【2024中考数学一轮复习】05不等式与不等式组基础巩固

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一、选择题
1．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．小霞原有存款52元，小明原有存款70元从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n>70+12nB．52+15n<70+12n
C．52+12n>70+15nD．52+12n<70+15n
4．若不等式组x+a≥0，1−2x>x−2有解，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1B．a≥－1C．a≤1D．a＜1
5．不等式组1−x⩾012x+2>1的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
6．不等式组的整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．不等式组x−2a≤2x3−b>23的解集图所示，则代数式的值为（ ）
A．B．0C．4D．6
8．不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．关于的不等式组x−m<03x−1>2(x−1)无解，那么的取值范围是 （ ）
A．≤－1B．＜1C．－1＜≤0D．－1≤＜0
二、填空题
10．不等式的解集是 ．
11．不等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整数解的和为 ．
12． 不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是 ．
13．不等式组的解集是 ．
14．若关于的一元一次不等式组2x+3>12x−2a≤0恰有个整数解，则实数的取值范围是 ．
15．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解.则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程.若方程是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 .
三、解答题
16．(1)解不等式2(x-1)<3(x+1)-2，并把解集在数轴上表示出来．
（1）解不等式，并写出其非负整数解．
17．某电器超市销售每台进价分别为140元、100元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)
（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价．
（2）若该超市准备用不超过6500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台?
（3）在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过2850元的目标？若能请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
18． 2023年杭州成功举办亚运会．吉祥物的周边产品深受群众欢迎．宸宸打算去官方旗舰店购买钥匙扣做纪念，钥匙扣一个36元，快递费6元，满268元包邮．
（1）设购买钥匙扣x个时，满足包邮条件．根据题意，列出不等式： .
（2）买7个钥匙扣，能满足包邮吗？买8个呢？请说明理由．
19．解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第 ▲ 步出现了错误，错误原因是 ▲ ，不等式①的正确解集是 ▲ ；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
20．解下列不等式组−x+3<2xx+15−x−22≥0，并把它的解集表示在数轴上.
21．已知实数m是一个不等于2的常数，解不等式组 −2x+1≥−32x−3m3+x3>0 ，并根据m的取值情况写出其解集．
22．计算
（1）先化简，再求值： ，其中a=1， .
（2）解不等式组
23．先化简，再求值：
（ ﹣1）÷ ，其中x的值从不等式组 的整数解中选取．
24．解不等式组 ，并写出该不等式组的最大整数解．
25．已知关于x、y的方程组 x+y=3a+9x−y=5a−1 的解是一对正数，求a的取值范围．
26．某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价元，领带每条的定价为元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案：
方案一：购买一套服装赠送一条领带；
方案二：服装和领带均按定价的九折出售．
某商店老板现要到服装厂采购服装套，领带条，请根据的不同情况，帮助商店老板选择最省钱的方案．
27． 为改善校园环境，提升办学品质，重庆市鲁能巴蜀中学计划拆除网球场，新建综合大楼．已知2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170吨，3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣180吨．
（1）求甲、乙两种型号的除渣车每辆每天分别可以除渣多少吨？
（2）施工期间，学校决定租甲、乙两种型号的除渣车共20辆，已知每辆甲型除渣车租赁价格为15万元，每辆乙型除渣车租赁价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650吨，请你求出所有的租赁方案．
28．某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元．
（1）A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？
（2）为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，厨具店一共有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵m＞n，∴-2m＜-2n，故此选项不成立，不符合题意；
B、∵m＞n，∴m-5＞n-5，故此选项不成立，不符合题意；
C、∵m＞n，∴m-n＞0，故此选项不成立，不符合题意；
D、∵m＞n，∴，故此选项成立，符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一 一判断得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得, 整理得3x+6≤9,解得x≤1.
故答案为：C.
【分析】先求出不等式 中x的取值范围,然后在四个选项中选出正确答案即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：设经过n个月后小霞的存款数超过小明，根据题意得，则n个月后，小霞的存款为52+15n，小明的存款为70+12n，可列不等式如下，
52+15n＞70+12n.
故答案为：A
【分析】利用不等关系：经过n个月后小霞的存教超过小明，可得到关于n的不等式.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：x+a≥0，解得x≥-a；
1-2x＞x-2，移项得3x＜3，x＜1；
∵不等式组的解为-a≤x＜1
∴-a＜1，解得x＞-1；
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质，分别移项，合并同类项，求出不等式的解；根据不等式有解，判断解集中a的值即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】
由1-x≥0得，x≤1，
由得，x>-2
∴不等式组的解是-2故答案为：C
【分析】先分别解不等式，再求出不等式组的解集，根据解集找出符合的解集图。注意数轴上实心点和空心点 区别。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：解不等式组得：，
则不等式组的解集为，
故整数解为0，1，2，
即不等式组的整数解有3个，
故答案为：C。
【分析】解不等式组，得到解集，再根据题意求出整数解即可求出答案。
7．【答案】A
【解析】【解答】 解：∵不等式组为： x−2a≤2①x3−b＞23②
∴解得 且 ，
由于该不等式组的解集如图所示，
可知该不等式组的解集为，
因此2+2a=22+3b=−1
解得a＝0b=−1，
∴．
故选：A.
【分析】 首先将a、b当作常数，求出x的取值范围，再根据图求出该不等式组的解集，即可得到关于a、b的关系式，求出a、b的值，即可求出的值．
8．【答案】A
【解析】【解答】解： ，
解①得：m≥1，
解②得：m＜-1，
∴不等组无解，
在数轴数轴上表示为：；
故答案为：A.
【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：x−m<0①3x−1>2(x−1)②，
解不等式①得：x解不等式②得：x>-1，
由于原不等式组无解，所以m≤-1，
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
10．【答案】
【解析】【解答】解：不等式
移项，得，
化系数为1得：．
故答案为：．
【分析】解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1.
11．【答案】3
【解析】【解答】解：
解不等式得：x则正整数解为1、2，所有正整数解的和为1+2=3；
故答案为：3.
【分析】本题考查不等式求解，然后根据题目所给范围，找到满足的解，再求和即可。
12．【答案】a≤2
【解析】【解答】解：不等式组的解集为x＞2，
.
故答案为：.
【分析】根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解，确定不等式解集，进而得到m的取值范围.
13．【答案】
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：x＞3，
解不等式②，得：x＞6，
∴该不等式组的解集是：；
故答案为：​​​​​​​.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集.
14．【答案】
【解析】【解答】解：解一元一次不等式，可得x>92x≤2a，有3个整数解
区间内有3个整数5，6和7，可得2a⩾72a<8
解得.
故答案为：.
【分析】先解出一元一次不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，即可解得a的范围。
15．【答案】1≤n＜3
【解析】【解答】解：解方程得，
∵为不等式组的解，
∴，解得1≤n＜3，
即n的取值范围为：1≤n＜3，
故答案为：1≤n＜3.
【分析】先解一元一次方程，求出x的值，再根据不等式组的定义，将x的值代入不等式组中每一个不等式，可得关于字母n的不等式组，求解可得n的取值范围.
16．【答案】（1）解：.
.
.
，
.
.
该不等式的非负整数解为2，1，0.
【解析】【分析】（1）去括号;移项;合并同类项;系数化为1.再在数轴上表示解集即可；（2）去分母，去括号;移项;合并同类项;系数化为1再去正整数和0即可.
17．【答案】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，
依题意，得4x+3y=1250，5x+5y=1750，
解得x=200，y=150.
答：种型号的电风扇的销售单价为200元，种型号的电风扇的销售单价为150元.
（2）设采购种型号的电风扇台，则采购种型号的电风扇台，
依题意，得，
解得.
又为正整数，
的最大值为37.
答：种型号的电风扇最多能采购37台.
（3）依题意，得，
解得.
又，且为正整数，
可以为36，37.
在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇能实现利润超过2850元的目标，且共有2种采购方案.
方案1：购进种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台；
方案2：购进种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台.
【解析】【分析】（1）根据电风扇的销售额=电风扇的单价×数量，列二元一次方程组，解二元一次方程组即可；
（2）根据A型电风扇的单价×数量+B型电风扇的单价×数量≤6500，列不等式求解即可；根据生活经验，电扇的数量为整数，取最大值即可；
（3）根据销售总价-进价总价＞2850，列不等式求解即可；根据生活经验，电扇的数量为整数，可得A型电风扇购买数量有两种，分类讨论，取最大值即可.
18．【答案】（1）36x>268
（2）解：当x=7时，36x=36×7=252，不能包邮．
当x=8时，36x=36×8=288，能包邮．
【解析】【解答】解：（1） 设购买钥匙扣x个时，满足包邮条件．根据题意，列出不等式：36x>268.
【分析】(1) 根据满268元包邮可得，购买钥匙扣的费用要超过268，可列出不等式即可解答．
(2)求出买7个钥匙扣的钱是252＜268，所以不包邮；求出8个钥匙扣的钱是288＞268，所以能包邮.
19．【答案】解：任务一：∵，
∴；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；
任务二：，
，
，
；
又，
∴不等式组的解集为：．
【解析】【分析】 任务一：根据不等式的运算，逐步分析不等式的解答过程即可；
任务二：先移项，再合并同类项并把x的系数化为1．
20．【答案】解：−x+3<2xx+15−x−22≥0
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集
21．【答案】解：不等式组解得 x≤2x>m ， ∵m≠2 ∴①当m＜2时，m＜x≤2； ②当m＞2时，无解
【解析】【分析】先分别解不等式，再根据m的取值，写出解集．
22．【答案】（1）解：原式
当a=1， 时，原式
（2）解：由①得：
由②得：
∴不等式的解集是：
【解析】【分析】（1）由完全平方公式和合并同类项法则可化简，再将a、b的值代入化简后的代数式求解即可。即原式=+4ab+−4−3ab=ab+；将a=1，b=代入得，原式=+2；
（2）先解得每个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即可。即；解不等式①得： x < 2，解不等式②得： x ≥ − 1，所以不等式的解集是： − 1 ≤ x ≤ 2。
23．【答案】解：原式= •
=﹣ •
= ，
解不等式组 得，﹣1≤x＜ ，
当x=2时，原式= =﹣2
【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法，求出x的取值范围，选出合适的x的值代入求值即可．
24．【答案】解：解 ≤1得：x≤3，
解1﹣x＜2得：x＞﹣1，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3．
∴该不等式组的最大整数解为x=3
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
25．【答案】解： x+y=3a+9①x−y=5a−1②
①+②得：2x=8a+8，
x=4a+4，
①﹣②得：2y=﹣2a+10，
y=﹣a+5，
∵关于x、y的方程组 x+y=3a+9x−y=5a−1 的解是一对正数，
∴4a+4＞0且﹣a+5＞0，
解得：﹣1＜a＜5
【解析】【分析】把a当作已知数求出方程组的解，根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
26．【答案】解：按优惠方案①购买，应付款：元，
按优惠方案②购买，应付款：元，
设元，
当时，即且为整数时．选方案①比方案②更省钱，
当时，即时．选两个方案一样省钱，
当时，即且为整数时．选方案②比方案①更省钱，
如果同时选择方案①和方案②，那么为了获得厂方赠送领带的数量最多．同时享有折优惠，
可考虑设计别的方案③，就是：
先按①方案购买套西服并获赠条领带，然后余下的条领带按优惠方案②购买，
应付款：元方案③与方案②比较，显然方案③更省钱，
方案③与方案①比较，当时．解得，即当时．方案③比方案①更省钱．
综上所述，当时，按方案最省钱．
【解析】【分析】根据方案①购买，应付款设为A=；根据方案②购买，应付款设为B=；比较A和B得大小即可选出最省钱的方案；设y=A-B=5x-600，则y 的值根据x得变化而变化；
当时，解一元一次不等式，即且为整数时，选方案①比方案②更省钱；
当时，解一元一次方程，即时，选两个方案一样省钱；
当时，解一元一次不等式，即且为整数时，选方案②比方案①更省钱；
为帮助商店老板选择最省钱的方案 ，使商店老板购买时所需费用最少同时获得厂方赠送领带的数量最多；
当时，选择方案①比较省钱，同时可以购买一套服装赠送一条领带；
当x120时，选择方案②比较省钱；
所以可以选择新的方案为③，当时，选择方案①比较省钱，同时可以购买一套服装赠送一条领带；当x120时，选择方案②比较省钱；这样花费的费用最小，同时又能获得最多领带.
27．【答案】（1）解：设甲型号的除渣车每辆每天可以除渣x吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣y吨，
根据题意可得，
解得
∴甲型号的除渣车每辆每天可以除渣40吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣30吨．
（2）解：设租甲型号的除渣车m辆，则租乙型号的除渣车辆，
根据题意可得，
解得
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴有3种租赁方案：①租甲除渣车5辆，乙除渣车15辆；②租甲除渣车6辆，乙除渣车14辆；③租甲除渣车7辆，乙除渣车13辆．
【解析】【分析】（1） 设甲型号的除渣车每辆每天可以除渣x吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣y吨，根据2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170吨，3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣180吨，列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设租甲型号的除渣车m辆，则租乙型号的除渣车辆，根据每辆乙型除渣车租赁价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650吨，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组得到m的取值范围，结合题意，从而求解.
28．【答案】（1）解：设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为 （x-20）元，
根据题意，得10x+20（x-20）＝5600，
解得x＝200，
∴x-20＝180，
答：每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元．
（2）解：设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲（50-a） 台，
，
解得25≤a≤28，
∵a为整数，
∴a＝25、26、28，
方案1：A型号25台，B型号25台，
方案2：A型号26台，B型号24台，
方案6：A型号27台，B型号23台，
方案4：A型号28台，B型号22台；
（3）解：方法一：每台A型电饭煲利润：300-200＝100元，
每台B型电饭煲利润：260-180＝80元，
方案1利润：100×25+80×25＝4500元，
方案5利润：100×26+80×24＝4520元，
方案3利润：100×27+80×23＝4540元，
方案4利润：100×28+80×22＝4560元，
∴方案5：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，
方法二：每台A型电饭煲利润：300-200＝100元，
每台B型电饭煲利润：260-180＝80元＜100元，
∴A型电饭煲的数量越多，获利越多，
∴方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大．
【解析】【分析】（1）设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为 （x-20）元，根据“ 共花费5600元 ”列出方程并解之即可；
（2）设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲（50-a） 台，根据：总资金不超过9560元和A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，列出不等式组，求出其整数解即可；
（3）分别求出（2）中每种方案的利润，再比较即可.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
2、试卷题量分布分析
3、试卷难度结构分析
4、试卷知识点分析
销售时段
销售数量/台
销售收入/元
A种型号
B种型号
第一周
4
3
1250
第二周
5
5
1750
总分：126分
分值分布
客观题（占比）
20.0(15.9%)
主观题（占比）
106.0(84.1%)
题量分布
客观题（占比）
10(35.7%)
主观题（占比）
18(64.3%)
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
选择题
9(32.1%)
18.0(14.3%)
填空题
6(21.4%)
12.0(9.5%)
解答题
13(46.4%)
96.0(76.2%)
序号
难易度
占比
1
普通
(7.1%)
2
容易
(89.3%)
3
困难
(3.6%)
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
二元一次方程组的实际应用-销售问题
15.0(11.9%)
17
2
解一元一次不等式组
51.0(40.5%)
4,5,6,7,8,13,14,15,19,20,21,22,24,25
3
解一元一次不等式
11.0(8.7%)
10,11,12,16
4
分式的化简求值
5.0(4.0%)
23
5
一元一次不等式组的特殊解
14.0(11.1%)
6,9,23,24
6
不等式的性质
2.0(1.6%)
1
7
一元一次不等式组的应用
30.0(23.8%)
26,27,28
8
列一元一次不等式
2.0(1.6%)
3
9
利用合并同类项、移项解一元一次方程
2.0(1.6%)
15
10
在数轴上表示不等式组的解集
4.0(3.2%)
5,8
11
一元一次不等式的应用
21.0(16.7%)
17,18
12
数学思想
5.0(4.0%)
21
13
整式的混合运算
10.0(7.9%)
22
14
一元一次方程的实际应用-销售问题
20.0(15.9%)
26,28
15
列一元一次不等式组
2.0(1.6%)
9
16
在数轴上表示不等式的解集
2.0(1.6%)
2
17
二元一次方程组的解
5.0(4.0%)
25
18
一元一次不等式的特殊解
2.0(1.6%)
11
19
二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
10.0(7.9%)
27