人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定一课一练

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18.1.2 平行四边形的判定
基础过关全练
知识点1 平行四边形的判定
1.已知四边形ABCD,有以下四组条件:①AD=BC,∠B=∠D;②AD∥
BC,AB=CD;③AB=CD,AD=BC;④AB∥CD,∠A=∠B,其中可以确定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.① B.② C.③ D.④
2.下列给出四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能够判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.1∶2∶3∶4 B.2∶3∶2∶3
C.2∶2∶3∶4 D.1∶2∶2∶1
3.(2022河北中考)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )

A B

C D
4.【教材变式·P50T8】已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),
B(1,1),C(x,1),若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x= .
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12 cm,BC=8 cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动, s后四边形ABQP是平行四边形.
6.【一题多解】如图,▱ABCD中,AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线,你认为四边形AFCE是平行四边形吗?如果是,请说明理由.
7.已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD,AC相交于点O,点E,F分别在BD,DB的延长线上,连接AE,AF,CF,CE.
(1)请添加一个条件,使得四边形AFCE为平行四边形;
(2)根据你所添加的条件,证明:四边形AFCE为平行四边形.
知识点2 三角形的中位线
8.如图,M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点,若∠A=65°,
∠ANM=45°,则∠B=( )
A.20° B.45° C.65° D.70°
9.如图,▱ABCD对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,则下列结论一定成立的是( )
A.DB=2EO B.BC=2EO
C.AB=2EO D.DC=2EO
10.(2022湖南长沙长郡中学期末)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC的中点,若△ABC的周长是14,则△DBE的周长是 .
11.如图,已知在▱ABCD中,E为AB的中点,连接BD.
(1)请用无刻度直尺作△ABD中与AD平行的中位线EF(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,若EF=5,求BC的长.
12.【教材变式·P48探究】【课本再现】
已知:如图1,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,直接写出DE和BC的关系;
【知识应用】
如图2,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=5,CD=3,EF=2,∠AFE=45°,求∠ADC的度数.

能力提升全练
13.(2023河北保定高碑店中考三模,8,★★☆)如图,在每个四边形上所做的标记中,线段上的划记数量相同的表示线段相等,角的标记弧线数量相同的表示角相等,则下列一定为平行四边形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.(2023山东济宁期中,7,★★☆)如图,在平面直角坐标系中有O,A,B三点,现需要在平面内找一点C,使以点O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则点C的坐标不可能为( )
A.(-1,3) B.(1,3) C.(3,-1) D.(-3,1)
15.(2022广东佛山期末,9,★★☆)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE的延长线上,连接CF,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是( )
A.∠B=∠F B.∠B=∠BCF
C.AC=CF D.AD=CF
16.(2023浙江金华中考,12,★☆☆)如图,把两根钢条OA,OB的一个端点连在一起,点C,D分别是OA,OB的中点,若CD=4 cm,则该工件内槽AB的长为 cm.
17.(2020辽宁沈阳中考,15,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,点M为边AD上一点,AM=2MD,点E,F分别是BM,CM的中点,若EF=6,则AM的长为 .
18.(2023四川广安中考,19,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
19.(2023河南三门峡期中,21,★★☆)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,AB的中点,连接DE,点F是CB延长线上的一点,且CF=3BF,连接DB,EF.若∠ACB=90°,AC=12 cm,DE=4 cm.
(1)求证:DE=BF;
(2)求四边形DEFB的周长.
20.【教材变式·P46例3】(2023江苏苏州期末,22,★★☆)如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在线段OA,OC上,且OB=OD,∠1=∠2,AE=CF.
(1)证明:△BEO≌△DFO;
(2)证明:四边形ABCD是平行四边形.
21.(2023浙江杭州期末,20,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AO=CO.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若CD=3,BD=213,AC⊥AB,求四边形ABCD的面积.
素养探究全练
22.【几何直观】如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=6 cm,BE是∠ABC的平分线,点M从点E出发,沿ED方向以1 cm/s的速度向点D运动,点N从点C出发,沿射线CB方向以4 cm/s的速度运动,当点M运动到点D时,点N随之停止运动,设运动时间为t s.
(1)求AE的长.
(2)是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
23.【推理能力】如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=5 cm,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在▱ABCD的外面),连接AE,CE,CF,AF.
(1)若DE=12OD,BF=12OB.
①求证:四边形AFCE为平行四边形;
②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°,求四边形AFCE的周长.
(2)若DE=13OD,BF=13OB,四边形AFCE还是平行四边形吗?请写出结论并说明理由.若DE=1nOD,BF=1nOB呢?请直接写出结论.
答案全解全析
基础过关全练
1.C 根据平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可知③AB=CD,AD=BC满足题意,故选C.
2.B 对于A,∵∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为1∶2∶3∶4,∴四边形ABCD的四个角都不相等,∴四边形ABCD不是平行四边形,故选项A不符合题意;对于B,∵∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为2∶3∶2∶3,∴四边形ABCD的两组对角分别相等,∴四边形ABCD是平行四边形,故选项B符合题意;对于C,∵∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为2∶2∶3∶4,∴四边形ABCD的两组对角不是分别相等的,∴四边形ABCD不是平行四边形,故选项C不符合题意;对于D,∵∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为1∶2∶2∶1,∴四边形ABCD的两组对角不是分别相等的,∴四边形ABCD不是平行四边形,故选项D不符合题意.故选B.
3.D 选项A,80°+110°≠180°,故A选项不符合题意;
选项B,只有一组对边平行不能判定是平行四边形,故B选项不符合题意;
选项C,只有一组对边相等不能判定是平行四边形,故C选项不符合题意;
选项D,有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故D选项符合题意.故选D.
4.答案 4或-2
解析 根据题意画图如下:
∵以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,∴点C的坐标为(4,1)或(-2,1),∴x=4或-2.
5.答案 83
解析 设x s后四边形ABQP是平行四边形,∵P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动,∴AP=x cm,CQ=2x cm,∵BC=8 cm,∴QB=(8-2x)cm,∵AD∥BC,∴当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,∴x=8-2x,解得x=83.
6.解析 解法一:是.理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠BAD=∠BCD,∠B=∠D,AB=CD,AD=BC,∵AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线,∴∠BAE=∠FCD,在△ABE与△CDF中,∠BAE=∠DCF,AB=CD,∠B=∠D,∴△ABE≌△CDF(ASA),∴BE=DF,∵AD=BC,
∴AF=CE,∵AF∥CE,∴四边形AFCE是平行四边形.
解法二:是.理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
∵AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线,∴∠FAE=∠ECF,
∵AF∥CE,∴∠AFC+∠ECF=180°,∠FAE+∠AEC=180°,
∴∠AFC=∠AEC,∴四边形AFCE是平行四边形.
解法三:是.理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠BAD=∠BCD,∴∠DAE=∠AEB,
∵AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线,
∴∠BCF=∠DAE,∴∠AEB=∠BCF,∴AE∥FC,
∵AF∥CE,∴四边形AFCE是平行四边形.
7.解析 答案不唯一,例如:
(1)DE=BF.
(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴OD=OB,OA=OC,
∵DE=BF,∴OD+DE=OB+BF,∴OE=OF,
∵OA=OC,∴四边形AFCE为平行四边形.
8.D ∵M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点,
∴MN∥BC,∴∠C=∠ANM=45°,
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°,故选D.
9.B ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,
∵E是AB的中点,∴OE是△ABC的中位线,
∴OE=12BC,即BC=2OE.故选B.
10.答案 7
解析 ∵△ABC的周长是14,∴AB+AC+BC=14,
∵D,E分别是边AB,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,BD=12AB,BE=12BC,
∴DE=12AC,∴△DBE的周长=BD+BE+DE=12×(AB+BC+AC)=7.
11.解析 (1)如图,连接AC,交BD于F,连接EF,则线段EF就是所求作的线段.
(2)∵EF是△ABD的中位线,∴EF=12AD,∵EF=5,∴AD=10,
∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC=AD=10.
12.解析 【课本再现】DE∥BC,DE=12BC.
详解:∵点D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=12BC.
【知识应用】连接BD,如图所示,
∵E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EF∥BD,BD=2EF=4,∴∠ADB=∠AFE=45°,
∵BC=5,CD=3,∴BD2+CD2=BC2,∴∠BDC=90°,
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°.
能力提升全练
13.C 如图1,∵AD=CB,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形;
如图2,∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形;
如图3,∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形;
如图4,∵∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD,∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD,
∴四边形ABCD不一定是平行四边形.故选C.


14.A 由题图可知A(-1,2),B(2,1),
∵以点O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,
∴点C的坐标可能是(-3,1),(3,-1),(1,3),故选A.
15.B ∵D,E分别是AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,由∠B=∠BCF得CF∥AD,∴四边形ADFC为平行四边形,故选B.
16.答案 8
解析 ∵点C,D分别是OA,OB的中点,
∴CD是△AOB的中位线,∴AB=2CD=8 cm.
17.答案 8
解析 ∵点E,F分别是BM,CM的中点,
∴EF是△BCM的中位线,∴BC=2EF=12.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=12,
∵AM=2MD,AD=AM+MD=12,∴AM=8.
18.证明 ∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF.
在△ABE与△CDF中,∠BAE=∠DCF,AE=CF,∠AEB=∠CFD,
∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AB=CD.
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
19.解析 (1)证明:∵点D,E分别是AC,AB的中点,
∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=12BC,
∵CF=3BF,∴BF=12BC,∴DE=BF.
(2)∵点D是AC的中点,AC=12 cm,∴CD=6 cm,
∵DE=4 cm,∴BC=2DE=8 cm,
由勾股定理得DB=CD2+BC2=62+82=10(cm),
∵DE=BF,DE∥BC,
∴四边形DEFB为平行四边形,
∴四边形DEFB的周长=2×(4+10)=28(cm).
20.证明 (1)∵∠EOB与∠FOD是对顶角,
∴∠EOB=∠FOD,
在△BEO和△DFO中,∠1=∠2,OB=OD,∠EOB=∠FOD,
∴△BEO≌△DFO(ASA).
(2)由(1)可知△BEO≌△DFO,∴OE=OF,
∵AE=CF,∴AE+OE=CF+OF,即OA=OC,
∵OB=OD,∴四边形ABCD为平行四边形.
21.解析 (1)证明:∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,
在△AOB和△COD中,∠BAO=∠DCO,AO=CO,∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD(ASA),∴AB=CD,
∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)由(1)可知四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=3,OB=12BD=13,AC=2OA,
∵AC⊥AB,∴∠BAO=90°,
∴AO=OB2-AB2=(13)2-32=2,
∴AC=2AO=4,∴S四边形ABCD=AB·AC=3×4=12.
素养探究全练
22.解析 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,
∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB,
∵AD=2AB=6 cm,∴AB=3 cm,∴AE=3 cm.
(2)存在.由(1)知AE=3 cm,∵AD=6 cm,∴DE=AD-AE=3 cm,由题意知EM=t cm,CN=4t cm(0≤t≤3),∵AD∥BC,∴要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形,只要满足EM=BN即可,当点N在边BC上时,BN=BC-CN=(6-4t)cm,∴t=6-4t,∴t=65.当点N在边CB的延长线上时,BN=CN-BC=(4t-6)cm,∴t=4t-6,∴t=2.
综上,t=65或t=2时,以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形.
23.解析 (1)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵DE=12OD,BF=12OB,∴DE=BF,∴OD+DE=OB+BF,
∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形.
②∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.∵CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA,∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD.
∵OA=OC,∴OE⊥AC,∴OE所在直线是AC的垂直平分线,∴AE=CE.
∵∠AEC=60°,∴△ACE是等边三角形,∴AE=CE=AC=2OA=10 cm,
∴C四边形AECF=2(AE+CE)=2×(10+10)=40(cm).
(2)若DE=13OD,BF=13OB,则四边形AFCE是平行四边形.
理由:∵DE=13OD,BF=13OB,OD=OB,∴DE=BF,∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE,∵OA=OC,∴四边形AFCE为平行四边形.
若DE=1nOD,BF=1nOB,则四边形AFCE是平行四边形.
理由:∵DE=1nOD,BF=1nOB,OD=OB,
∴DE=BF,∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE,
∵OA=OC,∴四边形AFCE为平行四边形.