2023年广东省东莞市茶山中学中考一模数学试题（解析版+原卷版）

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1. 如果一个负数大于它的倒数，那么，这个负数是（ ）
A. 真负分数B. 分数C. 整数D. 假分数
【答案】A
【解析】
【分析】设这个负数为a，则a＜0，且，可得，即可求解．
【详解】解：设这个负数为a，则a＜0，且，
∴，
解得：，
∴这个负数是真负分数．
故选：A
【点睛】本题主要考查了倒数，解不等式，根据题意得到是解题的关键．
2. 将用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数；当原数绝对值小于1时，是负数．由此进行求解即可得到答案．
【详解】用科学记数法表示为．
故选D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂除法、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂除法、积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行判断．
4. 如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0，即可求出结论．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
∴
故选C．
【点睛】此题考查是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母≠0是解题关键．
5. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键．
6. 清晨，早起锻炼的人的影子方向是（ ）
A 朝东B. 朝西C. 朝南D. 朝北
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行投影的特点：在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．根据平行投影的定义即可得出答案．
【详解】解：清晨，太阳在东方，所以早起锻炼的人的影子方向是朝西．
故选：B．
7. 已知无理数－2，估计它的值( )
A. 小于1B. 大于1C. 等于1D. 小于0
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据可以得出，从而进一步得出的范围即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴的值大于0，小于1.
所以答案为A选项.
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.
8. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A. 1B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据可得，根据折叠前后对应角相等、对应边相等，可得，，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，，列方程即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得．
故选D．
9. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE=BD；分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点H，若CH=2，P为AB上一动点，则HP的最小值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过点H作GH⊥AB于G．根据角平分线的性质定理得到GH=HC=2，利用垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，过点H作GH⊥AB于G．
由作图可知，HB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，HC⊥BC，
∴GH=HC=2，
根据垂线段最短可知，HP的最小值为2，
故选：C．
【点睛】本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
10. 已知二次函数的图象经过与两点，关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，其中一个根是．如果关于x的方程有两个不同的整数根，则这两个整数根可能是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，抛物线开口向下，对称轴为，则关于x的方程的两个根必须在和之间，两根且和为，求解即可．
【详解】解：二次函数的图象经过与两点，
抛物线的对称轴为，
关于的一元二次方程有两个不同的实数根，其中一个根是
，
可得，在对称轴的左侧，随的增大而增大，即抛物线开口向下，
，
于x的方程有两个不同的整数根，
可得两个整数根在和之间，且和为1，
结合选项，只有C选项符合，
故选：C
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 分解因式：2a2﹣8b2=________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．
【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为2（a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
12. 在一个不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的3个红球和2个蓝球，从口袋中随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到蓝球的概率为___________________．
【答案】##0.16
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，画树状图，共有25个等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两次都摸到蓝球的结果有4个，
∴两次都摸到蓝球的概率为，
故答案为：．
13. 如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点E．由题意即得出四边形为菱形，从而得出，．再根据正弦的定义可求出，最后由菱形的面积公式计算即可．
【详解】如图，过点作于点E．
由题意可知四边形为菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
14. 如图，设点P在函数y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B，若四边形PAOB的面积为8，则m﹣n＝_____．
【答案】8
【解析】
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出四边形PCOD的面积为m，△OBD和△OAC的面积为n，根据四边形PAOB的面积＝S四边形PCOD﹣S△OBD﹣S△OAC＝8求解即可．
【详解】解：根据题意，S四边形PCOD＝m，S△BOD＝n，S△AOC＝n，
∴四边形PAOB的面积＝S四边形PCOD﹣S△OBD﹣S△OAC＝m﹣n﹣n＝8，
∴m﹣n＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟知过双曲线上任意一点分别向两条坐标轴作垂线，围成的矩形面积为∣k∣是解答的关键．
15. 如图，正方形ABCD中，AB=3，以B为圆心，AB长为半径画圆B，点P在圆B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至Q，连接BQ，在点P移动过程中，BQ长度的最小值为_____．
【答案】3﹣1
【解析】
【分析】通过画图发现，点Q的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当Q在对角线BD上时，BQ最小，先证明△PAB≌△QAD，则QD=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BQ的长．
【详解】如图，当Q在对角线BD上时，BQ最小．
连接BP，由旋转得：AP=AQ，∠PAQ=90°，∴∠PAB+∠BAQ=90°．
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAQ+∠DAQ=90°，∴∠PAB=∠DAQ，∴△PAB≌△QAD，∴QD=PB=1．在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，由勾股定理得：BD=，∴BQ=BD﹣QD=3﹣1，即BQ长度的最小值为（3﹣1）．
故答案为3﹣1．
【点睛】本题是圆的综合题．考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点Q的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BQ长度的最小值最小值．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先逐项化简，再同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，零指数幂的意义，以及二次根式的加减，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
17. 先化简再求值：，其中．
【答案】；-2
【解析】
【分析】先用乘法公式和整式运算法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴原式；
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用整式运算法则和乘法公式进行化简，代入数值后准确计算．
18. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分．规定：为级，为级，为级，为级，现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了___________名学生，___________；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中级对应的扇形的圆心角为___________．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据等级的人数与占比求得总人数，根据等级的人数除以总人数即可求得的值；
（2）根据总人数求得等级的人数，然后补全统计图即可求解；
（3）根据等级的人数除以总人数乘以即可求解．
【小问1详解】
解：一共抽取了（人），
，
故答案为：，；
【小问2详解】
等级的人数为（人）
补全统计图如图，
【小问3详解】
扇形统计图中级对应的扇形的圆心角为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19. 如图，某船于上午11时30分在A处观察海岛B在它的北偏东，该船以10海里/小时的速度向东航行至C处，再观察海岛B在它的北偏东，且船距离海岛30海里．
（1）求该船到达C处的时刻．
（2）若该船从C处继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？
【答案】（1）14时30分
（2）在16时到达B岛正南的D处
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形中的方位角问题，准确求解题中的角度是解题的关键．
（1）证明，根据等角对等边得到，即可得到答案；
（2）利用余弦的求出，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：海里，
∴，
∴，
∴（海里），
∵船的速度为10海里/时，
∴（小时），
∴船到达C点的时间为：14时30分；
【小问2详解】
在中，，海里，
∴（海里），
∵（小时），
∴在16时到达B岛正南的D处．
20. 如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据，，可得，，再根据，，可得，即有半径，问题得证；
（2）连接，过O点作于点，利用垂径定理可得，，即，再证明，即有，设，即，在和中，有，，即，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，过O点作于点，如图，
∵，，，的半径为5，
∴，，
即：，
∵，，，
∴，
∴，
设，即，
∵，，
∴在中，有；
在中，有
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
21. 为响应国家“双减”政策．提高同学们的创新思维，某中学开设了创新思维课程．为满足学生的需求，准备再购买一些型号和型号的电脑．如果分别用元购买、型号电脑，购买型号台数比型号少台、已知型号电脑的单价为型号的．
（1）求两种型号电脑单价分别为多少元；
（2）学校计划新建两个电脑室需购买台电脑，学校计划总费用不多于元，并且要求型电脑数量不能低于台，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
【答案】（1）设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元；
（2）购买台型号电脑，台型号电脑时费用最少，最少费用为元．
【解析】
【分析】（1）设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，由分别用元购买、型号电脑，购买型号台数数比型号少台列出方程即可求解；
（2）设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意可求与关系，并列出不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，根据题意，得：
解得，
经检验，是原方程的解并满足题意，
型号电脑进价为：
答：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元；
【小问2详解】
设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意得：
解得，
由题意得，，
，
随的增大而增大，
当时费用最少，最少费用为，
台，
答：购买台型号电脑，台型号电脑时费用最少，最少费用为元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
22. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D为BC边上的动点（点D不与点B、C重合）． 以点D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）探索：点D在BC边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值；
（3）当△ABD为等腰三角形时，线段EF的长为__________．
【答案】（1）见解析；（2）的值不发生变化，的值为；（3）或
【解析】
【分析】（1）由等边对等角可得，由已知条件和三角形的外角性质可得，即可证明
（2）根据题意，，即可求得值；
（3）①当时，②当时，③当，根据相似三角形的性质与判定求得的长，进而求得的长
【详解】（1）证明：
，∠ADE=∠B，
（2）点D在BC边上运动的过程中，的值不变化，理由如下，
如图，过点作
在中，
∠ADE=∠B，
AF⊥AD
在中
（3）①当时，如图，
此时重合，
则
由（2）可知
则（此时点C，D重合不符合题意，舍去）
②当时，如图，
则
即
又
即
解得
③当，如图，作于
则,
又
则
综上所述，的长为或
故答案为：或
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦值，分类讨论是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当轴时，
①已知点A的坐标是（-2，1），求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求的值．
（2）如图2，若，，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②；
（2），理由见解析．
【解析】
【分析】（1）①先确定点C的坐标，再用待定系数法求解即可；②先确定抛物线的顶点坐标，进而得出，再判断出，得出，即可求解；
（2）作AM⊥y轴，BN⊥y轴，根据解析式求得顶点坐标，再根据得到，设B(3m，n)，利用平行四边形的性质求解即可．
小问1详解】
解：①点A的坐标是（-2，1），轴
∴C点的纵坐标为1，
由题意可得，C(0，1)，
将C(0，1)、A（-2，1）代入可得
，解得
解析式为：
②由可得对称轴为，
点C坐标（0，c），
作DE⊥x轴，交AC于点F，如图1，
由题意可得：EF=OC=c，DE=，∴
在平行四边形OADB中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即
∴
【小问2详解】
存在点A，使得四边形AOBD为平行四边形，理由如下：
如图2，作AM⊥y轴，BN⊥y轴，
由题意可得：抛物线解析式为，对称轴为，顶点坐标为，
∴
∴
设点B(3m，n)，则BN=3m，AM=5m，
由B平移到O与D平移到A，平移方式相同，可得A（-5m，c+1-n），
∴CN=ON-OC=n-c，CM=OC-OM=c-(c+1-n)=n-1，
∴，解得
∴
∵四边形AOBD为平行四边形
∴AB的中点即为DO的中点
∴，解得
∴
将代入得：
，解得
∴
【点睛】此题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求解析式，平行四边形的性质，相似三角形的性质等，构造出是解题的关键．