黑龙江省哈尔滨市南岗区第四十七中学2023-2024学年七年级下学期月考数学(五四制)试题（原卷版+解析版）

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1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键．根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，3的算术平方根是，
∴的算术平方根是．
故选：C．
2. 下列方程中，是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此即可判断．
【详解】A、最高次数是2，不是一元一次方程，选项错误；
B、是一元一次方程，选项正确；
C、含有2个未知数，不是一元一次方程，选项错误；
D、含有2个未知数，且最高次数是2，不是一元一次方程，选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
3. 如图，将图移动到ABCD四个位置，其中是平移的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是区分平移与旋转的不同之处．根据平移的性质逐项进行判断即可．
【详解】A、由原图顺时针旋转而成，不是平移，此选项错误；
B、由原图平移而成，此选项正确；
C、由原图旋转而成，不是平移，此选项错误；
D、由原图逆时针旋转而成，不是平移，此选项错误；
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义即可求解，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：、没有意义，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
故选：．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质，绝对值，乘方等知识．熟练掌握等式的性质，绝对值，乘方是解题的关键．
根据等式的性质，绝对值，乘方对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：当时，，但不一定相等，A错误，故不符合要求；
若，则，B正确，故符合要求；
若，则，C错误，故不符合要求；
若，则，D错误，故不符合要求；
故选：B．
6. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、，能判断，但不可判断，故此选项不符合题意；
B、可判断，故此选项符合题意；
C、能判断，但不可判断，故此选项不符合题意；
D、能判断，但不可判断，故此选项不符合题意；
故选：B．
7. 如果点不在第三象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 大于或等于0D. 小于或等于0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据点不在第三象限得出关于y的不等式，然后求解即可．
【详解】解：∵点不在第三象限，
∴点可能在第二象限或x轴上，
∴，
故选：C．
8. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数﹣1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是( )

A. -B. 1-C. ﹣1﹣D. -1+
【答案】C
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴正方形对角线的长=，
∴-1-A=，故点A表示-1-．
故选C．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
9. 河北省某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有名，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先设每天加工大齿轮的有x人，则每天加工小齿轮的有（34-x）人，再利用3个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套得出等式即可得解.
【详解】设加工大齿轮的工人有名，则每天加工小齿轮的有（34-x）人，根据题意，得
故选：B.
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用3个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套进而得出等式是解题关键.
10. 下列命题：①两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直；②有理数是有限小数，无理数是无限小数；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④实数与数轴上的点一一对应；⑤如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等．其中真命题的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题，垂直的定义，无实数、平行公理、平行线的性质等知识，根据垂直定义可判断①；根据有理数和无理数的定义可判断②；根据平行公理可判断③；根据实数与数轴的关系可判断④；根据平行线的性质可判断⑤．
【详解】解：①两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直；正确，是真命题；
②有理数不一定是有限小数，无理数是无限不循环小数，故原命题错误，是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题错误，是假命题；
④实数与数轴上的点一一对应正确，是真命题；
⑤如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，故原命题错误，是假命题；
∴真命题有①似，共2个，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 在实数中，无理数个数是________个．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了无理数，解决本题的关键是掌握求解一个数立方根以及无理数的定义．根据无理数的定义（无限不循环小数）分类即可．
【详解】解：在实数中，无理数有，，，共3个，
故答案为：3．
12. 如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．
【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
【解析】
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【详解】解：∵连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开渠，能使所开的渠道最短，
故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
【点睛】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
13. 比较大小（填上、或）：______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，求出，比较它们的大小，即可比较出的大小，进而比较出的大小，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 若，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】被开方数200是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位．
【详解】解：因为，所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左(或右)移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．
15. 若关于x方程的解是，则a的值等于____________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意，将代入，解出即可得出答案．
【详解】解：∵是方程解，
∴把代入，可得：，
解得：．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，解本题的关键在理解一元一次方程的解．
16. 如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】设正方形边长为，根据题意列一元一次方程并求解，即可得到正方形的边长，再通过计算从而完成求解．
【详解】设正方形边长为
根据题意得：
∴
∴每一个长条面积为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，即可完成求解．
17. 在同一平面内，和的两边分别互相平行，且比的3倍少，则________．
【答案】10或50
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质等知识．根据题意画出图形，依据平行线的性质得到或，据此列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设，则．
如图1，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴；
如图2，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
故答案为：10或50
18. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键． 根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
第4次运动到点，
第5次接着运动到点，
…，
∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∵，
则经过第47次运动后，动点P的横坐标为47，纵坐标为2，即经过第47次运动后，动点P的坐标是∶，
故答案为∶ ．
三、解答题（共计56分）
19. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）1 （2）-4.8
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值的化简等知识．
（1）先根据绝对值的知识进行化简，再进行实数的加减运算即可求解；
（2）先根据立方根、算术平方根等知识进行化简，再进行加减运算即可求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：．
20. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程、平方根的定义等知识，解题的关键是：
（1）移项后，利用平方根的定义求解即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1即可．
【小问1详解】
解：
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：原方程变形为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
21. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，已知三角形及三角形外一点，平移三角形使点移动到点，得到三角形，的对应点为E，对应点．
（1）画出三角形；
（2）直接写出三角形的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【小问1详解】
解：平移后的三角形如图所示：
；
【小问2详解】
解：如图，三角形的面积为．
22. 完成下列填空．如右图，已知于点，于点，．
求证：．
证明：，，（已知）
，，（________）
，
，（同位角相等，两直线平行）
________ ，（________）
又，（已知）
________ ，（________）
．（________________）
【答案】垂直的定义；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，由垂直的定义得，进而得到，由平行线的性质得到，等量代换得到，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】，，
，，（垂直的定义）
，
，
，（两直线平行，同位角相等）
又，
，（等量代换）
．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂直的定义；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
23. 已知的平方根是，的立方根是4，是的整数部分，求的算术平方根．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根，以及估算无理数的大小，直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案，正确得出a，b，c的值是解题关键．
【详解】解：的平方根是，
，
，
的立方根是，
，
，
，
是的整数部分，
又，
，
．
24. 某商场从厂家购进甲、乙两种文具，甲种文具的每件进价比乙种文具的每件进价少20元．若购进甲种文具7件，乙种文具2件，则需要760元．
（1）求甲、乙两种文具的每件进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进甲、乙两种文具共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，每件甲种文具的售价为100元，要使得这50件文具销售利润率为，每件乙种文具的售价为多少元？
【答案】（1）甲、乙两种文具的每件进价分别为80元和100元；
（2）乙种文具每件售价为136元．
【解析】
【分析】（1）设甲种文具每件进价为x元，则乙种文具每件进价为元，根据购进两种文具共需要760元列方程求出x的值，据此即可解答；
（2）设商场从厂家购进甲种文具y件，则购进乙种文具件，先列方程计算出购进每种文具的件数，再设每件乙种文具的售价为m元，根据这50件文具销售利润率为列方程，求出m的值即可．
【小问1详解】
解：设甲种文具的每件进价为x元，则乙种文具的每件进价为元，
根据题意得：，
解得：，
所以，
答：甲、乙两种文具的每件进价分别为80元和100元；
【小问2详解】
解：设购进甲种文具y件，则购进乙种文具件，
根据题意得：，
解得，
所以，
所以购进30件甲种文具，20件乙种文具，
设乙种文具的每件售价为m元，
解得，
答：乙种文具每件售价为136元．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确的用代数式表示每种文具购进时的总钱数及每种文具全部销售后的总利润是解题的关键．
25. 已知，点分别在上，点为平面内一点，连接．当点在上方时，且．
（1）如图，求证：；
（2）如图，过点作直线交直线于，且与互补，的平分线与直线交于点，请你判断与的位置关系，并说明理由；
（3）在（）的条件下，连接，交于点，连接，，，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2），理由见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，等量代换即可求证；
（）．设，交于点，由补角性质可得，进而证明，即可求证；
（）设，，由已知条件求出，，根据可求出，得到，，利用内角和定理即可求出的度数．
【小问1详解】
证明：设与相交于点，
，
∴，
为的外角，
，
，
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
设，交于点，
与互补，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线平分，
，
∵，
；
【小问3详解】
解：如图，
平分，
∴设，，
，
，
在中，，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
在中，
∴，
解得，
，
，
在中，
，
∴的度数为．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理和外角性质，补角性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知，，且．

（1）求点A的坐标；
（2）如图，过点A作轴于点，连接，延长交轴于点，设交轴于点，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，点以每秒2个单位长度的速度从原点O出发沿轴正方向运动，点从D点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴负方向运动．设运动时间为秒，请问是否存在某一时刻，使三角形的面积等于三角形的面积的一半，若存在，请求出的值及点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在和使三角形的面积等于三角形的面积的一半
【解析】
【分析】本题主在要考查了非负数与等腰直角三角形综合．熟练掌握非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积公式，分类讨论，是解题的关键．
（1）直接利用绝对值与算术平方根的非负性计算得出m，n的值，进而得出答案；
（2）过作轴于N，于M，根据，，得到 ，得到，得到，根据， ，得到，根据，得到；
（3）推出，过作轴于R，得到，当在点下方时，，得到，根据得到，解得，得到，当在点上方时， ，得到，得到，解得，，得到．
【小问1详解】
∵，
∴，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
过作轴于N，于M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴；
【小问3详解】
存在．理由：
，
过作轴于R，则，
（1）当在点下方时，

，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴；
（2）当在点上方时，

，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴．
综上，存在，和，，使三角形的面积等于三角形的面积的一半．