初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.3 特殊的平行四边形测试题

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一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
题型1：矩形性质的判定
一、单选题
1．关于矩形的性质、下面说法错误的是（ ）
A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
【答案】D
【分析】根据矩形的性质对选项逐一进行判断即可．
【解析】解：A、矩形的四个角都是直角，说法正确，不符合题意；
B、矩形的两组对边分别相等，说法正确，不符合题意；
C、矩形的两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；
D、矩形的对角线互相平分且相等但不一定垂直，说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
2．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边平行且相等B．对角线相等
C．对角相等D．对角线互相平分
【答案】B
【分析】根据平行四边形和矩形的性质进行判断即可．
【解析】解：A、对边平行且相等，矩形和平行四边形都具有，故该选项不符合题意；
B、对角线相等，矩形具有而平行四边形不具有，故该选项符合题意；
C、对角相等，矩形和平行四边形都具有，故该选项不符合题意；
D、对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形和平行四边形的性质定理．
3．已知矩形的两条对角线、相交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质解答即可．
【解析】解：如图所示，
在矩形中，，，，
故B、C、D选项结论正确，
当四边形为菱形或正方形时，成立，
故结论不一定正确的是A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，矩形的对边互相平行且相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等．
题型2：利用矩形的性质求线段长
4．矩形中，，，则的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】直接利用矩形的对角线相等的性质即可求解．
【解析】解：因为矩形中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解题关键是牢记“矩形的对角线相等”．
5．如图，矩形ABCD的对角线，则BD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】D
【分析】根据矩形的性质可知AC=BD且AO=CO，根据AO=3，求出AC，进一步求BD即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=OC，
∵AO=3cm，
∴AC=2AO=6cm，
∴BD=6cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
6．矩形的一条边长是a，两条对角线的夹角为，则矩形的另外一条边长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=AB=a,再由勾股定理求出BC的长即可．
【解析】如图所示，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，,,AC=BD,
∴OA=OB,
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=a，
∴AC=2OA=2a，
∴，
即另一个边长为．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的性质是解题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A．3B．C．3D．
【答案】B
【分析】由矩形的性质得OA＝OB，再由线段垂直平分线的性质得AB＝AO，则OA＝AB＝OB＝1，得BD＝2，然后由勾股定理即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，求出BD＝2是解题的关键．
8．如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作的垂线分别交于E，F两点，若，则的长度为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】利用矩形的性质证明，进而得到，根据题干信息求出OE长度便可求出EF的长．
【解析】解：
四边形ABCD是矩形
，
,
（设0E=x,则DE=2x，根据勾股定理解OE）
故选：B.
【点睛】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟知相关性质是解决本题的关键．
9．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，且，则的长度是（ ）
A．B．2C．8D．
【答案】C
【分析】根据矩形性质和，得出，，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【解析】解：∵矩形，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
10．如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】D
【分析】连接，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，则，再根据勾股定理求解即可．
【解析】解：如图，连接，
在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，则的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
则，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
连接，则，
∴，
∴的最小值为26，
即的最小值为26，
故选：D．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出是解题的关键．
11．如图，矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿运动到点停止．过点作交射线于点，联结．设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由四边形为矩形以及得，连接，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得在的垂直平分线上运动，作的垂直平分线与交于，再由是线段的中点得到当运动时长的最小，用勾股定理求出即可．
【解析】解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∵，
∴，
连接，如图所示：
∴，即，
∴，
连接，如图所示：
∵是线段的中点，，
∴，
∴在的垂直平分线上运动，
根据点与直线上动点距离的最小值为垂线段，如图所示，作的垂直平分线与交于，当运动时长的最小，连接，此时，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
在中，根据勾股定理得，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，要用的辅助线较多，关键在确定所在的轨迹以及最小值的位置．
题型3：利用矩形的性质求角度
12．如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，即可求解．
【解析】解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【答案】B
【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解．
【解析】解：在矩形ABCD中，OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，
∴∠ADO=55°，
∵，即∠AED=90°，
∴∠DAE=35°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
14．将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质及含30的直角三角形的性质即可求解．
【解析】∵折叠
∴，AB=AB’
∵CD∥AB
∴
∴
∴AE=EC，
∴DE=EB’
∵=3DE=DE+EC= DE+AE
∴AE=2DE
∵
∴=
故选C．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知矩形的性质、折叠的特点及含30的直角三角形的性质．
15．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于( )
A．110°B．115°C．120°D．125°
【答案】A
【分析】由矩形的对角线互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性质得到∠AOD等于∠BAO和∠ABO之和即可求解.
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OB，
∠BAO=∠ABO=55°，
∠AOD=∠BAO+∠ABO =55°+55°=110°.
故答案为A
【点睛】本题考查了矩形的性质及外角的性质，熟练利用外角的性质求角度是解题的关键.
16．若矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等求出另一条对角线与一边的夹角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解析】解：矩形一条对角线与一边的夹角是40°，
另一条对角线与一边的夹角也是40°，
根据三角形的外角性质，两条对角线所成锐角的度数为．
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是矩形的对角线互相平分且相等的性质，解题关键是注意三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．
17．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36°B．30°C．27°D．18°
【答案】B
【分析】根据已知条件可得以及的度数，然后求出各角的度数便可求出．
【解析】解：在矩形ABCD中，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】题目主要考查矩形的性质，三角形内角和及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用各个性质是解题关键．
18．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可．
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
19．如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则的度数为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】如图所示，取AE中点O，连接，根据矩形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，则是等边三角形，得到，从而求出，，再根据平角的定义即可得到答案．
【解析】解：如图所示，取中点O，连接，
∵四边形是矩形，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造等边三角形是解题的关键．
20．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先过点D作，由，可求得∠3的度数，易得，继而求得答案．
【解析】解：过点D作，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及平行线的性质，准确作出辅助线是解本题的关键．
21．如图，矩形的对角线相较于点O，的平分线交于点E，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质及角平分线得出∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，利用等边三角形的判定和性质结合图中各角之间的关系即可得出结果．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠CBD=90°-60°=30°，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的计算，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识点．
22．如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，，且，
，
又，
，
，
，
，即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行．
题型4：利用矩形的性质求面积
23．矩形的对角线长为10，两邻边之比为，则矩形的面积为（ ）
A．48B．24C．50D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】设矩形的两邻边长分别为，可得，继而求得矩形的两邻边长，则可求得答案．
【解析】解：∵矩形的两邻边之比为，
∴设矩形的两邻边长分别为，
∵对角线长为10，
∴，
解得，
∴矩形的两邻边长分别为：6，8；
∴矩形的面积为：．
故选：A．
【点睛】此题考查了矩形的性质，以及勾股定理．熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
24．矩形的边长是4cm，一条对角线的长是cm，则矩形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出矩形的另一条边的长度，即可求出矩形的面积．
【解析】解：由题意及勾股定理得矩形另一条边为
∴矩形的面积．
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理．
25．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先结合矩形的性质证明≌，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积．
【解析】解：四边形是矩形，
，；AB=CD=4，
在和中，
，
≌，
，
；
，故．
故选： B．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
26．如图，四边形和四边形是两个矩形，点在边上，若，，则矩形的面积为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理可求出BC的长度，再求解∠ACB的度数，进而求出CF的长度，最后用矩形面积公式求解即可．
【解析】∵四边形和四边形是两个矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，
连接BD交AC于点O，
∵四边形是矩形，
∴BD=AC=2，
∴CO=DO==1，
∵CD=1，
∴△CDO为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°，
∵四边形是矩形，
∴，
∴∠CBF=∠ACB=30°，
∴CF=BC=，
∴矩形的面积=AC×CF=2×=；
故选：B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含有30°角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练地掌握相关内容是解题的关键．
27．如图，矩形ABCD中，点在AD上，且EB平分，若AB＝3，AE＝1，则的面积为______．
【答案】
【分析】根据矩形的性质和角平分线定义可得CE=BC，然后根据勾股定理可得BC，进而可以解决问题．
【解析】解：在矩形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC，CD=AB=3，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEB=∠CEB，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CE=BC，
∵CD=AB=3，AE=1，
∴DE=AD-AE=BC-1，
在Rt△CED中，根据勾股定理得：
，
即，解得BC=5，
∴的面积为．
故答案为：
【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定和性质解答．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE＋PF＝________．
【答案】2.4
【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OB=，S△AOB=S矩形ABCD=3，然后由S△AOB=S△AOP+S△BOP=3，即可求得答案．
【解析】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S矩形ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5，
∴S△AOB=S矩形ABCD=3，OA=OB=，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP
=OA•PE+OB•PF
=OA（PE+PF）
=××（PE+PF）=3，
∴PE+PF==2.4．
故答案为：2.4．
【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
29．如图，矩形的对角线与交于点，过点作，交于点，过点作，垂足为，，，，则矩形的面积为______．
【答案】48
【分析】先证明 从而可得答案．
【解析】解： 矩形，，

，，，，

故答案为：48
【点睛】本题考查的是矩形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键．
题型5：矩形的性质与平面坐标系
30．如图，在长方形中，，，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据长方形的性质：对边相等，四个角都是直角；可知：CB=AD=5，以及平面直角坐标系中点的坐标变化即可得出点A的坐标．
【解析】∵四边形ABCD是长方形
∴CB=AD=3
∴点B（-1-3，-1）即B（-4，-1）
∵AB=5
∴点A（-4，-1+5），即A（-4，4）
故选：C
【点睛】本题主要考查了长方形的性质以及平面直角坐标系中点的变化规律，熟练的掌握长方形对边相等，四个角都是直角的性质是解题的关键．
31．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____．
【答案】5
【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长．
【解析】如图，连接OB，
∵B的坐标为（4，3），
∴
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=5
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等．
32．在平面直角坐标系中，一个长方形三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为__________．
【答案】
【分析】由矩形的对边平行即可求得第四个点的坐标；
【解析】点和的横坐标相等，
点和的纵坐标相等，
要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等，
∴第四个顶点的坐标为；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，准确判断是解题的关键．
33．如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】设，则，由题意可以求证，从而得到，再根据勾股定理即可求解．
【解析】解：由题意可知：，，
设，则，
又∵
∴
∴
在中，，即
解得：
∴点的坐标为
故答案为
【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及平面直角坐标系的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
题型6：根据矩形的性质证明
34．如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，，求证：．
【答案】见解析
【分析】由矩形的性质得出，再根据，，由证明，得出， 即可得出．
【解析】证明：∵四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
35．如图，已知矩形中，点，分别是，上的点，，且．
（1）求证：；
（2）若，求：的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质得到，由垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由已知条件得到，由，即可得到：的值．
【解析】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
一、单选题
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的对边相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形的对角线互相垂直
【答案】D
【解析】略
2．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】D
【分析】利用矩形的性质可知对角线互相平分且，再利用勾股定理求解即可．
【解析】解：在矩形中，
故选D．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理求直角边是解决本题的关键．
3．如果矩形的一边与对角线的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【答案】C
【分析】先画出简单的图形，因为矩形两对角线相等且互相平分，又有一角的度数，可由三角形内角和求解角的度数．
【解析】解：如图，
∵矩形两对角线相等且互相平分，一边与对角线的夹角为50°，即∠OAB = 50°，OB=OA，
∴另一角∠OBA =∠OAB = 50°，
由三角形内角和可得两条对角线相交所成的锐角的度数即∠AOB= 180°- 50° - 50°= 80°．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形、等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．
4．如图，在矩形中，，，点E在边上，若平分，则的长为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用角平分线和平行线内错角相等，可证明，则ED=AD，则可用勾股定理求出ED．
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，AB=CE=3
∴
∵平分
∴
∴
∴ED=AD=8
∴
故选： C．
【点睛】本题考查了角平分线、平行线性质，灵活运用相关知识进行角度代换是解题关键．
5．如图，在矩形中，，E是的中点，于点F，则的长是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】延长交于点M，可证得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
【解析】解：如图，延长交于点M，
∵E是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故选：C
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
6．如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、MN，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（定、动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解．
【解析】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，过作，
，即当三点共线，时，的最小值为，
在中，，连接，如上图所示，，则，
在矩形ABCD中，，，则，
，
故选：B．
【点睛】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键．
二、填空题
7．如图，已知矩形的对角线与相交于点，若，那么______．
【答案】2
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．
【解析】解：在矩形中，
∵对角线与相交于点O，，
∴，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质．
8．一个矩形的两条邻边分别为6，8，面积S=______．
【答案】48
【分析】根据矩形的面积公式解答即可．
【解析】解：矩形的两条邻边分别为6，8，
面积，
故答案为：48．
【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是根据矩形的面积等于长宽解答．
9．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，则______．
【答案】##80度
【分析】由矩形的性质可知OA=OD，即得出，再根据三角形外角的性质即可求出答案．
【解析】∵四边形ABC D是矩形，
∴OA=OD，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握上述知识是解题关键．
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．
【答案】
【解析】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．
所以△AOE≌△COE．
设CE为x．
则DE=AD-x，CD=AB=2．
根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22
解得CE=13/6．
11．如图，过矩形的对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”）
【答案】
【分析】根据矩形的性质对角线把矩形面积一分为二即可解得．
【解析】解：∵四边形是矩形，
又∵对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，
∴的面积的面积的面积的面积的面积的面积，
∴．
故答案为．
【点睛】此题考查矩形的性质，解题的关键是熟悉矩形的对角线平分矩形的面积．
12．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DC上一点．，，若，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为________．
【答案】
【分析】由矩形的性质可得∠B=∠C=90°，又，则根据等量代换即可得∠EAB=∠FEC，利用AAS求得，可得AB=EC，结合矩形的周长则可求得AB，BC进而可求得答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
又∵，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAB=∠FEC，
在△AEB和△EFC中，
，
∴，
∴AB=EC，
又∵矩形ABCD的周长为26，BE=3
∴，
，
，
∴矩形ABCD的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质、矩形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边分别交于点E，F，已知，则五边形的面积是 ___________ ．
【答案】##
【分析】根据直线解析式分别求出点E、F的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【解析】解：∵当时，，解得，
∴点E的坐标是，即，
∵，
∴，
∴点F的横坐标是，
∴，即，
∴五边形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据直线的解析式求出点E、F的坐标是解题的关键，同时也考查了矩形的性质．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为对角线BD所在直线的一个动点，点N是平面上一点．若四边形MCND为平行四边形，MN＝，则BM的值为 _____．
【答案】6或1
【分析】分两种情况：①如图1，M在对角线BD上时，设四边形MCND对角线MN和DC交于O，过O作OG⊥BD于G；②如图2，M在BD的延长线上时，过O作OG⊥BD于G；设BM＝x，表示MG的长，先根据直角三角形30度角的性质可得OG和DG的长，在直角三角形OGM中列方程可得结论．
【解析】解：分两种情况：
①如图1，M在对角线BD上时，设四边形MCND对角线MN和DC交于O，过O作OG⊥BD于G，
∵四边形MCND为平行四边形，
∴ODDCAB＝1，OMMN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝2，AD＝2，
∴BD4，
∴ABBD，
∴∠ADB＝30°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝60°，
Rt△ODG中，∠DOG＝30°，
∴DG，OG，
设BM＝x，则MG＝4﹣xx，
△OMG中，MG2+OG2＝OM2，
∴，
解得：x＝6（舍）或1；
②如图2，M在BD的延长线上时，过O作OG⊥BD于G，
同理得：DG，OG，OM，
设BM＝x，则MG＝x﹣4x，
在△OMG中，MG2+OG2＝OM2，
∴，解得：x＝6或1（舍）；
综上所述，BM的长为6或1，
故答案为：6或1．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，设未知数列方程是解决问题的关键．
三、解答题
15．如图，在矩形中，是边上的两点，且．求证：．
【答案】见解析.
【分析】先证明△ABF≌△DCE，再根据全等三角形的性质得出结论．
【解析】四边形是矩形，
∴，．
∵，∴．
在和中，
∴，
∴．
【点睛】考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
16．已知：如图，过矩形的顶点作，交的延长线于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据矩形的性质得出，，然后根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，得出，最后根据等腰三角形的性质即可得证．
【解析】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
17．已知：如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．
求证：AE＝BE．
【答案】见解析.
【分析】根据矩形的性质证明△ADE≌△BCE，即可求解.
【解析】证明：∵矩形ABCD
∴∠D＝∠C
AD＝BC
∵E是CD的中点
∴CE＝DE
在△ADE和△BCE中，AD＝BC，∠D＝∠C，CE＝DE
∴△ADE≌△BCE
∴AE＝BE
【点睛】此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定.
18．已知：如图，四边形是矩形，，对角线与相交于点O．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据矩形的性质得出，然后根据平行线的性质即可证明；
（2）根据题意证明即可证明．
【解析】证明：（1）∵四边形是矩形，
∴（矩形的对角相等），
（矩形的对边平行）．
∴．
又∵，
∴．
∴；
（2）∵四边形是矩形，
∴（矩形的对边相等）．
在和中，
∵，，
∴．
∴．
【点睛】此题考查了矩形的性质和三角形全等的证明方法，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和三角形全等的证明方法．
19．已知：如图，矩形的对角线相交于点O，．
(1)判断的形状．
(2)求矩形对角线的长．
【答案】(1)等边三角形
(2)
【分析】（1）先根据矩形和平行四边形的性质证明，然后根据等边三角形的判定即可得出答案；
（2）根据矩形的性质求解即可．
【解析】（1）解：是等边三角形．
理由：在矩形中，（矩形的对角线相等）．
∵（平行四边形的对角线互相平分），
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（2）解：∵，
∴，
即矩形对角线的长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定，证明三角形是等边三角形和运用矩形的性质求对角线长是解题的关键．
20．如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD、EF．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若EF⊥BD，求AE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可完成证明；
（2）结合（1）证明四边形BFDE是菱形，可得DE=BE，然后根据勾股定理即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，ADBC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DEBF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形BFDE是平行四边形，EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
∴DE=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABE中，BE=DE=AD-AE=4-AE，AB=2，
根据勾股定理得：BE2=AE2+AB2，
∴（4-AE）2=AE2+22，
解得AE=．
【点睛】此题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质定理解答．
21．如图所示，在矩形中，平分.
（1）求的度数；
（2）求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用矩形的性质和角平分线的性质可知∠AEB=∠EAD=45°，则∠ACE=∠AEB-∠EAC=30°；
（2）通过∠ACE=30°，∠BAO=60°证得△AOB为等边三角形，结合AB=BE可得BO=BE．
【解析】（1）在矩形中，平分，
.
，
.
，
.
（2），
在中，.
，
是等边三角形，
.
【点睛】本题考查等边三角形的性质和矩形的性质．解题的关键是要知道：矩形的两条对角线互相平分且相等．
22．在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.
（1）求证.
（2）若,且,求.
【答案】（1）证明见解析；（2）8
【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；
（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．
【解析】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA=90°，
∴∠DFA=∠B，
又∵AD=EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF=AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠FDC=∠DAF=30°，
∴AD=2DF，
∵DF=AB，
∴AD=2AB=8．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．
23．如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M．
（1）求证：BE＝DE；
（2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）PM+PN＝AB；理由见解析.
【分析】（1）由矩形的性质得出∠ADB＝∠CBD，由已知条件∠CBD＝∠EBD，证出∠ADB＝∠EBD，即可得出结论；
（2）延长MP交BC于Q，先由角的平分线性质得出PQ＝PN，再由AB＝MQ，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠CBD＝∠EBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴BE＝DE；
（2）解：PM+PN＝AB；理由如下：
延长MP交BC于Q，如图所示：
∵AD∥BC，PM⊥AD，
∴PQ⊥BC，
∵∠CBD＝∠EBD，PN⊥BE，
∴PQ＝PN，
∴AB＝MQ＝PM+PQ＝PM+PN．
故答案为（1）见解析；（2）PM+PN＝AB；理由见解析.
【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
24．如图所示，四边形ABCD是矩形，已知PB=PC.
(1)若P是矩形外一点，求证：PA=PD；
(2)若P是矩形边AD(或BC)上的一点，则PA PD；
(3)若点P在矩形ABCD内部，上述结论是否仍然成立？
【答案】（1）详见解析；（2）=；（3）成立，理由详见解析.
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又由PB=PC可得∠PBC=∠PCB，求出∠PBA=∠PCD，进而利用SAS证明△APB≌△DPC即可得到PA=PD；
（2）当P是矩形边AD(或BC)上的一点，通过HL可证Rt△APB≌Rt△DPC，得到PA=PD；
（3）当点P在矩形ABCD内部时，同（1）可证△APB≌△DPC，得到PA=PD.
【解析】(1)证明：如图①，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠PBA=∠PCD.
在△APB和△DPC中，，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD；
(2) 如图②，当P是矩形边AD上的一点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，PB=PC，
∴Rt△APB≌Rt△DPC（HL），
∴PA=PD，
当P是矩形边BC上的一点，同理可得：PA=PD，
∴若P是矩形边AD(或BC)上的一点，则PA=PD；
(3)成立．
理由如下：
如图③，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠PBA=∠PCD.
在△APB和△DPC中，，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD.
【点睛】此题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，难度适中，根据矩形的性质得到判定全等的条件是解决问题的关键．