北京市顺义区第九中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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2024.3
第一部分（选择题共40分）
一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分.选出符合题目要求的一项）
1. 若集合或，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
2. 设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
5. 向量在正方形网格中位置如图所示.若向量与共线，则实数（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
6. 已知，，且，，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注.故宫不仅是世界上现存规模最大､保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”.图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑（wŭ）殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面是矩形，，四边形是两个全等的等腰梯形，是两个全等的等腰三角形.若，则该几何体的体积为（ ）
A. 720B. C. D. 1080
9. 已知双曲线的右顶点为M，以M为圆心，双曲线C的半焦距为半径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于A，B两点．若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
10. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Kch）曲线是几何中最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由个与它的上一级图形相似，且相似比为的部分组成，则称为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（ ）

A. B. C. 1D.
第二部分（非选择题，共110分）
二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 函数的定义域是__________.
12. 设为抛物线的焦点，直线，点为上任意一点，过点作于，则__________.
13. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则__________.
14. 已知函数，其中，若函数恒成立，则常数的一个取值为___________.
15. 在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离之积等于，称点的轨迹为双纽线.双纽线是瑞士数学家伯努利于1694年发现的.所以点的轨迹也叫做伯努利双纽线.给出下列结论：
①；
②点的轨迹的方程为；
③双纽线关于坐标轴及直线对称；
④满足的点有三个.
其中所有正确结论的序号是___________.
三､解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 在中，.
（1）求的值；
（2）从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的值.
条件①：；
条件②：；
条件③：，
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；
（3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）
18. 在三棱柱中，平面平面为正三角形，分别为和的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
19. 已知分别是椭圆左､右焦点，分别为椭圆的左右顶点，且
（1）求椭圆的方程；
（2）若为直线上一动点（点不在轴上），连接交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点，试问是否存在，便得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数存在最小值，直接写出a的取值范围．
21. 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
（1）当，时，写出所有可能值；
（2）若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
（3）若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.立定跳远单项等级
高三男生
高三女生
优秀
及以上
及以上
良好
~
~
及格
~
~
不及格
及以下
及以下
男生
女生