行驶到达B处，再沿B处的北偏东方向行驶到达老家D处；第二条是从家向正北方向行驶到达C处，再沿C处的北偏东方向到达老家D处．已知车速相同，请说明选择哪条路能更快回到老家．（参考数据：，，）
22. 综合与实践
问题情境
如图1，在中，，，点D在上运动，于点E，探究图形中存在数量关系．
操作探究
（1）如图2，当时，则线段与的数量关系是_____________；图1中，线段与的数量关系是_____________（用含n的代数式表示）；
拓展探究
（2）把绕点A顺时针旋转得到图3，连接和，猜想和的数量关系，并说明理由；
（3）把绕点A顺时针旋转，当点C，E和D在同一条直线上，，，时，直接写出线段的长，
23 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线．
（1）求点B的坐标及直线的表达式；
（2）当点D在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点E，若，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点F．使得?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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5.5
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小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于80%．销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：