2024届新高考数学（文科）精英模拟卷 【全国卷】

这是一份2024届新高考数学（文科）精英模拟卷 【全国卷】，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数为纯虚数，则实数a等于( )
A.-1B.0C.1D.2
2．设全集，集合，，则( )
A.B.C.D.
3．已知向量a，b满足，，则( )
A.4B.3C.2D.0
4．设，则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知数列是等差数列，前n项和为，若，，则( )
A.10
B.15
C.20
D.40
6．中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘米，则其高约为( )（单位：厘米）
A.8B.9C.10D.11
7．已知，若恒成立，则k的最大值为( )
A.4B.5C.24D.25
8．若双曲线（，）的左，右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q.当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为( )
A.B.C.D.
9．堑堵即底面为直角三角形的直棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》.如图所示，堑堵可以分割成一个阳马（底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面都为直角三角形的四面体）.已知鳖臑体积为6，，，则阳马中AC与DF夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
10．已知函数的部分图象如图所示,将的图象向右平移个单位长度,纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数的图象,若在上恰有3个零点,则a的取值范围是( )

A.B.C.D.
11．设函数在R上满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是( )
A.B.C.D.
12．已知椭圆的离心率为，左顶点是A，左､右焦点分别是，，M是C在第一象限上的一点，直线与C的另一个交点为N.若，则直线的斜率为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元.
14．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为“牛顿数列”.已知函数，数列为“牛顿数列”，，且，，则__________.
15．已知为锐角，，则__________.
16．已知函数,若方程恰有5个不等实根,则实数k的取值范围是__________．
三、解答题
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求b.
18．为了了解手机用户对手机操作系统A的期待程度，某公司随机在20000人中随机抽取了100人调查，记录他们的期待值，将数据分成，，…，6组，其中期待值不低于60的称为非常期待A系统，现整理数据得到如下频率分布直方图.
（1）试估计样本中期待值在区间内的人数；
（2）请根据所提供的数据，完成下面的列联表，并判断能否有99.5%的把握认为是否非常期待A系统与性别有关；
（3）为了答谢用户对A系统的期待和信任，宣传部门决定：从非常期待的人群中用分层抽样的方法抽出六名代表参加A系统的宣传发布会，在发布会的互动环节中将抽取两位代表赠送手机，求这两位代表为一男一女的概率.
19．如图，PA是三棱锥的高，线段BC的中点为M，且，.
（1）证明：平面PAM；
（2）求A到平面PBC的距离.
20．已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若的极大值为5，求实数a的值.
21．已知抛物线经过点，直线与C交于A，B两点（异于坐标原点O）.
（1）若，证明：直线过定点；
（2）已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交C于M，N两点，试问是否存在m，使得？若存在，求m的值；若不存在，说明理由.
22．在平面直角坐标系中，已知直线，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线C和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线C分别交于O，A两点，直线与曲线C分别交于O，B两点，求的面积.
23．已知函数,.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）当时,若存在,使得成立,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为为纯虚数，所以解得.故选A.
2．答案：D
解析：由得，则，所以.当时，，则，所以.故选D.
3．答案：B
解析：.
4．答案：B
解析：由可得；由可得.故由推不出，而由能推出，故“”是“”的必要不充分条件.故选B.
5．答案：C
解析：方法一：由题易知，，，，成等差数列，又，，则.
方法二：因为，，所以，即，所以.
6．答案：B
解析：此几何体是上下均为正方形的台体，上底面面积为，下底面面积为，设高为h，由台体体积公式，得，即，解得.所以其高约为9厘米，故选B.
7．答案：C
解析：，所以，，当且仅当，即时等号成立，即，由题意可得：，又，解得，故k的最大值为24.故选C.
8．答案：B
解析：，，又，，双曲线的渐近线方程为，即，
焦点到渐近线的距离为，即的最小值为b，即，不妨设直线OQ为，，
点，，
的中点为，
将其代入双曲线C的方程得，即，
解得，又，，，故双曲线C的方程为.故选B.
9．答案：C
解析：将该三棱柱补全为长方体，如图，则AC与DF的夹角即为AC与CG的夹角，即为.易知，.由，即，解得.易得，，，由余弦定理得.
10．答案：C
解析：的最小正周期为T,由题图可得,,所以,
,,得,,又,所以,
所以.
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,
再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,得到的图象,故.
当时,,
因为在上恰有3个零点,所以,得,
故选：C.
11．答案：B
解析：因为函数满足，且在R上是连续函数，所以函数是偶函数.令，则是奇函数，且在R上是连续函数，则，因为当时，成立，即，所以在上单调递减，又在R上是连续函数，且是奇函数，所以在R上单调递减，则，，，因为，，，所以，所以，故选B.
12．答案：A
解析：因为离心率为，故可设，，故，
故椭圆方程为：，而，，故，因，
故.故直线与x轴不垂直也不重合，故可设，
，则，由可得，
因在椭圆内部，故恒成立，且，
故，因，故，
此时，，
故M在第一象限，符合条件，的斜率为.
13．答案：
解析：由表可计算,,因为点在回归直线上,且,所以,解得,故回归方程为,令得
故答案为:
14．答案：128
解析：由得，，所以，，因此，所以，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.
15．答案：
解析：为锐角，，.
，
.
.
16．答案：
解析：当时,,两者不相等,不是方程的实根,
当时,,令,
当时,,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
其中,
当时,,
画出的图象,如下：
要想方程恰有5个不等实根,需要满足
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，即.
又，所以.
由，得或（舍去），
所以，
则.
（2）由，及正弦定理，知，
所以，得.
18．答案：（1）40
（2）有的把握认为是否非常期待A系统与性别有关
（3）
解析：（1）因为样本中期待值不小于60的频率为，所以样本中期待值小于60的频率为0.4，所以样本中期待值在区间内的人数为.
（2）因为样本中非常期待A系统的人数为，所以非常期待A系统的男用户人数为40.样本中女用户人数为.列表如下：
，所以有的把握认为是否非常期待A系统与性别有关.
（3）样本中非常期待A系统的男用户人数与女用户人数之比为，故所抽6人包括4男2女.记4名男用户分别为A、B、C、D；记2名女用户分别为m、n.从6人中抽取2人，所抽两人为1男1女记为事件M，从6人中抽取2人包含的样本点有AB，AC，AD，Am，An，BC，BD，Bm，Bn，CD，Cm，Cn，Dm，Dn，mn，共15种，事件M包含的样本点有Am，An，Bm，Bn，Cm，Cn，Dm，Dn，共8种，所以从6人中抽取2人，所抽两人为1男1女的概率.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为，线段BC的中点为M，所以.
因为PA是三棱锥的高，所以平面ABC.
因为平面ABC，所以.
因为平面平面，，所以平面PAM.
（2）方法一：设A到平面PBC的距离为d，则在中，.
在中，.
因为PA是三棱锥的高，所以，解得，所以A到平面PBC的距离为.
方法二：在平面PAM中，过A点作于点H，如图所示，
因为平面，平面PAM，所以.
因为，平面，平面，，所以平面PBC.
在中，.
所以在中，，
所以，所以A到平面PBC的距离为.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1），，且.
①若，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
②若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
③若，则，为常数函数，不具有单调性.
综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，为常数函数，不具有单调性.
（2）由（1）可得当时，在处取得极大值，但，不符合题意；
当时，在处取得极大值，
所以，解得，符合题意.
综上可得.
21．答案：（1）证明见解析
（2）存在，
解析：（1）证明：将点代入，得，即.
联立得，
设，，则，.
因为，所以恒成立，则，
所以的方程为，故直线过定点.
（2）联立得，则
且，即，
，
设，同理可得.
因为直线在的右侧，所以，则，即.
所以，
即，解得，
因为，所以.
22．答案：（1），
（2）
解析：（1）直线过原点且倾斜角为，
直线的极坐标方程为.
曲线C的参数方程为（为参数），
曲线C的普通方程为，
曲线C的极坐标方程为.
（2）把代入，得，，
把代入，得，，即，
.
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）当时,
则由,得;由,得无解;
由,得.
所以不等式的解集为;
（2）当时,,则
若存在,使成立,则,,
所以a的取值范围为.
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
非常期待
不非常期待
合计
男
55
女
20
合计
100
非常期待
不非常期待
合计
男
40
15
55
女
20
25
45
合计
60
40
100