专题26.1 反比例函数【十大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19616" 【题型1 反比例函数的定义】 PAGEREF _Tc19616 \h 1
\l "_Tc16768" 【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】 PAGEREF _Tc16768 \h 2
\l "_Tc8861" 【题型3 反比例函数的性质】 PAGEREF _Tc8861 \h 3
\l "_Tc29053" 【题型4 反比例函数的对称性】 PAGEREF _Tc29053 \h 3
\l "_Tc23014" 【题型5 反比例函数中k的几何意义（面积）】 PAGEREF _Tc23014 \h 5
\l "_Tc24187" 【题型6 反比例函数系数k的几何意义（规律题）】 PAGEREF _Tc24187 \h 6
\l "_Tc8315" 【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】 PAGEREF _Tc8315 \h 7
\l "_Tc4016" 【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】 PAGEREF _Tc4016 \h 8
\l "_Tc29987" 【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】 PAGEREF _Tc29987 \h 10
\l "_Tc29574" 【题型10 反比例函数与几何图形综合】 PAGEREF _Tc29574 \h 12
【知识点1 反比例函数的定义】
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数
【知识点2 反比例函数的解析式】
1、； 2、； 3、
【题型1 反比例函数的定义】
【例1】（2022•渭南模拟）已知函数是y=(n−2)xn2−n−3+3x是反比例函数，则n的值是 ．
【变式1-1】（2022春•高要市期中）反比例函数y=−25x中，比例系数k＝ ．
【变式1-2】（2022秋•新泰市校级月考）下列函数，①x（y+2）＝1②y=1x+1③y=1x2④y=−12x⑤y=−x2⑥y=13x；其中是y关于x的反比例函数的有： ．
【变式1-3】（2022春•高新区校级期末）若反比例函数y=(m+1)x3−m2的图象在第二、四象限，m的值为 ．
【知识点3 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】
【例2】（2022•巩义市模拟）如图为反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在同一坐标系的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A．k1＞k2＞k3B．k2＞k1＞k3C．k3＞k1＞k2D．k3＞k2＞k1
【变式2-1】（2022•洪山区模拟）若点A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）在反比例函数y=−k2+1x的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3
【变式2-2】（2022•温州校级开学）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y=−3x上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x2＞0，则y2y3＞0B．若x1x3＞0，则y2y3＜0
C．若x1x3＜0，则y2y3＞0D．若x1x2＜0，则y1y3＜0
【变式2-3】（2022春•福山区期末）在反比例函数y=k2+3x（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1
【题型3 反比例函数的性质】
【例3】（2022•大庆二模）正比例函数y＝﹣kx经过（1，﹣6），则对于反比例函数y=kx，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过第一、三象限
B．图象经过点（2，3）
C．当x＞1时，0＜y＜6
D．函数值y随x的增大而减小
【变式3-1】（2022•站前区校级一模）反比例函数y=a2+1x的图象在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
【变式3-2】（2022春•原阳县期中）已知反比例函数y=3−2mx，当x＜0时，y随x的增大而减小，则满足上述条件的正整数m有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【变式3-3】（2022•金华模拟）设函数y1=kx，y2=−kx（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则a＝ ．
【知识点4 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线和直线
【题型4 反比例函数的对称性】
【例4】（2022秋•房县期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y=kx与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y=−8xB．y=−12xC．y=−14xD．y=−16x
【变式4-1】（2022秋•连平县校级月考）对于反比例函数y=6x的图象的对称性叙述错误的是（ ）
A．关于原点中心对称B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称D．关于x轴对称
【变式4-2】（2022春•金坛市校级期中）正比例函数y＝kx与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3，则A、B两点的坐标分别为 ．
【变式4-3】（2022春•姑苏区校级期末）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．任意四边形
【知识点5 反比例函数比例系数k的几何意义】
如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴
的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积
【题型5 反比例函数中k的几何意义（面积）】
【例5】 （2022春•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y=6x(x＞0)，y=kx(x＜0)的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为9，CDAD=12．则k的值为（ ）
A．﹣9B．3C．﹣6D．﹣3
【变式5-1】（2022春•衢江区期末）如图，在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上有点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2．若S2＝3，则S1的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-2】（2022春•秦淮区期末）如图，点A是函数y=2x图象上的任意一点，点B、C在反比例函数y=kx的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k的值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【变式5-3】（2022•费县二模）在平面直角坐标系xOy中，过O点的直线AB分别交函数y=−1x(x＜0)，y=kx(k＜0，x＞0)的图象于点A，B，作AC⊥y轴于点C，作CD∥AB交y=kx(k＜0，x＞0)的图象于点D，连接OD．若△COD的面积为2，则k的值等于（ ）
A．﹣6B．﹣8C．﹣10D．﹣12
【题型6 反比例函数系数k的几何意义（规律题）】
【例6】（2022•湘潭县校级模拟）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2022的坐标为 ．
【变式6-1】（2022•路南区二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
（1）点P2的坐标为 ；
（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为 ．
【变式6-2】（2022•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 ．（用含有正整数n的式子表示）
【变式6-3】（2022秋•宁津县期末）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为 ．
【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】
【例7】（2022•龙湖区一模）如图，A（4，3）是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=kx的图象于点P．
（1）求反比例函数y=kx的表达式；
（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；
（3）求△OAP的面积．
【变式7-1】（2022•路桥区一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）和双曲线y=ax（a≠0）相交于点A，B，则关于x的不等式kx+b＞ax的解集是（ ）
A．x＞0.5B．﹣1＜x＜0.5
C．x＞0.5或﹣1＜x＜0D．x＜﹣1或0＜x＜0.5
【变式7-2】（2022•兴化市二模）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+3b（b为常数）与双曲线y=kx（k≠0）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝6，则y1﹣y2的值为（ ）
A．﹣12B．6C．﹣6D．12
【变式7-3】（2022春•九龙坡区校级月考）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2x交于A、B两点，其中A（2，1），点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求直线AB和双曲线的解析式；
（2）直线AB沿y轴向上平移m个单位长度，分别与双曲线交于E、F两点，其中F点坐标是（1，2），求△BDE的面积．
【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】
【例8】（2022秋•崂山区期末）如图，点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2022秋•包河区期末）如图，A、B两点在双曲线y=kx（x＞0）的图象上，已知点A(1，4)，B(52，m)，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，得到三个矩形：记阴影部分矩形面积为S，另两个矩形面积分别记为S1、S2．
（1）求反比例函数解析式及m的值；
（2）求S1+S2的值．
【变式8-2】（2022春•叙州区期中）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣2，﹣3），B（2m，y1），C（3m，y2），其中m＞0．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当y1﹣y2＝2时，求m的值：
（3）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若△PBD的面积是6，请求出点P坐标（横坐标用含m的式子表示）．
【变式8-3】（2022•商河县校级模拟）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF=13AD，求出点E的坐标．
【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】
【例9】（2022•广西）已知反比例函数y=bx（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-1】（2022秋•湘阴县月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2与反比例函数y=kx（其中k≠0）的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-2】（2022秋•榆次区期末）在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b（a≠0，b≠0）与反比例函数y=abx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-3】（2022•贺兰县模拟）已知二次函数y=−14x2+bx+c的图象如图，则一次函数y=−14x﹣2b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【题型10 反比例函数与几何图形综合】
【例10】（2022春•上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．83B．8C．6D．63
【变式10-1】（2022•安顺模拟）如图，点A是反比例函数y=6x在第一象限内的图象上的一个动点，连接AO并延长交反比例函数的图象于另一点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，且点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（ ）
A．y=−13xB．y=−3xC．y=−16xD．y=−6x
【变式10-2】（2022•虞城县三模）如图，平行四边形OABC中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，反比例函数y=kx的图象经过顶点C，且经过对角线OB上一点D，若点D的坐标为（4，2），平行四边形OABC的面积为569，则顶点B的坐标为（ ）
A．（5，3）B．(163，83)C．(5，103)D．(183，103)
【变式10-3】（2022春•北碚区校级期末）如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中CD边的五等分点，且CE=15CD，双曲线y=kx（k≠0，x⟩0）的图象过点E，则k为（ ）
A．12125B．12425C．13225D．14325函数
图象
所在象限
增减性
三象限
在同一象限内，随的增大而减小
四象限
在同一象限内，随的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点