内蒙古赤峰市2024届高三下学期3.20模拟考试文科数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共23题，共150分，共8页，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内．
2．选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 若向量与满足.且，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 命题“，，”的否定形式是（ ）
A. ，，B. ，，
C ，，D. ，，
5. 已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ）
A. 4B. 16C. D.
6. 在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 顶角为等腰三角形
C. 顶角为的等腰三角形D. 等腰直角三角形
10. 已知数列满足，若，的所有可能取值构成集合，则中的元素的个数是（ ）
A. 7个B. 6个C. 5个D. 4个
11. 执行如图所示的框图，若输入的值为，，，则输出的值为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知F是双曲线的左焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为M，且直线l与双曲线C的右支交于点N，若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高二年级的学生中抽取人，则应从高三年级抽取______名学生．
14. 已知圆，直线被圆C截得的弦长为______.
15. 的部分图象如图所示，则函数的解析式为______

16. 已知，．下列结论中可能成立的有______．
①；
②；
③是奇函数；
④对，．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求证：．
18. 2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市消费者协会开展消费环境建设基层行活动，实地调研了甲、乙两家商场，对顾客在两家商场消费体验满意度进行现场调研，从在甲、乙两家消费的顾客中各随机抽取了100人，每人分别对各自的商场进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分为6组：、、、、、，得到甲商场分数的频率分布直方图和乙商场分数的频数分布表：
（1）在抽样的100人中，求对甲商场评分低于30分的人数；
（2）从对乙商场评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分都在范围内的概率．
（3）如果从甲、乙两家商场中选择一家消费，你会选择哪一家？请说明理由．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间上只有一个极值点，求a取值范围.
20. 已知正方体，棱长为2．
（1）求证：．
（2）若平面平面，且平面与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值．
（3）已知平面平面，设平面与正方体的棱、、交于点、、，当截面的面积最大时，求点到平面的距离．
21. 已知抛物线上一点的纵坐标为4，点到焦点的距离为5，过点做两条互相垂直的弦、．
（1）求抛物线的方程．
（2）求的最小值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
选修4-4：坐标与参数方程
22. 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数，）.
（1）求曲线的普通方程；
（2）已知，分别是曲线，上的动点，求的最小值.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求m的取值范围.
乙商场分数频数分数分布表
分数区间
频数
2
3
5
15
40
35