专题26.2 反比例函数的应用【六大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21237" 【题型1 图形问题】 PAGEREF _Tc21237 \h 1
\l "_Tc20678" 【题型2 表格问题】 PAGEREF _Tc20678 \h 4
\l "_Tc10431" 【题型3 工程问题】 PAGEREF _Tc10431 \h 9
\l "_Tc12993" 【题型4 行程问题】 PAGEREF _Tc12993 \h 13
\l "_Tc3174" 【题型5 销售问题】 PAGEREF _Tc3174 \h 17
\l "_Tc20520" 【题型6 物理问题】 PAGEREF _Tc20520 \h 23
【知识点1 反比例函数的应用】
求函数解析式的方法：
待定系数法
（2）根据实际意义求函数解析式
【题型1 图形问题】
【例1】（2022秋•岳阳月考）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m，设AD的长为xm，DC的长为ym．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）根据实际情况，对于（1）式中的函数自变量x能否取值为4m，若能，求出y的值，若不能，请说明理由；
（3）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
【分析】（1）根据面积为60m2，可得出y与x之间的函数关系式；
（2）直接把x＝4代入得出y的值进而比较即可；
（3）由（1）的关系式，结合x、y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过26m，DC的长＜12，可得出x、y的值，继而得出可行的方案．
【解答】解：（1）由题意得，S矩形ABCD＝AD×DC＝xy，
故y=60x．（5≤x）
（2）不能．当x＝4时，y＝15＞12，不合题意；
（3）由y=60x，且x、y都是正整数，
可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，
∵2x+y≤26，0＜y≤12，
∴符合条件的围建方案为：AD＝5m，DC＝12m或AD＝6m，DC＝10m或AD＝10m，DC＝6m．
【变式1-1】（2022秋•曲阳县期末）一菱形的面积为12cm2，它的两条对角线长分别acm，bcm，则a与b之间的函数关系为a＝ 24b ；这个函数的图象位于第 一 象限．
【分析】菱形的面积＝对角线乘积的一半，列出关系式，写出a与b的函数关系式，根据变量的取值，确定函数所在的象限．
【解答】解：由菱形的面积公式得ab＝24，则a=24b，
∵a＞0，b＞0，
∴这个函数的图象位于第一象限．
【变式1-2】（2022•滨江区二模）用若根火柴首尾相接摆成一个矩形，设每一根火柴的长度为1，矩形两条邻边的长分别别为x，y，要求摆成的矩形的面积为8．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）能否摆成正方形？请说明理由．
【分析】（1）根据长方形的长＝面积÷宽列出函数解析式即可；
（2）正方形的边长相等，说明x、y相等，进一步开方，是整数即可，否则不成立．
【解答】解：（1）y=8x（x＝1，2，4，8）；
（2）不能摆成正方形．
理由如下：
因为x2＝8，
解得：x＝22，不是整数，
所以不能摆成正方形．
【变式1-3】（2022春•江干区期末）在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的一边长x为1时，这条边上的高y为6．
（1）①求y关于x的函数表达式；
②当x≥3时，求y的取值范围；
（2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6．你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？
【分析】（1）①直接利用三角形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用x≥3得出y的取值范围；
（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．
【解答】解：（1）①S△=12×1×6＝3，
∵x为底，y为高，
∴12xy＝3，
∴y=6x；
②当x＝3时，y＝2，
∴当x≥3时，y的取值范围为：0＜y≤2；
（2）小赵的说法正确，
理由：小李：∵小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，
∴x+6x=4，
整理得，x2﹣4x+6＝0，
∵△＝42﹣4×6＜0，
∴一个三角形的一边与这边上的高之和不可能是4；
小赵：∵小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6．
∴x+6x=6，
整理得，x2﹣6x+6＝0，
∵△＝62﹣4×6＝12＞0，
∴x=6±232=3±3，
∴小赵的说法正确．
【题型2 表格问题】
【例2】（2022•新华区校级一模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时，T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：
（1）求T与x的函数关系式；
（2）观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为 K＝﹣x+44 ．
（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．
【分析】（1）通过待定系数法求函数关系式．
（2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解．
（3）分析并理解题意，列出一元二次方程解出答案．
【解答】解：（1）当0＜x≤8时，设T=mx+4（m≠0），
根据表格中的数据，当x＝8时，T＝10，
∴10=m8+4，
解得：m＝120，
∴当8＜x≤24时，设T﹣2＝nx（n≠0），
根据表格中的数据，当x＝24时，T＝26，
∴26﹣2＝24n，
解得：n＝1，
∴T﹣2＝x，
∴T＝x+2，
综上所述T与x的函数关系式为：
∴120x+4(0＜x≤8)x+2(8＜x≤24)；
（2）当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为K＝kx+b，
将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入得：
12k+b=3224+b=20，
解得：k=−1b=44，
∴当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为K＝﹣x+44，
故答案为：K＝﹣x+44；
（3）①存在，不变的值为240，
由函数图像得：当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为K＝k1x+b1，
将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入得：
b1=812k1+b1=32，
解得：k1=2b1=8，
∴当0＜x≤12时，K与x的函数关系式为K＝2x+8，
∴当0＜x≤8时，y＝KT＝（2x+8）120x+4=240；
当8＜x≤12时，y＝KT＝（2x+8）（x+2）＝2x2+12x+16；
当12＜x≤24时，y＝KT＝（x+2）（﹣x+44）＝﹣x2+42x+88，
综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变值为240．
②当8＜x≤12时，y＝2x2+12x+16＝2（x+3）2﹣2，抛物线的对称轴为x＝﹣3，
∴（Ⅰ）当8＜x≤12时，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
当2（x+3）2﹣2＝286时，
解得：x1＝9，x2＝﹣15（舍去）；
当x＝12时，y取最大值，最大值为448，满足286≤y≤504；
当x＝9时，周销售量T的最小值为11；当x＝12时，T取最大值14；
（Ⅱ）当12＜x≤24时，y＝﹣x2+42x+88＝﹣（x﹣21）2+529，抛物线的对称轴为x＝21，
当x＝12时，y取最小值，最小值为448，满足286≤y≤504；
当﹣（x﹣21）2+529＝504时，
解得：x1＝16，x2＝26（舍去）；
当x＝12时，周销售量T取最小值为14；当x＝16时，T取最大值18；
综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．
【变式2-1】（2022春•郑州期末）小涂在课余时间找到了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小（可以认为是焦点），此时他测了镜片与光斑的距离（可以当做焦距），得到如下数据：
（1）老花镜镜片是 凸的 （凸的、凹的、平的），度数越高镜片的中心 越厚 （越薄、越厚、没有变化）；
（2）观察表中的数据，可以找出老花镜的度数D与镜片焦距f的关系，用关系式表示为： f=100D ；
（3）如果按上述方法测得一副老花镜的焦距为0.7m，可求出这幅老花镜的度数为 143度 ．
【分析】（1）根据题意及常识可求解；
（2）利用表格中的数据可求解D与f的关系式；
（3）将f值代入计算可求解．
【解答】解：（1）老花镜镜片是凸的，度数越高镜片的中心越厚，
故答案为：凸的；越厚；
（2）根据表中数据可得：100×1＝100，120×0.8＝96，200×0.5＝100，250×0.4＝100，300×0.3＝90，
则老花镜的度数D与镜片焦距f的关系可近似的看作f=100D，
故答案为：f=100D；
（3）当f＝0.7m时，0.7=100D，
解得D≈143，
即这幅老花镜的度数是143度．
故答案为：143度．
【变式2-2】（2022春•社旗县期中）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制问题似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如下表：
（1）猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
（2）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
（3）将活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？
【分析】（1）观察可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）把x＝24代入解析式求解，可得答案；
（3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断增大，砝码的示数应该不断减小．
【解答】解：（1）由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设y=kx（k≠0），
把x＝10，y＝30代入得：k＝300，
∴y=300x，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y=300x；
（2）把y＝24代入y=300x得：x＝12.5，
∴当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm．
（3）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大；
∴应添加砝码．
【变式2-3】（2022春•常州期末）某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
（1）分析下表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数表示其变化规律，直接写出y与x的函数关系式：
（2）按照这种变化规律，若2018年已投入资金6万元．
①预计2018年每件产品比2017年降低多少万元？
②若计划在2018年把每件产品成本降低到5万元，则还需要投入技改资金多少万元？
【分析】（1）利用已知数据可得横纵坐标的积为定值，进而得出答案；
（2）①利用所求函数解析式进而利用x＝6时求出y的值即可得出答案；
②利用y＝5代入进而得出答案．
【解答】解：（1）根据已知数据可得：能用反比例函数表示其变化规律，
y与x的函数关系式是：y=36x；
（2）①当x＝6时，y＝6，
则8﹣6＝2（万元），
答：预计2018年每件产品成本比2017年降低2万元；
②当y＝5时，x＝7.2，
7.2﹣6＝1.2（万元），
答：还需投入技改资金1.2万元．
【题型3 工程问题】
【例3】（2022•市南区校级二模）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式倾情支援湖北疫区，某车队需要将一批生活物资运送至湖北疫区．已知该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系．
（1）求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式；（不需要写出自变量x的取值范围）
（2）根据计划，要想在5天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物资？
（3）为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了25%，最终提前了1天完成任务，求实际完成运送任务的天数．
【分析】（1）设反比函数的解析式，代入（2，100）即可求解；
（2）设该车队每天至少要运送m吨物资，根据题意列不等式，解不等式即可；
（3）设原计划每天运送货物n吨，根据题意列分式方程，即可求出．
【解答】解：（1）∵y与x满足反比例函数关系，
∴设y=kx，将点（2，100）代入，
解得k＝200，
∴y=200x．
（2）设该车队每天至少要运送m吨物资，
则5m≥200，
则m≥40，
∴该车队每天至少要运送40吨物资．
（3）设该车队原计划每天运送的货物n吨，
则实际每天运送的货物为（1+25%）n吨，
根据题意列方程得，
200(1+25%)n+1=200n，
解得n＝40，
经检验，n＝40是原方程的根，
∴原计划每天运送货物40吨，实际每天运送货物50吨，
∴实际完成运送任务的天数是20050=4（天）．
【变式3-1】（2022•市南区模拟）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间y（h）是参加植树人数x（人）的反比例函数，且当x＝20人时，y＝3h．
（1）若平均每人每小时植树4棵，则这次共计要植树 240 棵；
（2）当x＝80时，求y的值；
（3）为了能在1.5h内完成任务，至少需要多少人参加植树？
【分析】（1）直接利用当x＝20人时，y＝3h，平均每人每小时植树4棵，即可得出这次共计要植树的总棵数；
（2）首先求出反比例函数解析式，进而利用当x＝80时，得出y的值，进而得出答案；
（3）利用y＝1.5时，求出x的值进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：20×4×3＝240；
故答案为：240；
（2）设y与x的函数表达式为：y=kx（k≠0），
∵当x＝20时，y＝3．
∴3=k20
∴k＝60，
∴y=60x，
当x＝80时，y=6080=34；
（3）把y＝1.5代入y=60x，得
1.5=60x，
解得：x＝40，
根据反比例函数的性质，y随x的增大而减小，所以为了能在1.5h内完成任务，至少需要40人参加植树．
【变式3-2】（2022•仙居县一模）县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为6×105（单位：m3），某运输公司承担了运送土石方的任务．
（1）运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？
（2）这个运输公司共有80辆卡车，每天可运送土石方104（单位：m3），公司完成全部运输任务需要多长时间？
（3）当公司以问题（2）中的速度工作了30天后，由于工程进度的需要，剩下的运输任务必须在20天内完
成，则运输公司至少要增加多少辆卡车？
【分析】（1）由总量＝vt，求出v即可；
（2）把v的值代入计算即可求出t的值；
（3）设需要增加a辆卡车，每辆卡车每天运输土石方为10480=125m3，求出前30天与后20天的土石方确定出解析式，即可求出a的最小值．
【解答】解（1）∵vt＝6×105，
∴v=6×105t；
（2）当v＝104时，t=6×105104=60（天），
答：公司完成全部运输任务需要60天；
（3）设需要增加a辆卡车，每辆卡车每天运输土石方为10480=125m3，
∵前30天运输土石方：30×104＝3×105m3，
∴后20天运输土石方：6×105﹣3×105＝3×105，
设30天后的每天运输速度为v1，所需时间t1，
∴v1=3×105t1，
由v1=3×105t1的性质可知，当t1＞0时，v1随着t1的增大而减少，
∴20×125（a+80）≥3×105，
∴a≥40，
∴a得最小值是40，
答：运输公司至少要增加40辆卡车．
【变式3-3】（2022秋•商州区校级期末）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
（3）若码头原有工人10名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？
【分析】（1）根据题意即可知装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，则可求得答案；
（2）由x＝5，代入函数解析式即可求得y的值，即求得平均每天至少要卸的货物；
（3）由10名工人，每天一共可卸货50吨，即可得出平均每人卸货的吨数，即可求得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx，
根据题意得：50=k8，
解得k＝400，
∴y与x之间的函数表达式为y=400x；
（2）∵x＝5，∴y＝400÷5＝80，
解得：y＝80；
答：平均每天至少要卸80吨货物；
（3）∵每人一天可卸货：50÷10＝5（吨），
∴80÷5＝16（人），16﹣10＝6（人）．
答：码头至少需要再增加6名工人才能按时完成任务．
【题型4 行程问题】
【例4】（2022春•宜兴市校级期末）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度；
（3）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时120公里，最低车速不得低于每小时60公里，试问返程时间的范围是多少？
【分析】（1）首先根据题意，求解可得：S＝V•t＝480，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间为反比例函数关系式，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）由（1）中的解析式和t＝4.8可进一步求解可得v的值；
（3）根据题意或结合图象可知，分别计算v＝120时和v＝60时t的值即可求得范围．
【解答】解：（1）∵s＝80×6＝480
∴汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数关系式：v=480t
（2）当t＝4.8时，v=4804.8=100，
答：返回时的速度为100千米/小时．
（3）如图，k＝480＞0，t随v的减小而增大，
当v＝120时，t＝4，
当v＝60时，t＝8，
∴4≤t≤8．
答：根据限速规定，返程时间不少于4小时且不多于8小时．
【变式4-1】（2022春•相城区期末）一列货车从北京开往乌鲁木齐，以58km/h的平均速度行驶需要65h．为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速．
（1）如果提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时，试写出t与v之间的函数表达式；
（2）如果提速后平均速度为78km/h，求提速后全程运营时间；
（3）如果全程运营的时间控制在40h内，那么提速后，平均速度至少应为多少？
【分析】（1）直接利用路程＝时间×速度得出总路程进而得出函数关系式；
（2）利用总路程除以速度即可得出时间；
（3）利用总路程除以时间即可得出平均速度．
【解答】解：（1）由题意可得，总路程为58×65＝3770（km），
则提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时，
故t与v之间的函数表达式为：t=3770v；
（2）当v＝78km/h时，t=377078=4813（小时），
答：提速后全程运营时间为4813小时；
（3）∵全程运营的时间控制在40h内，
∴平均速度应为：t≥377040=94.25，
答：提速后，平均速度至少应为94.25km．
【变式4-2】（2022•丽水）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
【分析】（1）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v=kt，利用待定系数法求出k即可；
（2）根据时间t＝2.5，求出速度，即可判断；
（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可；
【解答】解：（1）根据表格中数据，可知v=kt，
∵v＝75时，t＝4，
∴k＝75×4＝300，
∴v=300t（t≥3）．
（2）∵10﹣7.5＝2.5，
∴t＝2.5时，v=3002.5=120＞100，
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
（3）∵3.5≤t≤4，
∴75≤v≤6007，
答：平均速度v的取值范围是75≤v≤6007．
【变式4-3】（2022•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=kx（x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．
【解答】解：（1）把点A（1，18）代入y=kx，得，18=k1，
∴k＝18，
设h＝at2，把t＝1，h＝5代入，得，a＝5，
∴h＝5t2．
（2）∵v＝5，AB＝1米，
∴x＝5t+1，
∵h＝5t2，OB＝18米，
∴y＝﹣5t2+18，
由x＝5t+1，
则t=15(x−1)，
∴y=−15(x−1)2+18=−15x2+25x+895，
当y＝13时，13=−15(x−1)2+18，
解得x＝6或﹣4，
∵x≥1，
∴x＝6，
把x＝6代入，得，y=18x，
y＝3，
∴运动员与正下方滑道的竖直距离是13﹣3＝10（米）．
（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2+18，得，t2=8125，
解得t＝1.8或﹣1.8（负值舍去），
∴x＝10，
∴甲的坐标为（10，1.8），
此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8），
由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5，
∴v乙＞7.5．
∴t＝1.8，v乙＞7.5．
【题型5 销售问题】
【例5】（2022秋•新都区期末）2020年9月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和的目标．为推进实现这一目标，某工厂投入资金进行了为期6个月的升级改造和节能减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润与时间成反比例函数关系；到6月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加30万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
（1）分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后y与x的函数表达式；
（2）当月利润少于90万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个月．
【分析】（1）根据待定系数法可得到反比例函数解析式；由工厂每月的利润都比前一个月增加30万元，可求出改造后y与x的函数表达式；
（2）对于y=180x，y＝90时，x＝2，得到x＞2时，y＜90，对于y＝30x﹣150，当y＝90时，x＝8，于是可得到结论．
【解答】解：（1）设改造前y与x的函数关系式为y=kx，把x＝1，y＝180代入得，k＝180，
∴改造前y与x之间的函数关系式为y=180x，
把x＝6代入得y=1806=30，
由题意设6月份以后y与x的函数关系式为y＝30x+b，
把x＝6，y＝30代入得，30＝30×6+b，
∴b＝﹣150，
∴y与x之间的函数关系式为y＝30x﹣150；
（2）对于y=180x，y＝90时，x＝2，
∵k＝180＞0，y随x的增大而减小，
∴x＞2时，y＜90，
对于y＝30x﹣150，当y＝90时，x＝8，
∵k＝10＞0，y随x的增大而增大，
∴x＜8时，y＜90，
∴2＜x＜8时，月利润少于90万元，
∴该工厂资金紧张期共有5个月．
【变式5-1】（2022•定海区模拟）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行40场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台．
（1）第5场销售多少台产品？并求出y与x之间的函数关系式．
（2）产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价为10万元，第1场～第20场浮动价与销售场次x成正比，第21场～第40场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如表数据：
①求P与x之间满足的函数关系式．
②当产品销售单价为13.6万元时，求销售场次是第几场？
③在这40场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）设第x场产品的销售量为y（台），根据已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即第5场销售的台数和y与x之间满足的函数关系式；
（2）①根据题意可知每场销售单价p（万元）＝基本价+浮动价．设基本价为b，分两种情况：第1场一第20场，设p与x的函数关系式为p＝ax+b，把（3，10.6），（10，12）代入，利用待定系数法求出p与x的函数关系式；第21场﹣﹣第40场，设p与x的函数关系式为p=mx+b，把（36，13）代入，利用待定系数法求出p与x的函数关系式；然后将p＝13分别代入两个函数解析式，求出x即可；
②把13.6代入①中解析式，求解即可；
②设每场获得的利润为w（万元）．根据利润＝（销售单价﹣每台成本）×销售量，分①1≤x≤20；②21≤x≤40两种情况，分别列出w与x的解析式，再根据函数的性质结合自变量的取值范围求出w的最大值，最后比较即可．
【解答】（1）由题意，当x＝5时，y＝45，
y与x的函数关系式为y＝50﹣x．
∴第5场销售45台产品，y与x的函数关系式为y＝50﹣x；
（2）设基本价为b，
①第1场～第20场，1≤x≤20且x为正整数，
设P与x的函数关系式为P＝ax+b，
依题意得：3a+b=10.610a+b=12，
解得：a=0.2b=10，
∴P＝0.2x+10．
第21场～第40场，即21≤x≤40且x为正整数时，
设P与x的函数关系式为P=mx+b，
即P=mx+10．
依题意得：13=m36+10，
解得m＝108，
∴P=108x+10，
∴当1≤x≤20且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为p＝0.2x+0；当21≤x≤40且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为P=108x+10；
②当P＝13.6时，0.2x+10＝13.6，
解得x＝18，
或108x+10=13.6，
解得x＝30．
故当产品销售单价为13.6万元时，销售场次是第18场和第30场；
③设每场获得的利润为w（万元）．
当1≤x≤20且x为正整数时，w＝（0.2x+10﹣10）（50﹣x）＝﹣0.2x2+10x＝﹣0.2（x﹣25）2+125，
∵在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝20时，w最大，最大利润为﹣0.2（20﹣25）2+125＝120（万元）．
当21≤x≤40且x为正整数时，w=(108x+10−10)(50−x)=5400x−108，
∵w随x的增大而减小，
∴当x＝21时，w最大，最大利润为540021−108=14917（万元），
∵14917＞120，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为14917万元．
【变式5-2】（2022•河北模拟）小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均2元/个，在销售过程中发现：每天玩具销售量y件与销售价格x元/件的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为w元．
（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式；
（2）求出每天销售这种玩具的利润w（元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求每天利润的最大值；
（3）若小米某天将价格定为超过4元（x＞4），那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该天玩具销售价格的取值范围．
【分析】（1）直接利用待定系数法得出反比例函数以及一次函数的解析式即可；
（2）利用当2≤x≤4时，当4＜x≤14时，分别得出函数最值进而得出答案；
（3）利用w＝54，得出x的值，进而得出答案．
【解答】解（1）∵AB段为反比例函数图象的一部分，A（2，40），
∴当2≤x≤4时，y=80x，
∵BC段为一次函数图象的一部分，且B（4，20）、C（14，0），
∴设BC段为一次函数函数关系式为y＝kx+b，有4k+b=2014k+b=0，
解得：k=−2b=28
∴当4≤x≤14时，y＝﹣2x+28，
∴y与x之间的函数关系式为：y=80x(2≤x≤4)−2x+28(4＜x≤14)；
（2）当2≤x≤4时，w＝（x﹣2）y＝（x﹣2）•80x=80−160x，
∵随着x的增大，−160x增大，w＝80+−160x也增大，
∴当x＝4时，w取得最大值为40，
当4＜x≤14时，w＝（x﹣2）y＝（x﹣2）（﹣2x+28）＝﹣2x2+32x﹣56，
∵w＝﹣2x2+32x﹣56＝﹣2（x﹣8）2+72，﹣2＜0，4＜8＜14，
∴当x＝8时，w取得最大值为72，
综上所述，每天利润的最大值为72元；
（3）由题意可知：w＝﹣2x2+32x﹣56＝﹣2（x﹣8）2+72，
令w＝54，即w＝﹣2x2+32x﹣56＝54，
解得：x1＝5，x2＝11，
由函数表达式及函数图象可知，要使w≥54，5≤x≤11，
∴当5≤x≤11时，小米的销售利润不低于54元．
【变式5-3】（2022•青羊区模拟）某学校小组利用暑假中前40天参加社会实践活动，参与了一家网上书店的经营，了解到一种成本为20元/本的书在x天销售量p＝50﹣x，在第x天的售价为y（元/本），y与x的关系如图所示．已知当社会实践活动时间超过一半后．y＝20+315x
（1）请求出当1≤x≤20时，y与x的函数关系式，请问第几天此书的销售单价为35元/本？
（2）这40天中该网点销售此书第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
【分析】（1）当1≤x≤20时，设y＝kx+b，将（1，30.5），（20，40）代入，利用待定系数法求出y与x的函数关系式；然后在每个x的取值范围内，令y＝35，分别解出x的值即可；
（2）利用利润＝售价﹣成本，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，获得的利润w与x的函数关系式；再利用二次函数及反比例函数的性质求出最大值，然后比较即可．
【解答】解：（1）当1≤x≤20时，设y＝kx+b，
将（1，30.5），（20，40）代入得
k+b=30.520k+b=40，
解得k=12b=30．
则y与x的函数关系式为y=12x+30；
当1≤x≤20时，令12x+30＝35，解得x＝10，
当21≤x≤40时，令20+315x=35，解得：x＝21，
经检验得x＝21是原方程的解且符合题意，
即第10天或者第21天该商品的销售单价为35元/件；
（2）设该网店第x天获得的利润为w元．
当1≤x≤20时，w＝（12x+30﹣20）（50﹣x）=−12x2+15x+500=−12（x﹣15）2+12252，
∵−12＜0，
∴当x＝15时，w有最大值w1，且w1=12252，
当21≤x≤40时，w＝（2022）（50﹣x）=15750x−315，
∵15750＞0，
∴15750x随x的增大而减小，
∴x＝21时，15750x最大．
于是，x＝21时，w有最大值w2，且w2=1575021−315＝435，
∵w1＞w2，
∴这40天中该网点销售此书第10天获得的利润最大，最大的利润是612.5元．
【题型6 物理问题】
【例6】（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为773min
【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为100−2010=8min，故A不合题意，利用点（8，100），可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y＝20，则x＝40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令x＝10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：100−2010=8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=800x，
故B选项不合题意；
令y＝20，则800x=20，
∴x＝40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100℃，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x＝10，则y=80010=80℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：30−2010=1min，
令y＝30，则800x=30，
∴x=803，
∴水温不低于30℃的时间为803−1=773min，
故选：D．
【变式6-1】（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【分析】（1）设AC的函数关系式为：y＝kx+b，将A和C代入，从而求得k，b，进而求得的结果；
（2）可推出x•y＝13.5为定值，所以当x≥3时，y是x的反比例函数，进而求得结果；
（3）将x＝15代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，从而得出结论．
【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴b=123k+b=4.5，
∴b=12k=−2.5，
∴线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
（2）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：
∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y=13.5x（x≥3）；
（3）当x＝15时，y=13.515=0.9，
∵13.5＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【变式6-2】（2022秋•温州期末）项目化成果展示了一款简易电子秤：可变电阻上装有托盘（质量忽略不计），测得物品质量x（kg）与可变电阻y（Ω）的多组对应值，画出函数图象（如图1）．图2是三种测量方案，电源电压恒为8V，定值电阻为30Ω，与可变电阻串联．
【链接】串联电路中，通过两个电阻的电流I相等，I=UR．可变电阻、定值电阻两端的电压之和为8V，则有I（y+30）＝8．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）三个托盘放置不同物品后，电表A，V0，V1的读数分别为0.1A，6V，4V．请从以下方案中选择一个，求出对应物品的质量是多少kg？
（3）小明家买了某散装大米65kg，为了检验商家是否存在缺斤少两的情况，请你将大米分批称重，用方案一、二、三来进行检验，设大米为a（60＜a≤65）kg，前两次称合适的千克数，第3次用含a的代数式表示，请填写如表．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，把点（0，60）与（30，0）代入，求解即可；
（2）方案一，利用给出的电流值可得出y的值，结合（1）中所求式子得出x的值即可；方案二，利用给出的电压，求出电流的值，进而可求出y的值，结合（1）中所求式子得出x的值即可；方案三，由V1的值可得出定值电阻两端的电压，求出电流的值，进而可求出y的值，结合（1）中所求式子得出x的值即可；
（3）把大米分为3份，每份不超过30kg，如25kg，25kg，（a﹣50）kg，分别求出前两个对应读数，第三个根据函数性质和x范围求出对应读数范围即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，代入（0，60），（30，0）得60=b0=30k+b，
解得：k=−2b=60，所以：y＝﹣2x+60，0≤x≤30．
（2）方案一：把I＝0.1代入I（y+30）＝8，解得：y＝50；
把y＝50代入y＝﹣2x+60，解得：x＝5，所以物品中重5kg．
方案二：I=UR=630=0.2，把I＝0.2代入I（y+30）＝8，解得：y＝10；
把y＝10代入y＝﹣2x+60，解得：x＝25，所以物品中重25kg．
方案三：由题：I=UR=4y，把I=4y代入I（y+30）＝8，解得：y＝30；
把y＝50代入y＝﹣2x+60，解得：x＝15，所以物品中重15kg．
（3）令方案一大米25kg，方案二大米25kg，方案三大米（a﹣50）kg．
x＝25时，y＝﹣2x+60＝10，代入I（y+30）＝8，解得：I＝0.2，所以方案一读数0.2A；
I＝0.2时，U＝0.2×30＝6V，所以方案三读数6V；
∵60＜a≤65，∴10＜a﹣50≤15，∵y＝﹣2x+60，∴30≤y＜40，∵U＝IR＝Iy＝8﹣30I=8−30×8y+30，∴4≤U＜327，
所以，当第三档读数大于4时，商家缺斤少两．
【变式6-3】（2022春•盱眙县期末）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
【分析】（1）直接将点B的坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y＝20，所以计算AD和BC两段当y＝15时对应的x值，相减就是结论．
【解答】解：（1）把B（12，20）代入y=kx中得：
k＝12×20＝240；
（2）如图，
设AD的解析式为：y＝mx+n．
把（0，10）、（2，20）代入y＝mx+n中得：
10=n20=2m+n，
解得：m=5n=10，
∴AD的解析式为：y＝5x+10，
当y＝15时，15＝5x+10，x＝1．
15=240x，
解得：x＝16，
16﹣1＝15．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于15℃的时间有15小时x/周
8
24
T/千套
10
26
老花镜的度数D/度
100
120
200
250
300
焦距f/m
1
0.8
0.5
0.4
0.3
x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10
年度
投入技改资金x/万元
产品成本y/（万元/件）
2014
2.5
14.4
2015
3
12
2016
4
9
2017
4.5
8
v（千米/小时）
75
80
85
90
95
t（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
x（场）
3
10
36
P（万元）
10.6
12
13
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
第1次（方案一）
第2次（方案二）
第3次（方案三）
大米（kg）
25
25
a﹣50
读数
I＝ 0.2 A
V0＝ 6 V
V1≥ 4 V