题型04 多边形证明 类型一 三角形全等与相似（专题训练）-最新中考数学二轮复习讲义+专题（全国通用）

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1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
题型四 多边形证明
类型一 三角形全等与相似（专题训练）
1.如图，，，点在上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】
由题意易得，进而可证，然后问题可求证．
【详解】
证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2.如图，点A、B、D、E在同一条直线上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
根据，可以得到，然后根据题目中的条件，利用ASA证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】
证明：点A，B，C，D，E在一条直线上
∵
∴
在与中
∴
【点睛】
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
3.如图，已知，，与相交于点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．
【详解】
∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．
4.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE
【答案】证明见详解．
【分析】
根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.
【详解】
证明：在△ABE和△ACD中，
∵,
△ABE≌△ACD (ASA)，
∴AE=AD，
∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
5.如图，在四边形中，与相交于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】
直接利用SSS证明△ACD≌△BDC，即可证明．
【详解】
解：在△ACD和△BDC中，
，
∴△ACD≌△BDC（SSS），
∴∠DAC=∠CBD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS的方法．
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．
【分析】由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由线段的和差关系可得结论．
【解答】证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
7.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．
【分析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
8.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACD．
∴AD＝AE．
∴BD＝CE．
9.如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，∠B=∠EBC=EF∠ACB=∠DFE，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
10.如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADC，可得BC＝DC．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝CD．
11.如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
【分析】
（1）先由平行线的性质得∠B＝∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB＝∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【解答】
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵AB=CD∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
12.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
【分析】
（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．
【解答】
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．
13.已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求证：BC=DF．
【解析】∵AD=BE，
∴AD-BD=BE-BD，
∴AB=ED，
∵AC∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EDF中，，
∴△ABC≌△EDF（AAS），
∴BC=DF．
14.如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）求证：BE=DE．
【解析】
（1）在△ABC与△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
即AC平分∠BAD．
（2）由（1）∠BAE=∠DAE，
在△BAE与△DAE中，得，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE=DE．
15.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长．
【解析】
（1）∵，
∴，
∵是边上的中线，∴，
∴△BDE≌△CDF．
（2）∵△BDE≌△CDF，
∴，
∴．
∵，
∴．
16.如图，是的角平分线，在上取点，使．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【分析】
（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证；
（2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解．
【详解】
解：（1）平分，
．
，
，
，
．
（2），，
．
．
．
平分，
，
即．
【点睛】
本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．
17.如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．
（1）若，求，的度数．
（2）写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；；（2），见解析
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．
（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．
【详解】
（1），，
．
在中，，
，
，
，
．
．
（2），的关系：．
理由如下：设，．
在中，，
，
．
，
在中，，
．
．
．
．
【点睛】
本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
18.如图，已知，，与相交于点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．
【详解】
∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．